Понятие тройки векторов. Левая, правая тройка, Определение векторного произведения. Геометрический смысл. Свойства. Векторное произведение в декартовых координатах.

Тройка некомпланарных векторов abc называется правой (левой), если после приведения к общему началу вектор с располагается по ту сторону от плоскости, определяемой векторами а и b, откуда кратчайший поворот от а к b кажется совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке).

С с

 

B a

 

A b

 

abc – правая тройка abc – левая тройка

 

Замечание. В дальнейшем будем рассматривать только правые системы координат, т.е. системы, базисные векторы которых образуют правую тройку.

Векторное произведение векторов.

Вектор с называется векторным произведением векторов а и b, если:

1) | c | = | a||b| sinφ, где φ – угол между а и b.

2) c a , c b.

3) Тройка векторов abc является правой.

 

Обозначения векторного произведения: c = [ ab ], c = a b .

 

Свойства векторного произведения.

1) [ ba ] = - [ ab ].

Доказательство. Вектор -с удовлетворяет первым двум условиям определения векторного произведения и образует с векторами b и а правую тройку векторов.

 

2) [ ab ] = 0 a ║ b.

Доказательство. Из первого пункта определения 6.2 следует, что модуль векторного произведения ненулевых векторов равен нулю только при sinφ = 0, что соответствует коллинеарности векторов а и b.

 

3) Модуль векторного произведения |[ ab ]| равняется площади S параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах а и b.

Доказательство следует из первого пункта определения 6.2.

 

Орт е_а произвольного вектора а – это вектор единичной длины, коллинеарный а и одинаково с ним направленный ( | е_а| = 1, е_а || a ).

 

Cледствие из свойства 3. [ ab ] = S e, где е – орт вектора [ ab ].

 

4) [(k a ) b ] = k[ ab ].

5) [( a + b ) c ] = [ ac ] + [ bc ].

6) Если в декартовой системе координат a = {X_a, Y_a, Z_a}, b = {X_b, Y_b, Z_b}, то

7) [ ab ] =

8) Доказательство.

Представим векторы а и b в виде: a = X_a i + Y_a j +Z_a k, b = X_b i + Y_b j +Z_b k . Отметим, что [ ij ] = k, [ jk ] = i, [ ki ] = j, [ ii ] = [ jj ] = [ kk ] = 0. Тогда с использованием свойств 4 и 5 получим:

[(X_a i + Y_a j + Z_a k )(X_b i + Y_b j + Z_b k )] =(Y_aZ_b – Y_bZ_a) i +(X_bZ_a – X_aZ_b) j + (X_aY_b – X_bY_a) k, что доказывает свойство 6.

Пример. Вычислим векторное произведение векторов а = {3, -4, 2} и b = {1, 5, 1}.

[ ab ] = ={-14, -1, 19}.

 

17) Смешанное произведение векторов. Свойства и геометрический смысл. Компланарные векторы.

Векторы называются компланарными, если они лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.

Смешанным произведением векторов а , b и с называется результат скалярного умножения векторного произведения [ ab ] на вектор с .

Обозначение: abc = [ ab ] c .

Свойства смешанного произведения.

1) Смешанное произведение [ ab ] c равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a, b, c, если они образуют правую тройку, или числу, противоположному этому объему, если abc – левая тройка. Если a, b и с компланарны, то [ ab ] c = 0.

Доказательство.

а) Если a, b и с компланарны, то вектор [ ab ] ортогонален плоскости векторов а и b , и, следовательно, [ ab ] c. Поэтому [ ab ] c = 0.

в) Если a, b, c не компланарны, [ ab ] c = |[ ab ]|| c | = S· | c |cosφ, где φ – угол между с и [ ab ]. Тогда | c |cosφ – высота рассматриваемого параллелепипеда. Таким образом, [ ab ] c = V, где выбор знака зависит от величины угла между с и [ ab ]. Утверждение доказано.

Следствие. [ ab ] c = a [ bc ].

Действительно, обе части равенства представляют объем одного и того же переллелепипеда. Поэтому положение векторных скобок в смешанном произведении не важно, и в его обозначении скобки не ставятся: abc .

2) Если a = {X_a, Y_a, Z_a}, b = {X_b, Y_b, Z_b}, c = {X_c, Y_c, Z_c}, то

abc = .

Доказательство. Используя координатную запись скалярного и векторного произведения, запишем:

[ ab ] c = (Y_aZ_b – Y_bZ_a)X_c + (X_bZ_a – X_aZ_b)Y_c + (X_aY_b – X_bY_a)Z_c = .

Пример 1. Найдем смешанное произведение векторов a = {-3, 2, -1}, b = {2, 1, 0}, c = {-1, 3, -1}. Для этого вычислим определитель, составленный из их коодинат:

следовательно, векторы компланарны.

 

Полярная система координат

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: