Последовательности независимых испытаний. Формулы

Бернулли, Лапласа, Пуассона

Если производится несколько испытаний, таких, что вероятность рассматриваемого события A в каждом из испытаний не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события A.

Испытаниями Бернулли называются повторные независимые испытания, в каждом из которых нас интересуют только два исхода (будем называть их «успех» и «неудача»), вероятности которых постоянны в каждом испытании.

Например, при многократном подбрасывании монеты (за успех принимаем выпадение герба, за неудачу – выпадение решки) вероятность успеха p , вероятность неудачи q = 1 – p . При многократном подбрасывании игральной кости (за успех принимаем выпадение на верхней грани «1», за неудачу – выпадение любого другого числа («2» или «3», или «4», или «5», или «6»)) вероятность успеха p , вероятность неудачи q = 1 – p .

Если производится n независимых испытаний в одинаковых условиях, в каждом из которых с одной и той же вероятностью p может произойти событие A, то вероятность P_n(m) того, что в этих n испытаниях событие A произойдет ровно m раз, определяется по формулам Бернулли, Лапласа или Пуассона.

1 Обычно при решении задач формула Бернулли применяется, если число экспериментов невелико ( .

Формула Бернулли

 

, (10)

 

где q = 1 – p – вероятность непоявления события A в каждом из испытаний;

– число сочетаний из n элементов по m,

 

, где .

 

 

2 Очевидно, что при больших значениях n пользоваться формулой Бернулли затруднительно, так как придется вычислять значения факториалов больших чисел и возводить в большую степень числа, близкие к нулю (0 < p < 1). В этом случае можно использовать асимптотические формулы Лапласа, дающие тем лучшее приближенное значение P_n(m) и P_n(k₁ £ m £ k₂), чем больше n.

 

Локальная теорема Лапласа. Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы (0 < p < 1), то вероятность того, что событие A появится в серии из n испытаний ровно m раз приближенно равна

 

, (11)

где .

 

(В приложении A приведена таблица значений функции , соответствующих положительным значениям аргумента.)

Функция j(x) является четной функцией, то есть j(– x) = j(x), для всех принимается j( x) = 0.

 

Интегральная теорема Лапласа. Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы (0 < p < 1), то вероятность того, что событие A появится в серии из n испытаний от k₁ до k₂ раз, приближенно равна

 

, (12)

 

где , .

 

В приложении Б приведены таблицы значений функции Лапласа

.

 

Функция F(x) нечетна, то есть F(– x) = – F(x). При x > 5 можно принять F(x) = 0, 5.

3 Пусть число экспериментов Бернулли велико ( ), а вероятность наступления события A в каждом испытании очень мала ( ), тогда вероятность того, что событие A появится в серии из n испытаний ровно m раз, приближенно равна

(13)

где произведение .

Приведем таблицу, с помощью которой, можно определить формулу при решении задачи.

 

Таблица 1 – Условия применения формул при испытаниях Бернулли (цифры условные)

 

Число испытаний, n
Вероятность наступления события А, р(А)	0, 6 0 < p < 1	0, 6 0 < p < 1	0, 006
Событие А появится m раз
Формула	Бернулли	Лапласа	Пуассона

 

Наивероятнейшее число m₀ наступлений события A в серии из n испытаний, в каждом из которых оно может наступить с вероятностью p, определяется из двойного неравенства

 

np – q £ m₀ £ np + p.

Пример 10 Предприятие для изучения потребительских предпочтений на товар в случайном порядке рассылает анкеты по адресам (почтовый опрос). Вероятность того, что заполненные потребителями анкеты «возвратятся» на предприятие, составляет . Определить:

а) какова вероятность того, что из разосланных анкет «возвратятся» не более анкет;

б) найдите наиболее вероятное число анкет, «возвратившихся» на предприятие, и соответствующую этому значению вероятность.

Рассмотрим решение задачи для трех вариантов:

Вариант	n	P	k
Первый		0, 4
Второй		0, 4
Третий		0, 05

 

Решение. Первый вариант.

а) Для определения вероятности события В воспользуемся формулой Бернулли и теоремой сложения вероятностей несовместных событий:

 

Р(В) = + + + ;

;

;

;

.

Р(В) = + + + = 0, 006047+ 0, 040311+ 0, 120932+ 0, 214991 = 0, 38228.

 

б) Условие задачи можно рассматривать как серию из n = 10 независимых испытаний, состоящих в рассылке анкет, в каждом из которых с вероятностью может осуществиться событие A = {посланная анкета «возвратится» на предприятие}. Вероятность того, что посланная анкета «не возвратится» на предприятие, равна q = 1 – 0, 4 = 0, 6.

Определим наиболее вероятное число анкет, «возвратившихся» на предприятие по формуле

np – q £ m₀ £ np + p.

£ m₀ £

3, 4 £ m₀ £ 4, 4.

 

Наивероятнейшее число m₀ = 4.

Так как число испытаний невелико для вычисления вероятностей событий B = {из 10 разосланных анкет менее 4 «возвратились» на предприятие} и C = {из 10 разосланных анкет ровно 4 «возвратились» на предприятие} можно воспользоваться точной формулой Бернулли.

Для определения вероятности события С воспользуемся формулой Бернулли

.

 

Решение. Второй вариант.

а) Условие задачи можно рассматривать как серию из n = 100 независимых испытаний, состоящих в рассылке анкет, в каждом из которых с вероятностью может осуществиться событие A = {посланная анкета «возвратится» на предприятие}. Вероятность того, что посланная анкета «не возвратится» на предприятие, равна q = 1 – 0, 4 = 0, 6.

Так как число испытаний достаточно велико для вычисления вероятностей событий B = {из 100 разосланных анкет менее 40 «возвратились» на предприятие} и C = {из 100 разосланных анкет ровно 40 «возвратились» на предприятие} можно воспользоваться приближёнными формулами Муавра-Лапласа:

а) Для вычисления вероятности события B воспользуемся интегральной теоремой Муавра-Лапласа при n = 100; p = 0, 4; q = 1 – 0, 4 = 0, 6; k₁ = 0; k₂ = 40:

 

;

 

По таблицам значений функции находим F (–8, 165) = = – 0, 5, F (0) = 0, 0.

Таким образом,

.

 

б) Определим наиболее вероятное число анкет, «возвратившихся» на предприятие по формуле

np – q £ m₀ £ np + p.

£ m₀ £

39, 4 £ m₀ £ 40, 4.

 

Наивероятнейшее число m₀ = 40.

Для вычисления вероятности события С воспользуемся локальной теоремой Муавра-Лапласа. В данном случае n = 100; p = 0, 4; q = 0, 6; m = 40:

По таблицам значений функции находим j (0) = 0, 3989.

Ответ: а) вероятность того, что из 100 разосланных анкет не более 40 «возвратятся» на предприятие, равна 0, 5; б) наиболее вероятное число разосланных анкет, «возвратившихся» на предприятие, составит 40, соответствующая этому числу вероятность 0, 0814.

Решение. Третий вариант.

В данном случае для вычисления вероятностей воспользуемся приближенной формулой Пуассона с параметром a = np, так какчисло испытаний n = 200достаточно велико, а вероятность появления события в каждом испытании p = 0, 05очень мала (p < 0, 1), то есть в каждом отдельном опыте событие A появляется крайне редко:

Таблица значений функции приведена в приложении В.

a = np = .

 

а) Определим событие В = {не более двух анкет «возвратятся» на предприятие, то есть или 0, или 1, или 2}.

 

 

Вероятность события В

 

= 0, 0028.

 

б) Условие задачи можно рассматривать как серию из n = 200 независимых испытаний, состоящих в рассылке анкет, в каждом из которых с вероятностью может осуществиться событие A = {посланная анкета «возвратится» на предприятие}. Вероятность того, что посланная анкета «не возвратится» на предприятие, равна q = 1 – 0, 05 = 0, 95.

Определим наиболее вероятное число анкет, «возвратившихся» на предприятие, по формуле

np – q £ m₀ £ np + p,

£ m₀ £

9, 05 £ m₀ £ 10, 05.

 

Наивероятнейшее число m₀ = 10.

Определим событие С = {10 анкет «возвратятся» на предприятие}.

Вероятность события С

 

.

 

Ответ: а) вероятность того, что из 200 разосланных анкет не более 2 «возвратятся» на предприятие, равна 0, 002769; б) наиболее вероятное число разосланных анкет, «возвратившихся» на предприятие, составит 10, соответствующая этому числу вероятность 0, 12511.

Вопросы для самоконтроля

 

1 Какие испытания называются независимыми? Приведите примеры.

2 Какие испытания называются испытаниями Бернулли? Приведите примеры.

3 При каких условиях применяется формула Бернулли?

4 Что определяется по формуле Бернулли?

5 При каких условиях применяется предельная теорема Пуассона?

6 При каких условиях применяются предельные теоремы Myaвpa-Лапласа?

7 Что определяется по локальной теореме Муавра-Лапласа?

8 Что определяется по интегральной теореме Муавра-Лапласа?

9 Какое число называется наивероятнейшим числом наступлений события A в серии из n испытаний?

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Аппроксимация в виде системы линейно независимых функций
2. В задачах 881–890 составить электронные формулы атомов элементов в стабильном и возбужденном состояниях и изобразить орбитали внешнего энергетического уровня
3. В иерархии независимых рекламных газет.
4. В какой последовательности необходимо выполнять технические мероприятия, обеспечивающие безопасность работ со снятием напряжения?
5. Ввод формулы с помощью программы MS Equation.
6. Ввод формулы. Вычисления по формулам
7. Глава XI. О геологической последовательности органических существ
8. Дайте определение автономных испытаний.
9. Дайте определение комплексных испытаний.
10. Диаграммы последовательности действий
11. Длинные формулы: «большая лягушка», «большая рыбка», «ящерица»
12. Ежедневный осмотр родильницы проводят в нижеприведенной последовательности.