Определение минора элемента, алгебраического дополнения.

Минором элемента определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца, в которых стоит выбранный элемент.

 

Обозначение: выбранный элемент определителя, его минор.

 

Пример. Для

Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, если сумма индексов данного элемента i+j есть число четное, или число, противоположное минору, если i+j нечетно, т.е.

 

Понятие обратной матрицы. Теорема об ее вычислении.

Квадратная матрица А называется вырожденной, если , и невырожденной, если .

Квадратная матрица В называется обратной к квадратной матрице А того же порядка, если АВ = ВА = Е. При этом В обозначается .

Рассмотрим условие существования матрицы, обратной к данной, и способ ее вычисления.

Теорема 3.2. Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы исходная матрица была невырожденной.

Доказательство:

1) Необходимость: так как то (теорема 3.1), поэтому

2) Достаточность: зададим матрицу в следующем виде:

.

Тогда любой элемент произведения (или ), не лежащий на главной диагонали, равен сумме произведений элементов одной строки (или столбца) матрицы А на алгебраические дополнения к элементам другого столбца и, следовательно, равен 0 (как определитель с двумя равными столбцами). Элементы, стоящие на главной диагонали, равны Таким образом,

= . Теорема доказана.

Замечание. Сформулируем еще раз способ вычисления обратной матрицы: ее элементами являются алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы А, деленные на ее определитель.

Пример.

Найдем матрицу, обратную к

следовательно, матрица А невырожденная. Найдем алгебраические дополнения к ее элементам:

Не забудем, что алгебраические дополнения к элементам строки матрицы А образуют в обратной матрице столбец с тем же номером. Итак, Можно убедиться, что найденная матрица действительно удовлетворяет определению Найдем

Тот же результат получим и при перемножении в обратном порядке.

 

Понятие о ранге матрицы.

Ранг матрицы – это порядок ее наибольшего ненулевого минора.

Обозначения: r(A), R(A), Rang A.

Замечание. Очевидно, что значение ранга матрицы не может превышать меньшей из ее размерностей.

Примеры:

1. , r(A)=0.

2. . Матрица В содержит единственный ненулевой элемент - являющийся минором 1-го порядка. Все определители более высоких порядков, составленные из элементов этой матрицы, будут содержать 0-ю строку и поэтому равны 0. Следовательно, r(B)=1.

3. . Единственным минором 3-го порядка является определитель матрицы С, но он равен 0, поскольку содержит пропорциональные столбцы. Следовательно, r(C)< 3.

Для того, чтобы доказать, что r(C)=2, достаточно указать хотя бы один минор 2-го порядка, не равный 0, например, Значит, r(C)=2.

4. следовательно, r(E)=3.

 

Замечание. Для матриц большой размерности непосредственное вычисление всех миноров затруднительно. Поэтому в этом случае можно преобразовать матрицу к так называемому треугольному виду (когда элементы, стоящие ниже равны 0), воспользовавшись операциями, не изменяющими ранг матрицы ( эквивалентными преобразованиями ). К ним относятся:

1) транспонирование

2) умножение строки на ненулевое число

3) перестановка строк

4) прибавление к элементам данной строки элементов любой другой строки, умноженных на ненулевое число

5) вычеркивание нулевой строки.

Действительно, любая из этих операций переводит нулевые миноры в нулевые, а ненулевые – в ненулевые. Матрица, полученная в результате, не равна исходной, но имеет тот же ранг.

Пример. Найдем ранг матрицы . Теоретически ранг этой матрицы может принимать значения от 1 до 4, так как из элементов матрицы можно создать миноры по 4-й порядок включительно. Но вместо того, чтобы вычислять все возможные миноры 4-го, 3-го и т.д. порядка, применим к матрице А эквивалентные преобразования. Вначале добьемся того, чтобы в первом столбце все элементы, кроме первого, равнялись 0. Для этого запишем вместо второй строки ее сумму с первой, а вместо третьей – разность третьей и удвоенной первой:

 

.

Затем из третьей строки вычтем вторую, а к четвертой прибавим вторую:

.

После вычеркивания нулевых строк получим матрицу размерности для которой максимальный порядок миноров, а, следовательно, и максимально возможное значение ранга равно 2:

.

Ее минор следовательно,

 

Системы линейных уравнений. Основные понятия.

Линейными операциями над какими-либо объектами называются их сложение и умножение на число.

Линейной комбинацией переменных называется результат применения к ним линейных операций, т.е. где числа, переменные.

Линейным уравнением называется уравнение вида

(2.1)

где и b – числа, - неизвестные.

Таким образом, в левой части линейного уравнения стоит линейная комбинация неизвестных, а в правой – число.

Линейное уравнение называется однородным, если b = 0. В противном случае уравнение называется неоднородным.

Системой линейных уравнений (линейной системой ) называется система вида

(2.2)

где , - числа, - неизвестные, n – число неизвестных, m – число уравнений.

Решением линейной системы (2.2) называется набор чисел

которые при подстановке вместо неизвестных обращают каждое уравнение системы в верное равенство.

 

12345678Следующая ⇒

Поделиться: