ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

 

Цель занятия. Знать основные законы распределения. Уметь решать задачи на эти законы.

Учебные вопросы:

1. Решение задач на биномиальный закон распределения.

2. Основные законы распределения.

3. Решение задач на закон Пуассона.

 

1. Решение задач на биномиальный закон распределения.

Пример. Торговый агент связывается с пятью потенциальными покупателями, предлагая им товар своей фирмы. Опыт показывает, что вероятность заключения сделки - 0, 15. Составить закон распределения случайной величины – количество сделок, которые удается заключить этому агенту, найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение. Случайная величина x – число сделок, которые удается заключить агенту, имеет биноминальный закон распределения с параметрами n = 5, p = 0, 15. Закон распределения x имеет вид:

x: .

Значения рк = P (x = k), (k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) вычислены по формуле Бернулли:

.

Найдем математическое ожидание и дисперсию величины x по формулам:

M [ x ] = np = 5 · 0, 15 = 0, 75,

D [ x ] = npq = 5· 0, 15 · 0, 85 = 0, 6375.

 

 

2. Основные законы распределения.

Пример. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать пассажиру придется не больше полминуты. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины x – времени ожидания поезда.

Решение. Случайная величина x – время ожидания поезда на временном (в минутах) отрезке [0, 2] имеет равномерный закон распределения, плотность вероятности которой равна:

Поэтому вероятность того, что пассажиру придется ждать не более полминуты, равна:

.

По формулам (9) находим

M [ x ] мин., D [ x ] ,

мин.

 

Пример. Установлено, что время ремонта телевизоров есть случайная величина x, распределенная по показательному закону. Определить вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется не менее 20 дней, если среднее время ремонта телевизоров составляет 15 дней. Найти плотность вероятности, функцию распределения и среднее квадратическое отклонение случайной величины x.

Решение. По условию математическое ожидание , откуда параметр l = . Следовательно, плотность вероятности ; (х ≥ 0).

Искомую вероятность найдем, используя функцию распределения:

.

Среднее квадратическое отклонение из равно

дней.

 

Пример. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение F (t) = 1 – e –0, 01t (t > 0). Найти вероятность того, что за время длительностью t = 50 ч.: а) элемент откажет; б) элемент не откажет.

Решение. Обозначим через Т непрерывную случайную величину – длительность времени безотказной работы элемента. Тогда функция распределения F (t ) = P (T < t) определяет вероятность отказа элемента за время t, тогда вероятность безотказной работы элемента за время t, то есть

P (T > t) = 1 – F (t).

Отсюда получаем:

а) P (T < 50) = F (50) = = = 1 – 0, 606 = 0, 394;

б) P (T > 50) = 1 – F (50) = = 0, 606.

 

 

Пример. Длина изготавливаемой автоматом детали представляет собой случайную величину x, распределенную по нормальному закону с параметрами m x = a = 15см., см.

а) найти вероятность брака, если допускаемые размеры детали должны быть 15 ± 0, 3 (см).

б) какую точность длины можно гарантировать с вероятностью 0, 97?

Решение. Так как , то

Тогда вероятность брака

б) Имеем , а = 15, e –?

с другой стороны,

.

Следовательно,

.

По таблице II приложения находим

; e = 2, 17 · = 2, 17 · 0, 2 = 0, 434 (см).

 

3. Решение задач на закон Пуассона.

Пример. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно двум. Найти вероятность того, что за пять минут поступит: а) два вызова; б) менее двух вызовов; в) не менее двух вызовов.

Решение. Случайная величина x – число вызовов, поступающих на АТС за пять минут, имеет пуассоновское распределение с параметром а = lt, где l – среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно двум. Найти вероятность того, что за пять минут поступит: а) два вызова; б) менее двух вызовов; в) не менее двух вызовов.

Случайная величина x – число вызовов, поступающих на АТС за пять минут, имеет пуассоновское распределение с параметром а = lt, где l – среднее число вызовов, поступающих на АТС за одну минуту, t = 5, следовательно, а = 2 · 5 = 10.

Тогда по формуле Пуассона

, k = 0, 1, 2, …, имеем:

а) ;

б)

в) .

При вычислении использована табличные значения распределение Пуассона.

 

Задачи для самостоятельного решения.

1. Случайная величина x равномерно распределена на [1, 5]. Найти плотность вероятности этой случайной величины, её математическое ожидание, средне квадратическое отклонение и функцию распределения.

2. Случайная величина x равномерно распределена на [0, 6].Найти: а) плотность распределения f(х); б) М [x], ; в) функцию распределения F(х); г) Р (xÎ [ 2, 3]).

3. Автобусы идут с интервалом 10 минут. Человек приходит на остановку в случайный момент времени. Найти математическое ожидание и дисперсию времени ожидания, вероятность того, что автобус придется ждать более шести минут.

4. Цена деления амперметра равна 0, 1А. Показания округляются до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0, 02А.

5. Указание. Ошибку округления отсчета можно рассматривать как случайную величину x, которая распределена равномерно в интервале между двумя соседними целыми делениями.

6. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0, 2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти, что при отсчете будет сделана ошибка: а) меньше 0, 04; б) больше 0, 05.

7. Известно, что в партии деталей имеется 10% бракованных. Найти закон распределения случайной величины x – числа годных деталей из 5, выбранных наугад.

8. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0, 1. составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

9. Цех, выпускающий электробритвы, дает в среднем 10% брака. Найти математическое ожидание и дисперсию количества бракованных экземпляров среди 30 наугад выбранных бритв.

10. В среднем около 20% клиентов, обратившихся в фирму " Турсервис", оказываются недовольными уровнем обслуживания в этой фирме. Найти: а) закон и функцию распределения числа недовольных среди трех случайным образом выбранных клиентов; б) математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

11. На вход АТС поступает простейший поток вызовов с интенсивностью l = 12 вызовов в минуту. Какова вероятность того, что: а) за 10 секунд поступит не менее одного вызова; б) за 30 секунд – не менее двух вызовов.

12. На диспетчерский пункт мастерской по ремонту телевизоров поступает простейший поток заказов на ремонт телевизоров, с интенсивностью l = 4 заявки в час. Какова вероятность того, что за 30 минут поступит хотя бы один заказ.

13. Среднее число заказов такси, поступающих на диспетчерский пункт в одну минуту, равно трем. Найти вероятность того, что за 2 минуты поступит: а) четыре вызова; б) менее четырех вызовов; в) не менее четырех вызовов.

14. В СМО поступает простейший поток требований с интен­сивностью l = 4 требования в минуту. Какова вероятность того, что за 30 секунд не поступит ни одного требования?

15. В СМО поступает простейший поток требований с интенсивностью l = 50 требования в час. Какова вероятность того, что за 6 минут поступит не менее двух требований?

16. По ГОСТу серийно изготовляемая лампа рассчитана на 4000 часов безотказной работы. Какова вероятность того, что она будет исправной не менее 4500 часов?

 

Практическое занятие № 3

⇐ Предыдущая891011121314151617Следующая ⇒

Поделиться: