Определение проекции вектора на ось. Теоремы о проекциях. Вектор в трехмерном пространстве. Направляющие косинусы. разложение вектора по ортам.

Три вектора, , называются линейно-независимыми, если они не лежат в одной плоскости.

Базисом в трехмерном пространстве R³ называется упорядоченная тройка любых линейно-независимых векторов.

Если - базис в R³, то любой другой вектор, например , единственным образом разлагается по этому базису

где числа d_a, d_b, d_c находятся единственным образом и называются координатами вектора в базисе

Базис называется прямоугольным ( ортогональным ), если векторы попарно перпендикулярны. Если они к тому же имеют длину, равную единице, то базис называется ортонормированным.

В пространстве R³ обычно используют прямоугольную декартову систему координат Оxyz, где любая точка М пространства, имеющая координаты х (абсциссу), y (ординату) и z (аппликату), обозначается М(x, y, z).

Свободный вектор, например , заданный в координатном пространстве Oxyz, может быть представлен в виде

Здесь x_d, y_d, z_d - проекции вектора на соответствующие оси координат (координаты вектора),
- орты этих осей.

Пишут

Длина вектора определяется по формуле

Направление вектора определяется углами α, β, γ, образованными им с осями координат Ox, Oy, Oz. Косинусы этих углов (так называемые направляющие косинусы вектора ) вычисляются по формулам:

Координаты вектора будут равны

Подставив эти выражения в формулу вычисления длины вектора, установим, что направляющие косинусы вектора связаны соотношением

Линейная зависимость и независимость векторов.

Линейной комбинацией векторов а_1, а₂, …, а_n называется выражение вида: k₁ a₁ + k₂ a₂ +…+ k_n a_n, (5.1)

где k_i – числа.

Векторы а_1, а₂, …, а_n называются линейно зависимыми, если найдутся такие числа k₁, k₂, …, k_n, не все равные нулю, что соответствующая линейная комбинация векторов равна нулю, т.е. k₁ a₁ + k₂ a₂ +…+ k_n a_n = 0. (5.2)

Если же равенство (5.2) возможно только при всех k_i = 0, векторы называются линейно независимыми.

Замечание 1. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.

Замечание 2. Если среди n векторов какие-либо (n-1) линейно зависимы, то и все n векторов линейно зависимы.

Замечание 3. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.

Два линейно независимых вектора на плоскости ( или три линейно независимых вектора в пространстве) образуют базис, если любой вектор плоскости (пространства) может быть представлен в виде их линейной комбинации. Числовые коэффициенты этой линейной комбинации называются координатами данного вектора в рассматриваемом базисе:

если a, b, c – базис и d = k a + m b + p c , то числа k, m, p есть координаты вектора d в базисе a, b, c.

Скалярное произведение векторов. Геометрический и механический смысл. Свойства. Таблица умножения ортов. Угол между векторами.

 

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними:

ab = | a || b | cosφ . (5.4)

Обозначения скалярного произведения: ab , ( ab ), a·b.

Свойства скалярного произведения:

1. ab = | a| пр_а b.

Доказательство. По свойству проекции пр_а b = | b | cosφ , следовательно, ab = | a| пр_а b.

2. ab = 0 a b . 3. ab = ba .

4. (k a ) b = k( ab ). 5. ( a + b ) c = ac + bc.

6. a ² = aa = | a |², где а ² называется скалярным квадратом вектора а.

7. Если векторы а и b определены своими декартовыми координатами

a = {X₁, Y₁, Z₁}, b = {X₂, Y₂, Z₂}, (5.5)

то ab = X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂.

(5.6)

Доказательство. Используя формулу (5.3), получим:

ab = (X₁ i + Y₁ j + Z₁ k )(X₂ i + Y₂ j + Z₂ k ).

Используя свойства 4 и 5, раскроем скобки в правой части полученного равенства:

ab = X₁X₂ ii +Y₁Y₂ jj + Z₁Z₂ kk + X₁Y₂ ij +X₁Z₂ ik + Y₁X₂ ji + Y₁Z₂ jk + Z₁X₂ ki + Z₁Y₂ kj .

Но ii = jj = kk = 1 по свойству 6, ij = ji = ik = ki = jk = kj = 0 по свойству 2, поэтому

ab = X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂.

8. cosφ = . (5.6)

Замечание. Свойства 2, 3, 4 доказываются из определения 5.14, свойства 5, 6 – из свойств проекции, свойство 8 – из свойства 7 и свойств направляющих косинусов.

Пример.

a = {1, -5, 12}, b = {1, 5, 2}. Найдем скалярное произведение векторов а и b:

ab = 1·1 + (-5)·5 + 12·2 = 1 – 25 + 24 = 0. Следовательно, векторы а и b ортогональны.

 

-Механический смысл скалярного произведения векторов. Скалярное произведение силы F на вектор перемещения S равно работе А этой силы при перемещении материальной точки по вектору S: A = FS.

-Геометрический смысл - произведение длины одного вектора на проекцию на него второго вектора.

 

-Таблица скалярного умножения ортов i, j, k

Используя определение скалярного произведения векторов,

получим:

1 i × i = i i cos0 = 1 × 1 × 1 = 1 .

Значит, j × j = k × k = 1 .

2 i × j = i × j 90 = 1× 1× 0 = 0

- Угол между векторами

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: