Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 8Следующая ⇒

Рассмотрим следующий вероятностный эксперимент Е. Пусть в пространстве определены случайные события А, В, С, … и их вероятности. Предположим, что в ходе нашего эксперимента Е событие А уже произошло. В данном эксперименте появление события А может каким-то образом изменить вероятности появления событий, связанных (зависимых) с ним.

Событие В называется зависимым от события А, если появление (или не появление) события А изменяет вероятность появления события В. Событие В называется независимым от события А, если появление (или не появление) события А не изменяет вероятность появления события В.

Рассмотрим два произвольных события A и B, причем P(B) ¹ 0.

Условной вероятностью события A при условии B (обозначается P(A|B) ) называется вероятность события A, вычисленная при условии, что событие B произошло. По определению

P(A | B) = P(A Ç B)/P(B). (4)

Вычисление условных вероятностей – это, по существу, переход в новое, урезанное заданным условием B пространство элементарных событий. Вероятности элементарных событий P(w_i) (w_iÎ B) пропорциональны исходным. Для соблюдения условия нормировки в новом пространстве элементарных событий они делятся на P(B).

Аналогично

P(B | A) = P(A Ç B)/P(A) (5)

в случае, если P(A) ¹ 0.

Формулы (2) и (3) часто записывают в виде

P(AÇ B) = P(B)P(A|B) = P(A)P(B|A) (6)

и называют теоремой умножения вероятностей.

Для произвольного числа n событий A₁, A₂, … A_n теорема умножения вероятностей имеет вид

P(A₁Ç A₂Ç … Ç A_n) = P(A₁)P(A₂|A₁) … P(A_n|A₁Ç A₂Ç … Ç А_n_-1),

то есть вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события произошли.

Пример 7 Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов только 20. Какова вероятность того, что он сдаст зачет, если для этого необходимо ответить хотя бы на два вопроса из трех, содержащихся в билете?

Решение. Обозначим события:

А = {студент сдаст зачет};

В = {студент ответит на три вопроса из трех, содержащихся в билете};

С = {студент ответит на два вопроса из трех, содержащихся в билете}.

События В и С несовместны. Событие А произойдет, если произойдет одно из событий В или С.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий P(А) = .

Определим вероятности событий В и С.

В = {студент ответит на три вопроса из трех, содержащихся в билете};

В₁ ={студент ответит на первый вопрос, содержащийся в билете};

В₂ = {студент ответит на второй вопрос, содержащийся в билете};

В₃ = {студент ответит на третий вопрос, содержащийся в билете}.

Вероятность события В определим по формуле

Р(В) = Р(В₁) Р(В₂| В₁) Р(В₃| В₂Ç В₁),

где Р(В₁) = (всего 30 вопросов, из которых 20 студент знает);

Р(В₂| В₁)= (всего осталось 29 вопросов, из них 19 студент знает);

Р(В₃| В₂ Ç В₁) = (всего осталось 28 вопросов, из них 18 студент знает).

По теореме умножения вероятностей зависимых событий

P(В) = P(В₁) P(В₂| В₁) P(В₃| В₂Ç В₁) = = = 0, 281.

Вероятность события С определим, используя теорему сложения вероятностей несовместных событий.

Р(С) = Р(С₁) + Р(С₂) + Р(С₃),

где С₁= {студент отвечает на первый и второй вопросы, а на третий не отвечает};

С₂= {студент отвечает на первый и третий вопросы, а на второй не отвечает};

С₃= {студент отвечает на второй и третий вопросы, а на первый не отвечает}.

P(С₁) = P(В₁) P(В₂| В₁) P( | В₂Ç В₁) = = =

= = 0, 156.

P(С₂) = P(В₁) P( | В₁) P(В₃| Ç В₁) = = =

= = 0, 156.

P(С₃) = P( ) P(В₂| ) P(В₃| В₂Ç ) = = =

= = 0, 156.

Р(С) = Р(С₁) + Р(С₂) + Р(С₃) = 0, 156 + 0, 156 +0, 156 = 0, 468.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий P(А) = = 0, 281 + 0, 468 = 0, 749.

Независимые события

Два события A и B называются независимыми, если

P(AÇ B) = P(A)P(B). (7)

Для пояснения естественности такого определения вернемся к теореме умножения вероятностей (6) и установим, в каких ситуациях из нее следует (7). Очевидно, что это может быть тогда, когда условная вероятность P(A|B) равна соответствующей безусловной вероятности события А: P(A|B) = P(A), то есть когда вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. (Аналогично, P(B|A) = P(B)).

В основе независимости событий лежит их физическая независимость, состоящая в том, что множества факторов, влияющих на исход эксперимента и обусловливающих появление этих событий, не пересекаются или почти не пересекаются.

События A₁, A₂, …, A_nназываются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из этих событий не зависит от появления любого числа остальных событий.

Теорема умножения вероятностей для независимых в совокупности событий A₁, A₂, …, A_n имеет вид

P(A₁Ç A₂Ç … Ç A_n) = P(A₁)P(A₂) … P(A_n).

Пример 8 При изготовлении изделие проходит три основные независимые операции. Вероятность получения стандартного изделия при первой операции равна 0, 9, второй – 0, 95, третьей – 0, 8. Найти вероятность того, что:

а) изделие окажется стандартным;

б) изделие окажется нестандартным.

Решение. Обозначим события:

A_i = {i-ю операцию изделие прошло без брака}, i = 1, 2, 3;

B = {изделие окажется стандартным};

C = {изделие окажется нестандартным}.

Согласно условию: вероятность события A₁ равна P(A₁) = 0, 9, вероятность события A₂равна P(A₂) = 0, 95, вероятность события A₃ равна P(A₃) = 0, 8.