Определение производной. Правило дифференцирования суммы и частного функции, разности и произведения функций.

Если существует конечный предел , то он называется производной функции f в точке х₀.

Обозначение: .

Разность называется приращением аргумента, а - приращением функции. Таким образом, можно определить производную как .

Дифференцируемость функции.

Если приращение функции y = f(x) при х = х₀ можно представить в виде

, (17.2)

где A = const, то y = f(x) называется дифференцируемой при х = х₀, а АΔ х называется главной линейной частью приращения или дифференциалом функции.

Обозначение: dy = АΔ х.

Замечание. Так как при у = х получаем dx = 1· Δ x, можно обозначать Δ х = dx.

Функция дифференцируема в некоторой точке в том и только в том случае, если она имеет в этой точке производную.

Доказательство.

1) Если для y=f(x) существует , то , где β (Δ х) – бесконечно малая при Δ х→ 0. Тогда . Следовательно, функция y = f(x) дифференцируема при х = х₀, причем А = f`(x₀).

2) Пусть y=f(x) дифференцируема при х=х₀, то есть ее приращение имеет вид (17.2). Тогда . Таким образом, f(x) имеет производную в точке х₀, равную А.

Следствие. Дифференциал функции можно представить в виде , а производную – в виде .

Теорема 17.2. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Из формулы (17.2) следует, что , что и означает непрерывность f(x) при х = х₀.

Замечание. Обратное утверждение неверно, то есть из непрерывности функции не следует ее дифференцируемость. Например, y = |x| непрерывна при х = 0, но не дифференцируема в этой точке.

Правило дифференцирования сложной функции. Теорема о производной обратной функции. Дифференцирование функции, заданной неявно. Понятие логарифмической производной.

Если функция u = φ (x) имеет при некотором значении х производную u_x΄ =φ ΄ (x), а функция y = f(u) имеет при соответствующем значении u производную y_u΄ = f΄ (u), то сложная функция y = f(φ (x)) тоже имеет при данном значении х производную, равную

y΄ (x) = f΄ (u)· u΄ (x). (18.5)

Доказательство.

Так как то по третьему определению предела можно представить

где при Тогда Разделив обе части равенства на Δ х, получим:

. Переходя к пределу при Δ х→ 0, получаем: так как

Производная обратной функции.

Если для функции y=f(x) существует обратная функция х=φ (у), которая в некоторой точке у имеет производную φ ′ (у)≠ 0, то в соответствующей точке х функция f(x) тоже имеет производную, причем (18.6)

Доказательство.

Так как φ (у) непрерывна, Δ х→ 0 при Δ у→ 0, и при переходе к пределу при Δ у→ 0 получаем: .

Логарифмическое дифференцирование.

Иногда полезно использовать так называемую формулу логарифмического дифференцирования. Пусть f(x)> 0 на некотором множестве значений аргумента и дифференцируема на этом множестве. Тогда по формуле производной сложной функции

откуда f΄ (x)=f(x)(ln f(x))΄. (18.7)

Эту формулу удобно использовать в тех случаях, когда производную натурального логарифма данной функции найти проще, чем производную самой функции.

Примеры.

1.

2.

=

Дифференцирование неявных функций

Пусть функция F(x, y) удовлетворяет условиям

F(x0, y0) = 0;

частные производные F'x и F'y непрерывны в некоторой окрестности точки (x0, y0);

F'y(x0, y0) ≠ 0.

Тогда

уравнение F(x, y) = 0 определяет неявно в некоторой окрестности точки x0 единственную непрерывную функцию y(x), удовлетворяющую условию y(x0) = y0.

функция y(x) имеет производную, непрерывную в окрестности точки x0.

Выясним смысл условий теоремы.

Существование непрерывной неявной функции y = f(x) в окрестности точки (x0, y0) следует из теоремы существования, так как:

условие 1 гарантирует существование точки, координаты которой удовлетворяют уравнению F(x, y) = 0;

из условия 2 следует непрерывность функции F(x, y) в окрестности точки (x0, y0), а из условия 3 — ее монотонность по y при каждом фиксированном x из этой окрестности.

Следовательно, условия 1–3 обеспечивают выполнение условий существования неявной функции y(x), удовлетворяющей условию y(x0) = y0 и непрерывной в окрестности точки x0.

Нахождение производной функции, заданной параметрически.

Если функция y = f(x) задана в виде: , причем функция φ (t) имеет обратную функцию t = Φ (x), то у = ψ (Φ (х)), и . (18.7)

Полученная формула дает возможность находить производную функции, заданной параметрически, без определения непосредственной зависимости у от х.

Пример.

х = а(1 – cos t), y = a(t – sin t) – параметрические уравнения кривой, называемой циклоидой. Найдем у΄ (х): х΄ (t) = asin t, y΄ (t) = a(1-cost), .

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 678 Следующая ⇒
Поделиться:

Последнее изменение этой страницы: 2017-03-14; Просмотров: 877; Нарушение авторского права страницы