Асимпоты. Определение. Классификация.

Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x), если расстояние от переменой точки этого графика до прямой стремится к нулю при удалении точки в бесконечность.

Рассмотрим три вида асимптот и определим способы их нахождения.

1. Вертикальные асимптоты – прямые, задаваемые уравнениями вида х = а. В этом случае определение асимптоты подтверждается, если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке а бесконечен. Пример. Вертикальной асимптотой графика функции y = 1/x является прямая х = 0, то есть ось ординат.

2. Горизонтальные асимптоты – прямые вида у = а. Такие асимптоты имеет график функции, предел которой при или при конечен, т.е. .

3. Наклонные асимптоты – прямые вида y = kx + b. Найдем k и b. Поскольку при , , если этот предел существует, конечен и не равен нулю. Однако даже при выполнении этих условий наклонная асимптота может не существовать. Для ее существования требуется, чтобы имелся конечный предел при разности f(x) – kx. Этот предел будет равен b, так как при .

Замечание. Число вертикальных асимптот графика функции не ограничено, а наклонных и горизонтальных в сумме может быть не более двух (при и при ).

Примеры.

1. Функция y = tgx имеет разрывы 2-го рода при , причем односторонние пределы в этих точках бесконечны. Следовательно, - вертикальные асимптоты графика.

2. Функция имеет бесконечный разрыв при х = 1, то есть х = 1 – вертикальная асимптота. , поэтому горизонтальных асимптот график не имеет. Проверим наличие наклонных асимптот. Для этого вычислим Тогда Заметим, что оба предела не зависят от знака бесконечности, поэтому прямая y = x + 1 является асимптотой графика на обоих концах оси Ox.

Комплескные числа.

Комплексным числом z называется упорядоченная пара действительных чисел (а, b): z = (a, b) (термин «упорядоченная» означает, что в записи комплексного числа важен порядок чисел а и b: (a, b)≠ (b, a) ). При этом первое число а называется действительной частью комплексного числа z и обозначается a = Re z, а второе число b называется мнимой частью z: b = Im z.

Два комплексных числа z₁ = (a₁, b₁) и z₂ = (a₂, b₂ ) равны тогда и только тогда, когда у них равны действительные и мнимые части, то есть a₁ = a₂, b₁ = b₂.

Действия над комплексными числами.

 

1. Суммой комплексных чисел z₁ = (a₁, b₁) и z₂ = (a₂, b₂ ) называется комплексное число z = (a, b) такое, что a = a₁ + a₂, b = b₁ + b₂. Свойства сложения: а) z₁ + z₂ = z₂ + z₁; б) z₁ + (z₂ + z₃ ) = (z₁ + z₂ ) + z₃; в) существует комплексное число 0 = (0, 0): z + 0 = z для любого комплексного числа z.

2. Произведением комплексных чисел z₁ = (a₁, b₁) и z₂ = (a₂, b₂ ) называется комплексное число z = (a, b) такое, что a = a₁a₂ – b₁b₂, b = a₁b₂ + a₂b₁. Свойства умножения: а) z₁z₂ = z₂z₁; б) z₁ (z₂ z₃) = (z₁ z₂) z₃, в) (z₁ + z₂) z₃ = z₁ z₃ + z₂ z₃.

 

Замечание. Подмножеством множества комплексных чисел является множество действительных чисел, определяемых как комплексные числа вида (а, 0). Можно убедиться, что при этом определение операций над комплексными числами сохраняет известные правила соответствующих операций над действительными числами. Кроме того, действительное число 1 = (1, 0) сохраняет свое свойство при умножении на любое комплексное число: 1∙ z = z.

Определение 7.3. Комплексное число (0, b) называется чисто мнимым. В частности, число (0, 1) называют мнимой единицей и обозначают символом i.

Свойства мнимой единицы:

1) i∙ i=i² = -1; 2) чисто мнимое число (0, b) можно представить как произведение действительного числа (b, 0) и i : (b, 0) = b∙ i.

Следовательно, любое комплексное число z = (a, b) можно представить в виде: (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + ib.

Определение 7.4. Запись вида z = a + ib называют алгебраической формой записи комплексного числа.

Замечание. Алгебраическая запись комплексных чисел позволяет производить операции над ними по обычным правилам алгебры.

Определение 7.5. Комплексное число называется комплексно сопряженным числу z = a + ib.

3. Вычитание комплексных чисел определяется как операция, обратная сложению: z =(a, b) называется разностью комплексных чисел z₁ = (a₁, b₁) и z₂ = (a₂, b₂ ), если a = a₁ – a₂, b = b₁ – b₂.

4. Деление комплексных чисел определяется как операция, обратная умножению: число z = a + ib называется частным от деления z₁ = a₁ + ib₁ и z₂ = a₂ + ib₂ (z₂ ≠ 0), если z₁ = z∙ z₂. Следовательно, действительную и мнимую части частного можно найти из решения системы уравнений: a₂ a – b₂ b = a₁, b₂ a + a₂ b = b₁.

⇐ Предыдущая12345678

Поделиться: