Пространство элементарных событий

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 8Следующая ⇒

Вероятностными экспериментами (в дальнейшем будем обозначать символом «Е») называются испытания, которые могут быть многократно воспроизведены при соблюдении одних и тех же фиксированных условий, результат которых не удается заранее однозначно предсказать. Приведем несколько примеров случайных экспериментов:

Е: подбрасывание двух монет;

Е: подбрасывание игральной кости;

Е: подсчет числа покупателей в магазине в течение рабочего дня;

Е: изучение отклонения заработной платы работников от среднего значения заработной платы на предприятии и т. д.

Случайными называются явления, исход которых при одинаковом комплексе условий заранее нельзя предсказать.

Однако при многократном воспроизведении указанных экспериментов можно заметить некоторые закономерности. Изучение таких закономерностей, возникающих при взаимодействии большого числа случайных факторов, и разработка математических моделей случайных экспериментов являются предметом теории вероятностей.

Опытом, или экспериментом, называют всякое осуществление определенного комплекса условий или действий, при которых происходит соответствующее случайное явление. Возможный результат опыта называют событием.

Для каждого случайного эксперимента можно указать множество, в котором представлена информация о всех возможных взаимоисключающих исходах этого эксперимента. Это множество называется пространством элементарных исходов (или событий). Обозначается буквой W (омега).

Элементарным исходом (событием) w называется любой мысленно возможный неразложимый результат вероятностного эксперимента E.

Пространство элементарных исходов, состоящее из конечного или счетного числа элементов называется дискретным. Пространство элементарных исходов, состоящее из несчетного числа элементарных исходов называется непрерывным.

В общем случае пространство элементарных событий W может быть любой природы, как конечным, так и бесконечным, как дискретным, так и непрерывным.

Пример 1 Е: Подбрасывание двух монет. W = {ГГ, ГР, РГ, РР}.

Пример 2 Е: Подбрасывание игрального кубика. W = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Пример 3 Е: Подбрасывание монеты до тех пор, пока на ней не выпадет герб. W = {Г, РГ, РРГ, РРРГ, РРРРГ, РРРРРГ, … }.

В эксперименте с подбрасыванием игрального кубика (пример 2) элементарными исходами будут выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6. То есть w₁= «1», w₂ = «2», w₃= «3», w₄ = «4», w₅= «5», w₆ = «6» – элементарные события.

Случайным называется такое событие, которое является подмножеством пространства элементарных событий. Случайные события будем обозначать заглавными латинскими буквами (А, В, С, ...). Элементарные исходы, которые принадлежат множеству А (то есть ), называются благоприятными событию A.

Таким образом, любое событие, связанное с данным испытанием, можно описать в виде совокупности благоприятных ему элементарных событий.

В рассмотренном выше примере 1: Е: Подбрасывание двух монет. W = {ГГ, ГР, РГ, РР}.

Событие A = {выпадение герба на двух монетах}, A = {ГГ}; событие B = {выпадение решки на двух монетах}, B = {РР}, событие С = {выпадение решки только на одной монете}, С = {ГР, РГ}, событие D = {выпадение герба хотя бы на одной монете}, D = {ГГ, ГР, РГ}.

В рассмотренном выше примере 2: Е: Подбрасывание игрального кубика. W = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Событие A = {выпадение четного числа очков}, A = {2, 4, 6}; событие B = {выпадение нечетного числа очков}, B = {1, 3, 5}; событие С = {выпадение числа очков меньше 6}, С = {1, 2, 3, 4, 5}; событие D = {выпадение числа очков больше 2}, D = {3, 4, 5, 6}.

Невозможным событием называется событие, которое никогда не произойдет в данном случайном эксперименте, то есть совпадающее с пустым множеством Æ.

Достоверным событием называется событие, которому благоприятны все возможные элементарные исходы пространства элементарных исходов W и которое обязательно произойдет в результате вероятностного эксперимента Е. В этом случае A = W.

В рассмотренном выше примере 2: Е: Подбрасывание игрального кубика. W = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Достоверное событие E = {выпадение числа очков или четного, или нечетного}, Е = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; невозможное событие F = {выпадение числа очков больше 6}, F = {Æ }.

В рассмотренном выше примере 3: Е: Подбрасывание монеты до тех пор, пока на ней не выпадет герб. W = {Г, РГ, РРГ, РРРГ, РРРРГ, …}.

Достоверное событие А = {монету подбросят хотя бы один раз},

А = {Г, РГ, РРГ, РРРГ, РРРРГ, РРРРРГ, … }= W.

Операции над событиями

Пусть имеется пространство элементарных событий произвольной природы. Будем рассматривать в качестве событий подмножества A, B, C, ... этого пространства.

События A и B называются несовместными, если они не могут произойти одновременно, то есть одновременное осуществление событий A и B есть событие невозможное.

Несколько событий называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других в этом испытании.

События A и B называются совместными, если они могут произойти одновременно.

Несколько событий называются совместными, если появление одного из них не исключает появление других в этом испытании.

В рассмотренном выше примере 1: Е: Подбрасывание двух монет. W = {ГГ, ГР, РГ, РР}.

События A = {ГГ}, B = {РР}, С = {ГР, РГ} – несовместные. События A = {ГГ} и D ={ГГ, ГР, РГ} – совместные. События B = {РР} и D = {ГГ, ГР, РГ} – несовместные. Событие С = {ГР, РГ} и D = {ГГ, ГР, РГ} – совместные.

В рассмотренном выше примере 2: Е: Подбрасывание игрального кубика. W = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Событие A = {2, 4, 6} и событие B = {1, 3, 5} – несовместные. Событие A = {2, 4, 6} и событие С = {1, 2, 3, 4, 5} – совместные.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. В частности, если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится только одно из них ( будем использовать это далее ).

В рассмотренном выше примере 1: Е: Подбрасывание двух монет. W = {ГГ, ГР, РГ, РР}.

Событие A = {ГГ} и событие B = {РР}, событие С = {ГР, РГ} – образуют полную группу событий.

В рассмотренном выше примере 2: Е: Подбрасывание игрального кубика. W = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Событие A = {2, 4, 6} и событие B = {1, 3, 5} – образуют полную группу событий.

Суммой ( объединением ) событий A и B (обозначается A È B или A + B ) называется третье событие, состоящее в осуществлении хотя бы одного из событий A или B, то есть, когда происходит или A, или B, или оба вместе.Благоприятными событию A È B являются все исходы, благоприятные хотя бы одному из событий A или B.

Аналогично определяется сумма любого числа событий A₁È A₂È
È A₃È … Это событие состоит в осуществлении хотя бы одного из событий A₁, A₂, A₃, … Благоприятными этому событию являются все элементарные исходы, благоприятные хотя бы одному из событий A₁, A₂, A_3, …

Произведением ( пересечением ) событий A и B (обозначается A Ç B или AB ) называется третье событие, состоящее в одновременном осуществлении событий A и B. Событию AÇ B благоприятны исходы, благоприятные и событию A и событию B, то есть исходы, которые одновременно принадлежат двум событиям A и B.

Согласно определению произведение любого числа событий А₁Ç А₂Ç А₃Ç _… состоит в одновременном осуществлении событий A₁, A₂, A₃, … Благоприятными этому событию являются исходы, благоприятные всем рассматриваемым событиям A₁, A₂, A₃, …

Разностью событий A и B (обозначается A \ B, или A – B ) называется третье событие, состоящее в осуществлении события A без осуществления события B. Событие A \ B состоит из всех элементарных исходов, благоприятных событию A, за исключением исходов, благоприятных событию B.

Противоположным событию A называется событие , состоящее в ненаступлении события A. Событию благоприятны все возможные исходы пространства элементарных событий, кроме тех, которые благоприятны событию A. То есть = W \ A, + A= W.

События A и B называются несовместными, если они не могут произойти одновременно, то есть одновременное осуществление событий A и B есть событие невозможное (A Ç B = Æ ).

В рассмотренном выше примере 1: Е: Подбрасывание двух монет. W = {ГГ, ГР, РГ, РР}.

Сумма событий A È B = {ГГ, РР}; A È С = {ГГ, ГР, РГ}.A È D = {ГГ, ГР, РГ}.

Произведение событий A Ç B = {Æ }; A Ç D = {ГГ}.

Разность событий A \ B = {ГГ}; B \ A = {РР}, A \ D = {Æ }; D \ A = {ГР, РГ}.

Противоположное событие = {ГР, РГ, РР}, = {ГГ, ГР, РГ}, = {РР}.

Вопросы для самоконтроля

1 Что называют опытом, или испытанием?

2 Что называют событием?

3 Какое событие называют достоверным?

4 Какое событие называют невозможным?

5 Какое событие называют случайным?

6 Какие события называют совместными?

7 Какие события называют несовместными?

8 Какие события называют противоположными?

9 Что называют полной группой событий?

10 Что называют элементарным исходом?

11 Какие элементарные исходы называют благоприятствующими данному событию?

12 Что представляет собой полная группа событий при подбрасывании трех монет?

Вероятность

1.2.1 Относительная частота случайного события.
Понятие вероятности случайного события.
Аксиомы теории вероятностей

Пусть вероятностный эксперимент Е воспроизведен при одинаковых условиях п раз. При этом некоторое случайное событие А произошло т раз ( ).

Число т называется частотой появления случайного события А, а отношение называется относительной частотой (или частостью)случайного события А.

Относительная частота события обладает следующими свойствами:

1 Относительная частота случайного события есть число, заключенное между нулем и единицей: 0 £ W(A) £ 1.

2 Относительная частота достоверного события равна единице: W (W) =1.

3 Относительная частота невозможного события равна нулю W (Æ ) = 0.

4 Относительная частота суммы двух несовместных событий A и В равна сумме частот этих событий: W(A+В) = W(A)+ W(В).

Пример 4 Среди 1000 новорожденных оказалось 515 мальчиков. Чему равна частота рождения мальчиков?

Решение. Поскольку в данном случае = 1000, т = 515, то

Следует отметить, что относительная частота наступления некоторого случайного события не является постоянной величиной, однако она обладает устойчивостью, стремлением к некоторому постоянному числу, и колебания ее относительно этого постоянного числа тем меньше, чем больше проведено экспериментов.

Для того чтобы сравнивать между собой события по степени их возможности, необходимо связать с каждым из них некоторое число, которое тем больше, чем более возможно наступление события. Это число называется вероятностью события.

Вероятность случайного события А – эточисловая функция Р(А), определенная на пространстве элементарных событий , характеризующая меру объективной (не зависящей от воли исследователя) возможности наступления события А.

Замечательным экспериментальным фактом является то, что при неограниченном увеличении числа испытаний относительная частота события A приближается к вероятности события A и стабилизируется около этого значения.

При статистическом определении вероятности в качестве вероятности события используется относительная частота этого события в большой серии испытаний.

Например, если обычную монету подбрасывать = 30 раз, наблюдая при этом 12 выпадений герба, то т = 12, а . При = 400 подбрасываниях возможно 205 появлений герба, при этом относительная частота появления герба составит 0, 5125.

Вероятность события A вычисляется без проведения опытов, а относительная частота только после проведения опытов.

Сформулируем основное положение теории вероятностей. Пусть дано дискретное пространство элементарных событий W с элементами w₁, w₂, w₃, … Полагаем, что каждому из элементарных событий w_i поставлена в соответствие некоторая неотрицательная числовая характеристика p_i = P(w_i), называемая вероятностью этого события, причем

По определению, вероятность P(A) любого события A равна сумме вероятностей всех составляющих его элементарных событий:

Рассмотрим аксиомы, которым должны удовлетворять вероятности любых событий:

А1 (аксиома неотрицательности). Вероятность любого события A есть неотрицательное число:

P(A) ³ 0, для любого события A.

А2 (аксиома нормированности). Вероятность достоверного события (всего пространства элементарных исходов W) равна единице:

P(W) = 1.

А3 (аксиома аддитивности). Вероятность суммы счетного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A₁È A₂È A₃È …) = P(A₁) + P(A₂) + P(A₃) + …

Основные следствия из аксиом теории вероятностей:

1 Вероятность невозможного события равна нулю: P(Æ ) = 0.

2 Вероятность любого случайного события есть число, заключенное в отрезке от нуля до единицы: 0 £ P(A) £ 1.

3 Вероятность события , противоположного событию A, можно определить следующим образом: P( ) = 1 – P(A).

1.2.2 Классический метод определения вероятности

Если пространство элементарных событий некоторого эксперимента состоит из конечного числа элементов w₁, w₂, …, w_n, причём все исходы являются равновозможными, то есть

P(w₁) = P(w₂) = … = P(w_n),

то для определения вероятности любого события A, связанного с данным экспериментом, можно воспользоваться так называемым классическим методом определения вероятности, согласно которому вероятность любого события A определяется по формуле

(1)

где m – число элементарных исходов, благоприятных событию A;

n – общее число исходов пространства элементарных событий W.

Ограничения классического способа:

а) все элементарные исходы вероятностного эксперимента Е должны быть равновозможными, то есть = , для любых ;

б) множество всех элементарных исходов пространства W должно быть конечным. Например, классический метод нельзя применить для вычисления вероятности того, что монета выпадет при втором подбрасывании монеты для примера 3:

Е: Подбрасывание монеты до тех пор, пока на ней не выпадет герб.

W = {Г, РГ, РРГ, РРРГ, РРРРГ, РРРРРГ, … }. В данном случае пространство W бесконечно.

Пример 5 При наборе телефонного номера абонент набирает 2 последние цифры наугад, помня лишь, что они одинаковые и нечетные. Найти вероятность того, что номер будет набран правильно с первой попытки.

Решение. Элементарными исходами рассматриваемого эксперимента являются возможные варианты последовательного набора двух одинаковых цифр из пяти. В условии указано, что цифры нечетные и одинаковые, поэтому выбирать будем дважды одну и ту же цифру из 1, 3, 5, 7, 9.

Пространство элементарных исходов рассматриваемого эксперимента:

W = {(1, 1), (3, 3), (5, 5), (7, 7), (9, 9)}.

В данном случае пространство элементарных исходов состоит из 5 элементов: n = 5.

Поскольку цифры набираются случайным образом, все элементарные исходы равновозможны, то для вычисления вероятности интересующего нас события можно воспользоваться классическим методом определения вероятностей.

Число исходов, благоприятных событию A, равно 1, так как при наборе только одной комбинации цифр номер будет набран правильно: m = 1.

Отсюда:

Вопросы для самоконтроля

1 Что называют вероятностью события?

2 Чему равна вероятность достоверного события?

3Чему равна вероятность невозможного события?

4 В каких пределах заключена вероятность случайного события?

5 Какое определение вероятности называют классическим?

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 Следующая ⇒