Кафедра «Прикладная математика»

Стр 1 из 8Следующая ⇒

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА»

Кафедра «Прикладная математика»

Т. В. АЛЫМОВА

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Часть I

Учебно-методическое пособие для студентов

заочного факультета

Гомель 2016

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА»

Кафедра «Прикладная математика»

Т. В. АЛЫМОВА

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Учебно-методическое пособие для студентов

заочного факультета

Одобрено методической комиссией факультета

заочного обучения

Гомель 2016

УДК 519.21

ББК 22.171

П77

Рецензент – доцент кафедры математического анализа

О. В. Якубович (УО «ГГУ им. Ф. Скорины»).

Алымова, Т. В.

П77	Основы теории вероятностей и математической статистики: учеб.-метод. пособие для студентов заочного факультета / Т. В. Алымова; М-во образования Респ. Беларусь, Белорус. гос. ун-т трансп. – Гомель: БелГУТ, 2015. – 140 с. ISBN 978-985-468-375-1

Содержит основные разделы теории вероятностей, предусмотренные учебной программой по специальностям РД РБ 1-250108, РД РБ 1-250110 по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика». Приведены задания для выполнения контрольных работ. Содержит достаточное количество справочного материала и задания для самостоятельной индивидуальной работы и примеры ее выполнения.

Предназначено для студентов заочного факультета. Может быть использовано при выполнении курсовых и дипломных проектов студентами, аспирантами и научными работниками, занимающимися вероятностными методами.

УДК 519.21

ББК 22.171

ISBN 978-985-468-375-1 © Алымова Т. В., 2016

Введение

Теория вероятностей – математическая дисциплина, изучающая закономерности в случайных явлениях.

Математическая статистика – наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов, опирающаяся на теорию вероятностей.

Объектами изучения теории вероятностей и математической статистики являются случайные события, величины и функции, которые характеризуют рассматриваемое случайное явление.

Случайным в теории вероятностей называют событие, которое при данном испытании, в данном опыте может либо произойти, либо не произойти и для которого имеется определенная вероятность его наступления. Случайными являются следующие события: выигрыш на один билет денежной лотереи, соответствие контролируемого продукта установленным требованиям, безотказная работа автомобиля в течение первого месяца его эксплуатации, выполнение подрядчиком суточного графика работ.

Событие называется достоверным, если в результате опыта оно обязательно произойдет.

Событие называется невозможным, если в результате опыта оно не может произойти.

Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях естествознания и техники: в теории надежности, теории массового обслуживания, теоретической физике, геодезии, астрономии, теории стрельбы, теории автоматического управления, общей теории связи и во многих других теоретических и прикладных науках. Теория вероятностей служит также для обоснования математической и прикладной статистики, которая в свою очередь используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов, предупредительном и приемочном контроле качества продукции и для многих других целей.

В последние годы методы теории вероятностей все шире и шире проникают в различные области науки и техники, способствуя их прогрессу.

1 СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ.
ВЕРОЯТНОСТИ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ

Пространство элементарных событий. Операции над событиями

Операции над событиями

Пусть имеется пространство элементарных событий произвольной природы. Будем рассматривать в качестве событий подмножества A, B, C, ... этого пространства.

События A и B называются несовместными, если они не могут произойти одновременно, то есть одновременное осуществление событий A и B есть событие невозможное.

Несколько событий называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других в этом испытании.

События A и B называются совместными, если они могут произойти одновременно.

Несколько событий называются совместными, если появление одного из них не исключает появление других в этом испытании.

В рассмотренном выше примере 1: Е: Подбрасывание двух монет. W = {ГГ, ГР, РГ, РР}.

События A = {ГГ}, B = {РР}, С = {ГР, РГ} – несовместные. События A = {ГГ} и D ={ГГ, ГР, РГ} – совместные. События B = {РР} и D = {ГГ, ГР, РГ} – несовместные. Событие С = {ГР, РГ} и D = {ГГ, ГР, РГ} – совместные.

В рассмотренном выше примере 2: Е: Подбрасывание игрального кубика. W = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Событие A = {2, 4, 6} и событие B = {1, 3, 5} – несовместные. Событие A = {2, 4, 6} и событие С = {1, 2, 3, 4, 5} – совместные.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. В частности, если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится только одно из них ( будем использовать это далее ).

В рассмотренном выше примере 1: Е: Подбрасывание двух монет. W = {ГГ, ГР, РГ, РР}.

Событие A = {ГГ} и событие B = {РР}, событие С = {ГР, РГ} – образуют полную группу событий.

В рассмотренном выше примере 2: Е: Подбрасывание игрального кубика. W = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Событие A = {2, 4, 6} и событие B = {1, 3, 5} – образуют полную группу событий.

Суммой ( объединением ) событий A и B (обозначается A È B или A + B ) называется третье событие, состоящее в осуществлении хотя бы одного из событий A или B, то есть, когда происходит или A, или B, или оба вместе.Благоприятными событию A È B являются все исходы, благоприятные хотя бы одному из событий A или B.

Аналогично определяется сумма любого числа событий A₁È A₂È
È A₃È … Это событие состоит в осуществлении хотя бы одного из событий A₁, A₂, A₃, … Благоприятными этому событию являются все элементарные исходы, благоприятные хотя бы одному из событий A₁, A₂, A_3, …

Произведением ( пересечением ) событий A и B (обозначается A Ç B или AB ) называется третье событие, состоящее в одновременном осуществлении событий A и B. Событию AÇ B благоприятны исходы, благоприятные и событию A и событию B, то есть исходы, которые одновременно принадлежат двум событиям A и B.

Согласно определению произведение любого числа событий А₁Ç А₂Ç А₃Ç _… состоит в одновременном осуществлении событий A₁, A₂, A₃, … Благоприятными этому событию являются исходы, благоприятные всем рассматриваемым событиям A₁, A₂, A₃, …

Разностью событий A и B (обозначается A \ B, или A – B ) называется третье событие, состоящее в осуществлении события A без осуществления события B. Событие A \ B состоит из всех элементарных исходов, благоприятных событию A, за исключением исходов, благоприятных событию B.

Противоположным событию A называется событие , состоящее в ненаступлении события A. Событию благоприятны все возможные исходы пространства элементарных событий, кроме тех, которые благоприятны событию A. То есть = W \ A, + A= W.

События A и B называются несовместными, если они не могут произойти одновременно, то есть одновременное осуществление событий A и B есть событие невозможное (A Ç B = Æ ).

В рассмотренном выше примере 1: Е: Подбрасывание двух монет. W = {ГГ, ГР, РГ, РР}.

Событие A = {выпадение герба на двух монетах}, A = {ГГ}; событие B = {выпадение решки на двух монетах}, B = {РР}, событие С = {выпадение решки только на одной монете}, С = {ГР, РГ}, событие D = {выпадение герба хотя бы на одной монете}, D = {ГГ, ГР, РГ}.

Сумма событий A È B = {ГГ, РР}; A È С = {ГГ, ГР, РГ}.A È D = {ГГ, ГР, РГ}.

Произведение событий A Ç B = {Æ }; A Ç D = {ГГ}.

Разность событий A \ B = {ГГ}; B \ A = {РР}, A \ D = {Æ }; D \ A = {ГР, РГ}.

Противоположное событие = {ГР, РГ, РР}, = {ГГ, ГР, РГ}, = {РР}.

Вопросы для самоконтроля

1 Что называют опытом, или испытанием?

2 Что называют событием?

3 Какое событие называют достоверным?

4 Какое событие называют невозможным?

5 Какое событие называют случайным?

6 Какие события называют совместными?

7 Какие события называют несовместными?

8 Какие события называют противоположными?

9 Что называют полной группой событий?

10 Что называют элементарным исходом?

11 Какие элементарные исходы называют благоприятствующими данному событию?

12 Что представляет собой полная группа событий при подбрасывании трех монет?

Вероятность

1.2.1 Относительная частота случайного события.
Понятие вероятности случайного события.
Аксиомы теории вероятностей

Пусть вероятностный эксперимент Е воспроизведен при одинаковых условиях п раз. При этом некоторое случайное событие А произошло т раз ( ).

Число т называется частотой появления случайного события А, а отношение называется относительной частотой (или частостью)случайного события А.

Относительная частота события обладает следующими свойствами:

1 Относительная частота случайного события есть число, заключенное между нулем и единицей: 0 £ W(A) £ 1.

2 Относительная частота достоверного события равна единице: W (W) =1.

3 Относительная частота невозможного события равна нулю W (Æ ) = 0.

4 Относительная частота суммы двух несовместных событий A и В равна сумме частот этих событий: W(A+В) = W(A)+ W(В).

Пример 4 Среди 1000 новорожденных оказалось 515 мальчиков. Чему равна частота рождения мальчиков?

Решение. Поскольку в данном случае = 1000, т = 515, то

Следует отметить, что относительная частота наступления некоторого случайного события не является постоянной величиной, однако она обладает устойчивостью, стремлением к некоторому постоянному числу, и колебания ее относительно этого постоянного числа тем меньше, чем больше проведено экспериментов.

Для того чтобы сравнивать между собой события по степени их возможности, необходимо связать с каждым из них некоторое число, которое тем больше, чем более возможно наступление события. Это число называется вероятностью события.

Вероятность случайного события А – эточисловая функция Р(А), определенная на пространстве элементарных событий , характеризующая меру объективной (не зависящей от воли исследователя) возможности наступления события А.

Замечательным экспериментальным фактом является то, что при неограниченном увеличении числа испытаний относительная частота события A приближается к вероятности события A и стабилизируется около этого значения.

При статистическом определении вероятности в качестве вероятности события используется относительная частота этого события в большой серии испытаний.

Например, если обычную монету подбрасывать = 30 раз, наблюдая при этом 12 выпадений герба, то т = 12, а . При = 400 подбрасываниях возможно 205 появлений герба, при этом относительная частота появления герба составит 0, 5125.

Вероятность события A вычисляется без проведения опытов, а относительная частота только после проведения опытов.

Сформулируем основное положение теории вероятностей. Пусть дано дискретное пространство элементарных событий W с элементами w₁, w₂, w₃, … Полагаем, что каждому из элементарных событий w_i поставлена в соответствие некоторая неотрицательная числовая характеристика p_i = P(w_i), называемая вероятностью этого события, причем

По определению, вероятность P(A) любого события A равна сумме вероятностей всех составляющих его элементарных событий:

Рассмотрим аксиомы, которым должны удовлетворять вероятности любых событий:

А1 (аксиома неотрицательности). Вероятность любого события A есть неотрицательное число:

P(A) ³ 0, для любого события A.

А2 (аксиома нормированности). Вероятность достоверного события (всего пространства элементарных исходов W) равна единице:

P(W) = 1.

А3 (аксиома аддитивности). Вероятность суммы счетного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A₁È A₂È A₃È …) = P(A₁) + P(A₂) + P(A₃) + …

Основные следствия из аксиом теории вероятностей:

1 Вероятность невозможного события равна нулю: P(Æ ) = 0.

2 Вероятность любого случайного события есть число, заключенное в отрезке от нуля до единицы: 0 £ P(A) £ 1.

3 Вероятность события , противоположного событию A, можно определить следующим образом: P( ) = 1 – P(A).

1.2.2 Классический метод определения вероятности

Если пространство элементарных событий некоторого эксперимента состоит из конечного числа элементов w₁, w₂, …, w_n, причём все исходы являются равновозможными, то есть

P(w₁) = P(w₂) = … = P(w_n),

то для определения вероятности любого события A, связанного с данным экспериментом, можно воспользоваться так называемым классическим методом определения вероятности, согласно которому вероятность любого события A определяется по формуле

(1)

где m – число элементарных исходов, благоприятных событию A;

n – общее число исходов пространства элементарных событий W.

Ограничения классического способа:

а) все элементарные исходы вероятностного эксперимента Е должны быть равновозможными, то есть = , для любых ;

б) множество всех элементарных исходов пространства W должно быть конечным. Например, классический метод нельзя применить для вычисления вероятности того, что монета выпадет при втором подбрасывании монеты для примера 3:

Е: Подбрасывание монеты до тех пор, пока на ней не выпадет герб.

W = {Г, РГ, РРГ, РРРГ, РРРРГ, РРРРРГ, … }. В данном случае пространство W бесконечно.

Пример 5 При наборе телефонного номера абонент набирает 2 последние цифры наугад, помня лишь, что они одинаковые и нечетные. Найти вероятность того, что номер будет набран правильно с первой попытки.

Решение. Элементарными исходами рассматриваемого эксперимента являются возможные варианты последовательного набора двух одинаковых цифр из пяти. В условии указано, что цифры нечетные и одинаковые, поэтому выбирать будем дважды одну и ту же цифру из 1, 3, 5, 7, 9.

Пространство элементарных исходов рассматриваемого эксперимента:

W = {(1, 1), (3, 3), (5, 5), (7, 7), (9, 9)}.

В данном случае пространство элементарных исходов состоит из 5 элементов: n = 5.

Поскольку цифры набираются случайным образом, все элементарные исходы равновозможны, то для вычисления вероятности интересующего нас события можно воспользоваться классическим методом определения вероятностей.

Число исходов, благоприятных событию A, равно 1, так как при наборе только одной комбинации цифр номер будет набран правильно: m = 1.

Отсюда:

Вопросы для самоконтроля

1 Что называют вероятностью события?

2 Чему равна вероятность достоверного события?

3Чему равна вероятность невозможного события?

4 В каких пределах заключена вероятность случайного события?

5 Какое определение вероятности называют классическим?

Независимые события

Два события A и B называются независимыми, если

P(AÇ B) = P(A)P(B). (7)

Для пояснения естественности такого определения вернемся к теореме умножения вероятностей (6) и установим, в каких ситуациях из нее следует (7). Очевидно, что это может быть тогда, когда условная вероятность P(A|B) равна соответствующей безусловной вероятности события А: P(A|B) = P(A), то есть когда вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. (Аналогично, P(B|A) = P(B)).

В основе независимости событий лежит их физическая независимость, состоящая в том, что множества факторов, влияющих на исход эксперимента и обусловливающих появление этих событий, не пересекаются или почти не пересекаются.

События A₁, A₂, …, A_nназываются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из этих событий не зависит от появления любого числа остальных событий.

Теорема умножения вероятностей для независимых в совокупности событий A₁, A₂, …, A_n имеет вид

P(A₁Ç A₂Ç … Ç A_n) = P(A₁)P(A₂) … P(A_n).

Пример 8 При изготовлении изделие проходит три основные независимые операции. Вероятность получения стандартного изделия при первой операции равна 0, 9, второй – 0, 95, третьей – 0, 8. Найти вероятность того, что:

а) изделие окажется стандартным;

б) изделие окажется нестандартным.

Решение. Обозначим события:

A_i = {i-ю операцию изделие прошло без брака}, i = 1, 2, 3;

B = {изделие окажется стандартным};

C = {изделие окажется нестандартным}.

Согласно условию: вероятность события A₁ равна P(A₁) = 0, 9, вероятность события A₂равна P(A₂) = 0, 95, вероятность события A₃ равна P(A₃) = 0, 8.

Тогда вероятности противоположных событий:

Определим все события данного случайного эксперимента и соответствующие вероятности:

События	Вероятности








	Итого 1

а) По теореме умножения вероятностей независимых событий

б) Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий и теорему умножения вероятностей независимых событий, получим

+ + + + = 0, 036 + 0, 076 + 0, 171 + 0, 004 + 0, 009 + 0, 019 + 0, 001 = 0, 316.

События B = {изделие окажется стандартным} и C = {изделие окажется нестандартным} являются противоположными, то есть ,

= 1 – 0, 684= 0, 316.

Вопросы для самоконтроля

1 Сформулируйте теорему сложения вероятностей для двух совместных событий.

2 Сформулируйте теорему сложения вероятностей для двух несовместных событий

3 Что называется условной вероятностью?

4 Сформулируйте теорему умножения вероятностей для двух зависимых событий.

5 Сформулируйте теорему умножения вероятностей для двух независимых событий.

6 Следствием каких теорем являются формулы полной вероятности и Байеса?

7 Какие события называют гипотезами?

8 Сформулируйте формулу полной вероятности.

9 Сформулируйте формулу Байеса.

Бернулли, Лапласа, Пуассона

Если производится несколько испытаний, таких, что вероятность рассматриваемого события A в каждом из испытаний не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события A.

Испытаниями Бернулли называются повторные независимые испытания, в каждом из которых нас интересуют только два исхода (будем называть их «успех» и «неудача»), вероятности которых постоянны в каждом испытании.

Например, при многократном подбрасывании монеты (за успех принимаем выпадение герба, за неудачу – выпадение решки) вероятность успеха p , вероятность неудачи q = 1 – p . При многократном подбрасывании игральной кости (за успех принимаем выпадение на верхней грани «1», за неудачу – выпадение любого другого числа («2» или «3», или «4», или «5», или «6»)) вероятность успеха p , вероятность неудачи q = 1 – p .

Если производится n независимых испытаний в одинаковых условиях, в каждом из которых с одной и той же вероятностью p может произойти событие A, то вероятность P_n(m) того, что в этих n испытаниях событие A произойдет ровно m раз, определяется по формулам Бернулли, Лапласа или Пуассона.

1 Обычно при решении задач формула Бернулли применяется, если число экспериментов невелико ( .

Формула Бернулли

, (10)

где q = 1 – p – вероятность непоявления события A в каждом из испытаний;

– число сочетаний из n элементов по m,

, где .

2 Очевидно, что при больших значениях n пользоваться формулой Бернулли затруднительно, так как придется вычислять значения факториалов больших чисел и возводить в большую степень числа, близкие к нулю (0 < p < 1). В этом случае можно использовать асимптотические формулы Лапласа, дающие тем лучшее приближенное значение P_n(m) и P_n(k₁£ m £ k₂), чем больше n.

Локальная теорема Лапласа. Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы (0 < p < 1), то вероятность того, что событие A появится в серии из n испытаний ровно m раз приближенно равна

, (11)

где .

(В приложении A приведена таблица значений функции , соответствующих положительным значениям аргумента.)

Функция j(x) является четной функцией, то есть j(– x) = j(x), для всех принимается j( x) = 0.

Интегральная теорема Лапласа. Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы (0 < p < 1), то вероятность того, что событие A появится в серии из n испытаний от k₁ до k₂ раз, приближенно равна

, (12)

где , .

В приложении Б приведены таблицы значений функции Лапласа

Функция F(x) нечетна, то есть F(– x) = – F(x). При x > 5 можно принять F(x) = 0, 5.

3 Пусть число экспериментов Бернулли велико ( ), а вероятность наступления события A в каждом испытании очень мала ( ), тогда вероятность того, что событие A появится в серии из n испытаний ровно m раз, приближенно равна

(13)

где произведение .

Приведем таблицу, с помощью которой, можно определить формулу при решении задачи.

Таблица 1 – Условия применения формул при испытаниях Бернулли (цифры условные)

Число испытаний, n
Вероятность наступления события А, р(А)	0, 6 0 < p < 1	0, 6 0 < p < 1	0, 006
Событие А появится m раз
Формула	Бернулли	Лапласа	Пуассона

Наивероятнейшее число m₀ наступлений события A в серии из n испытаний, в каждом из которых оно может наступить с вероятностью p, определяется из двойного неравенства

np – q £ m₀£ np + p.

Пример 10 Предприятие для изучения потребительских предпочтений на товар в случайном порядке рассылает анкеты по адресам (почтовый опрос). Вероятность того, что заполненные потребителями анкеты «возвратятся» на предприятие, составляет . Определить:

а) какова вероятность того, что из разосланных анкет «возвратятся» не более анкет;

б) найдите наиболее вероятное число анкет, «возвратившихся» на предприятие, и соответствующую этому значению вероятность.

Рассмотрим решение задачи для трех вариантов:

Вариант	n	P	k
Первый		0, 4
Второй		0, 4
Третий		0, 05

Решение. Первый вариант.

а) Для определения вероятности события В воспользуемся формулой Бернулли и теоремой сложения вероятностей несовместных событий:

Р(В) = + + + ;

;

Р(В) = + + + = 0, 006047+ 0, 040311+ 0, 120932+ 0, 214991 = 0, 38228.

б) Условие задачи можно рассматривать как серию из n = 10 независимых испытаний, состоящих в рассылке анкет, в каждом из которых с вероятностью может осуществиться событие A = {посланная анкета «возвратится» на предприятие}. Вероятность того, что посланная анкета «не возвратится» на предприятие, равна q = 1 – 0, 4 = 0, 6.

Определим наиболее вероятное число анкет, «возвратившихся» на предприятие по формуле

np – q £ m₀ £ np + p.

£ m₀ £

3, 4 £ m₀ £ 4, 4.

Наивероятнейшее число m₀ = 4.

Так как число испытаний невелико для вычисления вероятностей событий B = {из 10 разосланных анкет менее 4 «возвратились» на предприятие} и C = {из 10 разосланных анкет ровно 4 «возвратились» на предприятие} можно воспользоваться точной формулой Бернулли.

Для определения вероятности события С воспользуемся формулой Бернулли

Решение. Второй вариант.

а) Условие задачи можно рассматривать как серию из n = 100 независимых испытаний, состоящих в рассылке анкет, в каждом из которых с вероятностью может осуществиться событие A = {посланная анкета «возвратится» на предприятие}. Вероятность того, что посланная анкета «не возвратится» на предприятие, равна q = 1 – 0, 4 = 0, 6.

Так как число испытаний достаточно велико для вычисления вероятностей событий B = {из 100 разосланных анкет менее 40 «возвратились» на предприятие} и C = {из 100 разосланных анкет ровно 40 «возвратились» на предприятие} можно воспользоваться приближёнными формулами Муавра-Лапласа:

а) Для вычисления вероятности события B воспользуемся интегральной теоремой Муавра-Лапласа при n = 100; p = 0, 4; q = 1 – 0, 4 = 0, 6; k₁= 0; k₂= 40:

;

По таблицам значений функции находим F (–8, 165) = = – 0, 5, F (0) = 0, 0.

Таким образом,

б) Определим наиболее вероятное число анкет, «возвратившихся» на предприятие по формуле

np – q £ m₀ £ np + p.

£ m₀ £

39, 4 £ m₀ £ 40, 4.

Наивероятнейшее число m₀ = 40.

Для вычисления вероятности события С воспользуемся локальной теоремой Муавра-Лапласа. В данном случае n = 100; p = 0, 4; q = 0, 6; m = 40:

По таблицам значений функции находим j (0) = 0, 3989.

Ответ: а) вероятность того, что из 100 разосланных анкет не более 40 «возвратятся» на предприятие, равна 0, 5; б) наиболее вероятное число разосланных анкет, «возвратившихся» на предприятие, составит 40, соответствующая этому числу вероятность 0, 0814.

Решение. Третий вариант.

В данном случае для вычисления вероятностей воспользуемся приближенной формулой Пуассона с параметром a = np, так какчисло испытаний n = 200достаточно велико, а вероятность появления события в каждом испытании p = 0, 05очень мала (p < 0, 1), то есть в каждом отдельном опыте событие A появляется крайне редко:

Таблица значений функции приведена в приложении В.

a = np = .

а) Определим событие В = {не более двух анкет «возвратятся» на предприятие, то есть или 0, или 1, или 2}.

Вероятность события В

= 0, 0028.

б) Условие задачи можно рассматривать как серию из n = 200 независимых испытаний, состоящих в рассылке анкет, в каждом из которых с вероятностью может осуществиться событие A = {посланная анкета «возвратится» на предприятие}. Вероятность того, что посланная анкета «не возвратится» на предприятие, равна q = 1 – 0, 05 = 0, 95.

Определим наиболее вероятное число анкет, «возвратившихся» на предприятие, по формуле

np – q £ m₀ £ np + p,

£ m₀ £

9, 05 £ m₀ £ 10, 05.

Наивероятнейшее число m₀ = 10.

Определим событие С = {10 анкет «возвратятся» на предприятие}.

Вероятность события С

12 3 4 5 6 7 8 Следующая ⇒