Использование теорем сложения и умножения вероятностей.

Пример. Среди 15 лампочек 4 стандартных. Одновременно берут наудачу 2 лампочки. Найти вероятность того, что: а) обе лампочки нестандартные; б) хотя бы одна из них нестандартная.

Решение. Пусть А – событие, состоящее в том, что обе вынутые лампочки нестандартные. Обозначим через В₁ событие, состоящее в том, что первая извлеченная лампа нестандартная, через В₂ – вторая извлеченная лампа нестандартная. Тогда,

.

б) Пусть событие С – хотя бы одна из взятых ламп нестандартная. Тогда противоположное событие означает, что обе взятые лампы стандартные, следовательно, , откуда получаем

Р (С) = 1 – Р ( ) = 1 – Р = 1 – Р( ) Р( ) = .

 

Пример. Диспетчер принимает вызовы с трех объектов, функционирующих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение смены придет вызов с первого объекта, равна 0, 6; со второго – 0, 5; с третьего – 0, 2. Найти вероятность того, что в течение смены придет вызов: а) со всех объектов; б) хотя бы с одного объекта.

Решение. а) Пусть событие А – в течение смены придет вызов со всех объектов. Обозначим через В₁ – придет вызов с первого объекта, В₂ – со второго, В₃ – с третьего. Тогда, очевидно, имеем с учетом независимости событий В1, В2 и В3:

Р (В₁ и В₂ и В₃) = Р (В₁ · В₂ · В₃) = Р (В₁) · Р(В₂) · Р(В₃) = 0, 6 · 0, 5 · 0, 2 = 0, 06.

б) Пусть событие С – хотя бы с одного объекта в течение смены придет вызов. Тогда противоположное событие означает, что в течение смены ни с одного объекта вызова не поступит, следовательно ,

причем , , .

Тогда, получим

Р (С) = 1 – Р ( ) = 1 – Р( ) = 1 – = 1 – = 1 – 0, 16 = 0, 84.

 

Пример. Пакеты акций, имеющихся на рынке ценных бумаг, могут дать доход владельцу с вероятностью 0, 5 (для каждого пакета). Сколько пакетов акций различных фирм нужно приобрести, чтобы с вероятностью, не меньше 0, 96875, можно было бы ожидать доход хотя бы по одному пакету акций?

Решение. Обозначим через n – количество пакетов акций различных фирм, которое рекомендуется приобрести, через событие A_i – получение дохода от i-ой фирмы (i = 1, 2, …, n). Тогда вероятность события В, состоящего в получении дохода хотя бы по одному пакету акций, может быть найдена следующим образом:

, где р = р (Аi) = 0, 5,

и, следовательно,

Р(В) = 1 – (1 – 0, 5)n = 1 – 0, 5n.

С другой стороны, согласно условию Р (В) ≥ 0, 96875, откуда

1 – 0, 5n ≥ 0, 96875 или

1 – 0, 96875 ≥ 0, 5n

0, 5n ≤ 0, 03125.

Подбором находим, что минимальное целое число, удовлетворяющее этому неравенству равно 5, то есть n ≥ 5. Следовательно, нужно приобрести не менее 5 пакетов акций.

 

2. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Пример.В торговую фирму поступили телевизоры от трех поставщиков в отношении 1: 4: 5. Практика показала, что телевизоры, поступившие от 1-го, 2-го и 3-го поставщиков, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 98%, 88% и 92% случаев.

1. Найти вероятность того, что поступивший в торговую фирму телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока.

2. Проданный телевизор потребовал ремонта в течение гарантийного срока. От какого поставщика вероятнее всего поступил этот телевизор?

Решение. 1. Обозначим: событие А – телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока. Введем три гипотезы: H_i – телевизор поступил в торговую фирму от i-го поставщика (i = 1, 2, 3).

По условию

; ;

; ;

; .

Тогда по формуле полной вероятности имеем

.

2. Известна дополнительная информация: наступило событие – телевизор потребовал ремонта в течение гарантийного срока. Требуется найти вероятности гипотез, причем по условию:

Р ( ) = 1 – Р (А) = 1 – 0, 91 = 0, 09.

;

;

.

Следовательно, по формуле Байесса имеем

;

;

.

Таким образом, после наступления события вероятность гипотезы Н₂ увеличивается с Р(Н₂) = 0, 4 до максимальной , а гипотеза Н₃ – уменьшается от максималь­ной Р(Н₃) = 0, 5 до ; если ранее (до наступления события ) наиболее вероятной была гипотеза Н₃, то теперь, в свете новой информации, наиболее вероятна гипотеза Н₂ – поступления телевизора от 2-го поставщика.

3. Формула Бернулли.

Пример. В среднем каждый десятый договор страховой компании завершается выплатой по страховому случаю. Компания заключила 5 договоров. Найти вероятность того, что страховой случай наступит: а) один раз; б) хотя бы один раз.

Решение. Здесь успех – событие А: наступление страхового случая. Независимыми испытаниями являются заключение договоров, их n = 5. x – число успехов, тогда, очевидно,

, , n = 5.

а) По формуле Бернулли имеем

б)

.

 

4. Применение локальной и интегральной теоремы Лапласа.

 

Пример. По результатам проверок налоговыми инспекциями установлено, что в среднем каждое второе малое предприятие региона имеет нарушение финансовой дисциплины. Найти вероятность того, что из 1000 зарегистрированных в регионе малых предприятий имеют нарушение финансовой дисциплины: а) не менее 480; б) от 480 до 520; в) 480 предприятий.

Решение. Здесь успех – нарушение финансовой дисциплины, x – число успехов. По условию р = 0, 5. Так как n = 1000 достаточно велико, то применяем интегральную форму Муавра-Лапласа (13):

а)

б)

в) Применим локальную формулу Муавра-Лапласа

 

При вычислении пользоваться данными табл. 1.

Таблица 1. Значения функции Лапласа

x	0, 00	0, 01	0, 02	0, 03	0, 04	0, 05	0, 06	0, 07	0, 08	0, 09
0, 0	0, 000	0, 0040	0, 0080	0, 0120	0, 0160	0, 0199	0, 0239	0, 0279	0, 0319	0, 0359
0, 1	0, 0398	0, 0438	0, 0478	0, 0517	0, 0557	0, 0596	0, 0636	0, 0675	0, 0714	0, 0753
0, 2	0, 0793	0, 0832	0, 0871	0, 0910	0, 0948	0, 0987	0, 1026	0, 1064	0, 1103	0, 1141
0, 3	0, 1179	0, 1217	0, 1255	0, 1293	0, 1331	0, 1368	0, 1406	0, 1443	0, 1480	0, 1517
0, 4	0, 1554	0, 1591	0, 1628	0, 1664	0, 1700	0, 1736	0, 1772	0, 1808	0, 1844	0, 1879
0, 5	0, 1915	0, 1950	0, 1985	0, 2019	0, 2054	0, 2088	0, 2123	0, 2157	0, 2190	0, 2224
0, 6	0, 2257	0, 2291	0, 2324	0, 2357	0, 2389	0, 2422	0, 2454	0, 2486	0, 2517	0, 2549
0, 7	0, 2580	0, 2611	0, 2642	0, 2673	0, 2703	0, 2734	0, 2764	0, 2794	0, 2823	0, 2852
0, 8	0, 2881	0, 2910	0, 2939	0, 2967	0, 2995	0, 3023	0, 3051	0, 3078	0, 3106	0, 3133
0, 9	0, 3159	0, 3186	0, 3212	0, 3238	0, 3264	0, 3289	0, 3315	0, 3340	0, 3365	0, 3389
1, 0	0, 3413	0, 3438	0, 3461	0, 3485	0, 3508	0, 3531	0, 3554	0, 3577	0, 3599	0, 3621
1, 1	0, 3643	0, 3665	0, 3686	0, 3708	0, 3729	0, 3749	0, 3770	0, 3790	0, 3810	0, 3830
1, 2	0, 3849	0, 3869	0, 3888	0, 3907	0, 3925	0, 3944	0, 3962	0, 3980	0, 3997	0, 4015
1, 3	0, 4032	0, 4049	0, 4066	0, 4082	0, 4099	0, 4115	0, 4131	0, 4147	0, 4162	0, 4177
1, 4	0, 4192	0, 4207	0, 4222	0, 4236	0, 4251	0, 4265	0, 4279	0, 4292	0, 4306	0, 4319
1, 5	0, 4332	0, 4345	0, 4357	0, 4370	0, 4382	0, 4394	0, 4406	0, 4418	0, 4429	0, 4441
1, 6	0, 4452	0, 4463	0, 4474	0, 4484	0, 4495	0, 4505	0, 4515	0, 4525	0, 4535	0, 4545
1, 7	0, 4554	0, 4564	0, 4573	0, 4582	0, 4591	0, 4599	0, 4608	0, 4616	0, 4625	0, 4633

 

Задачи для самостоятельного решения.

1. Из урны, в которой 10 белых и 5 черных шара, берут наугад 2 шара. Найти вероятность того, что: а) оба шара – черные; б) оба шара – белые; в) шары одинакового цвета.

2. В условиях предыдущей задачи берут 3 шара. Какова вероятность того, что хотя бы один черный?

3. В связке из 4-х ключей один открывает дверь. Какова вероятность того, что для открывания двери потребуется не более 3-х попыток?

4. Абонент набирает наугад последнюю цифру телефонного номера пока не наберет правильную цифру. Найти вероятность того, что абонент наберет правильную цифру: а) с третьей попытки; б) не более, чем с третьей попытки.

5. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочнике соответственно равны: 0, 6; 0, 7; 0, 8. Найти вероятность того, что формула содержится: а) только в одном справочнике; б) хотя бы в одном справочнике.

6. Вероятность поражения цели при одном выстреле 0, 8. какова вероятность того, что для поражения цели потребуется не более 3-х выстрелов?

7. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попасть в мишень первым стрелком 0, 7, вторым – 0, 8. Найти вероятность того, что: а) оба стрелка попали; б) только один попал; в) цель поражена.

8. Три стрелка с точностями 0, 6; 0, 8; 0, 9 стреляют по одной и той же цели. какова вероятность того, что хотя бы один из них попал в цель?

9. В магазине установили две независимо работающие системы сигнализации. Вероятность несрабатывания первой системы равна 0, 05; второй системы – 0, 02. Найти вероятность того, что в случае необходимости сработает хотя бы одна система сигнализации.

10. В первом ящике 5 белых, 7 черных и 3 красных шара; во втором ящике 7 белых, 2 черных и 4 красных шара. Из каждого ящика наугад вынимаются по одному шару. Найти вероятность того, что оба выбранных шара – одного цвета.

11. Рабочий обслуживает три станка. Вероятности нарушения нормальной работы в течение часа равны: для первого станка – 0, 04; для второго – 0, 02; для третьего – 0, 025. Найти вероятность того, что в течение часа: а)лишь один из станков не будет работать нормально; б) не менее чем один станок будет работать нормально.

12. Для некоторой местности среднее число пасмурных дней в июне равно 6. Какова вероятность того, что 1-го и 2-го июня будет ясная погода?

13. В магазин поступила большая партия товара: 40% партии – товар 1 сорта; 50% – товар 2 сорта; остальное высшего качества. Найти вероятность того, что две случайным образом выбранные единицы товара – одного сорта.

14. Для охраны банка созданы три независимо работающие системы безопасности, вероятности отказа которых равна соответственно 0, 05, 0, 02 и 0, 01. Какова вероятность того, что в случае несанкционированного проникновения в банк сработает хотя бы одна система безопасности?

15. Найти надежность прибора приведенного на рисунке, если надежность блоков a_i равна 0, 8 (i = 1, 2, 3), надежность блоков b_j равна 0, 9 (j = 1, 2) и надежность блока с равна 0, 7.

 

16. Имеется пять винтовок, из которых три с оптическим прицелом. Вероятность попадания в цель из винтовки с прицелом равна 0, 95, а без – 0, 8. Найти вероятность попадания в цель из наудачу выбранной винтовки.

17. Три цеха по пошиву обуви производят 25%, 35% и 40% продукции. Брак их продукции составляет соответственно 5%, 4% и 3%. Какова вероятность того, что случайно выбранная пара обуви будет бракованной?

18. В условиях задачи 3.2. найти вероятность изготовления пары обуви цехами, если она оказалась бракованной.

19. Для участия в студенческих спортивных соревнова­ниях выделено из первой группы четыре студента, из второй – шесть, из третьей – пять. Вероятность того, что отобранный студент из первой, второй, третьей группы попадет в сборную, равны соответственно 0, 5; 0, 4; 0, 3. Наудачу выбранный участник соревнований попал в сборную. К какой из этих трех групп он вероятнее всего принадлежит?

20. Вероятность того, что изделие удовлетворяет стандарту, равна 0, 96. Используется упрощенная схема контроля, которая дает положительный результат с ве­роятностью 0, 98 для изделий, удовлетворяющих стандарту и с вероятностью 0, 05 для изделий, не удовлетворяющих стандарту. Какова вероятность того, что изделие, прошедшее контроль, удовлетворяет стандарту?

21. На трех автоматических линиях изготавливаются одинаковые детали в одинаковых количествах. Вероятность брака для первой линии равна 0, 002; для второй– 0, 001; для третьей – 0, 005. Найти вероятность того, что: а) наудачу взятая деталь окажется стандартной; б) наудачу взя­ая стандартная деталь оказалась с первой линии.

22. Вся продукция фабрики выпускается станками трех типов. На станках первого типа выпускается 30% всей продукции, на станках второго – 20%. станки первого типа дают 2% брака, второго типа – 1, 5% и третьего – 1, 2 %. найти вероятность того, что: а) наугад взятое изделие этой фабрики окажется бракованным; б) наугад взятая бракованная деталь выпущена станками первого типа.

 

 

Практическое занятие № 2

 

⇐ Предыдущая891011121314151617Следующая ⇒

Поделиться: