Геометрическое распределение

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 8Следующая ⇒

На практике геометрическое распределение возникает при следующих условиях: пусть производится серия независимых опытов, в каждом из которых может произойти событие А с одной и той же вероятностью p. Опыты продолжаются до первого появления события А. Тогда случайная величина X, определяющая число неудач, предшествующих успеху, распределена по геометрическому закону.

Возможные значения этой случайной величины: 0, 1, 2, …, n, …, а вероятность каждого из этих значений определяется по формуле

, (24)

где 0 £ p £ 1; q = 1 – p; m = 0, 1, 2, …, n, ….

Геометрическое распределение зависит от параметра p.

Замечание – Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность a₁, a₂, …, a_n, …, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему, умноженному на одно и то же, не равное нулю, число, называемое знаменателем геометрической прогрессии q,

, , …, .

Сумма бесконечно убывающей (q < 1) геометрической прогрессии .

Условие выполняется, так как принимая во внимание условие сходимости геометрического ряда , ( ) и формулу для его суммы, получаем

Ряд распределения случайной величины X, имеющей геометрический закон:

x_i				…	m	…	n	…
p_i	p	q¹ p	q² p	…	q^m p	…	qⁿ p	…

Для случайной величины, распределенной по геометрическому закону,

_, , ,

Пример 14 Вероятность изготовления нестандартного изделия при некотором технологическом процессе равна 0, 06. Контролер берет из партии изделие и сразу проверяет его качество. Если оно оказывается нестандартным, то дальнейшие испытания прекращаются, а партия задерживается. Если же изделие оказывается стандартным, то контролер проверяет следующее изделие и т. д. Записать закон распределения случайной величины X – числа стандартных изделий, проверенных до выявления брака.

Решение. Условие задачи соответствует проведению независимых испытаний, в каждом из которых с вероятностью p = 0, 06 может осуществиться событие A = {обнаружено нестандартное изделие}. В этом случае неудача – обнаружение стандартного изделия, успех – обнаружение нестандартного изделия. Случайная величина X – число стандартных изделий, проверенных до выявления брака, распределена по геометрическому закону. Возможные значения этой случайной величины: 0, 1, 2, 3, …, m, …. По условию p = 0, 06, q = 1 – 0, 06 = 0, 94.

Вероятности значений определяются по формуле (24):

(то есть нестандартное изделие будет обнаружено сразу же при проверке первого изделия, при этом число стандартных изделий, проверенных до появления брака, будет равно 0);

(то есть нестандартное изделие будет обнаружено при проверке второго изделия, при этом число стандартных изделий, проверенных до появления брака, будет равно 1);

(то есть нестандартное изделие будет обнаружено при проверке третьего изделия, при этом число стандартных изделий, проверенных до появления брака, будет равно 2) и т. д.

Закон распределения можно записать в виде , или в виде ряда распределения случайной величины X:

x_i				…	m	…	n	…
p_i	0, 06	0, 0564	0, 053016	…		…		…

Распределение Пуассона

Говорят, что дискретная случайная величина X распределена по закону Пуассона, если ее возможные значения: 0, 1, 2, …, m, … (счетное множество значений), а соответствующие им вероятности задаются формулой

(25)

Таблица значений вероятности для различных значений и приведена в приложении В.

Таким образом, ряд распределения случайной величины X, распределенной по закону Пуассона, имеет вид:

x_i				…	k	…
p_i	e^{– a}	ae^{– a}	(a²e^{– a})/2!	…	(a^ke^{– a})/k!	…

Закон распределения Пуассона зависит от одного параметра: a. Доказано, что для случайной величины, распределенной по закону Пуассона,

M[X] = a, D[X] = a,

Рассмотрим условия, при которых возникает распределение Пуассона.

1 Распределение Пуассона с параметром a = np можно приближенно применять вместо биномиального распределения, когда число испытаний n достаточно велико, а вероятность появления события в каждом испытании p очень мала (p < 0, 1), то есть в каждом отдельном опыте событие A появляется крайне редко. Отсюда происходит использующееся еще иногда для закона Пуассона название «закон редких событий».

2 По закону Пуассона распределена случайная величина, описывающая число событий простейшего потока, произошедших в течение промежутка времени t.

Простейший поток событий. Потоком событий называется последовательность однородных событий, наступающих одно за другим в случайные моменты времени.

Интенсивностью потока l называется среднее число событий, происходящих за единицу времени.

Если l = const, то поток называется стационарным. Это свойство означает, что вероятность наступления того или иного числа событий в течение отрезка времени длиной t не зависит от расположения на оси времени этого отрезка, а зависит только от его длины.

Поток называется ординарным, если вероятность попадания на малый участок Dt двух и более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания на него одного события. Грубо говоря, это означает, что события возникают поодиночке, а не группами по два, по три и т. д.

Поток событий называется потоком без последействия, если вероятность попадания того или иного числа событий на какой-то отрезок времени не зависит от того, сколько событий попало на любой другой непересекающийся с ним участок, то есть предыстория потока не сказывается на вероятности появления событий в ближайшем будущем. Эта независимость физически сводится к тому, что события появляются на оси времени в силу случайных причин, индивидуальных для каждого из них.

Поток, обладающий свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последействия, называется простейшим.

Доказано, что для простейшего потока число событий, попадающих на каждый отрезок времени длиной t, распределено по закону Пуассона с параметром a = lt, где l – интенсивность потока.

Пример 15 Коммутатор учреждения обеспечивает соединение 400 абонентов по внутренней связи, для каждого из которых вероятность того, что он позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0, 01. Найти вероятность того, что в течение часа: а) 5 абонентов позвонят на коммутатор; б) не более 4 абонентов позвонят на коммутатор; в) более 4 абонентов позвонят на коммутатор.

Решение. Случайная величина X, определяющая число абонентов, позвонивших на коммутатор в течение часа, может принимать значения 0, 1, 2, …, 400. Определим событие В = {в течение часа 5 абонентов позвонят на коммутатор}.

Так как число испытаний велико, а вероятность наступления события A = {в течение часа абонент позвонит на коммутатор} очень мала (p = 0, 01 < 0, 1), то в этом случае можно воспользоваться приближенной формулой Пуассона

Определим событие С = {в течение часа не более 4 абонентов позвонят на коммутатор, то есть или 0, или 1, или 2, или 3, или 4}.

Воспользуемся приближенной формулой Пуассона и теоремой сложения вероятностей несовместных событий:

0, 0183 + 0, 0733 + 0, 1465 + 0, 1954 +

+ 0, 1954 = 0, 6289.

Определим событие D ={в течение часа более 4 абонентов позвонят на коммутатор, то есть или 5, или 6, или 7, или 8, …}.

События С и D – противоположные, то есть С + D= , Р(С)+Р(D) = 1,

Р(D)= 1 – Р(С)= 1 – 0, 6289 = 0, 3711.

Пример 16 К абоненту АТС в среднем поступает 1, 5 вызова в час. Поток вызовов можно считать простейшим. Для этого промежутка времени найти вероятность того, что: а) в течение часа поступит хотя бы один вызов; б) в течение трех часов произойдет не менее четырех вызовов.

Решение. а) Случайная величина X₁, определяющая число вызовов, поступивших в течение часа, может принимать значения 0, 1, 2, 3, … и, согласно условию, распределена по закону Пуассона с параметром a = l t = 1, 5 (так как интенсивность потока l = 1, 5; t = 1[час]). Обозначим событие: A= {в течение часа поступит хотя бы один вызов}.

Тогда

P(A) = P(X₁³ 1) = 1 – P(X₁= 0) = 1 – (a⁰e^–a)/0! = 1 – е^{–1, 5} = 1 – 0, 22313 =0, 77687.

б) Для определения вероятности события B = {в течение трех часов поступит не менее четырех вызовов} введем в рассмотрение случайную величину X₂, определяющую число вызовов, поступивших в течение трех часов. Эта случайная величина распределена по закону Пуассона с параметром a = l t = 1, 5 × 3 = 4, 5:

Таблица 2 – Некоторые виды законов распределения дискретных законов распределения

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 8 Следующая ⇒