Прямая на плоскости. Общее уравнение прямой. Частные случаи. Расположение двух прямых на плоскости.

 

Рассмотрим различные виды уравнений прямой на плоскости.

Пусть прямая проходит через точку М₀ (x₀, y₀) перпендикулярно вектору n = {A, B}. Тогда вектор , где М(х, у) – произвольная точка прямой, ортогонален n. Поэтому координаты любой точки данной прямой удовлетворяют уравнению

А(х – х₀) + В(у – у₀) = 0 - (7.3)

уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Замечание. Вектор n называется нормалью к прямой.

 

Преобразуем уравнение (7.3) к виду:

Ах + Ву + (-Ах₀ – Ву₀) = 0.

Обозначив -Ах₀ – Ву₀ = С, получим общее уравнение прямой:

Ах + Ву + С = 0. (7.4)

Получим теперь уравнение прямой, проходящей через точку М₀ (x₀, y₀) параллельно вектору q = {l, m}. Так как вектор , где М(х, у) – произвольная точка прямой, коллинеарен q, координаты любой точки данной прямой удовлетворяют уравнению

, (7.5)

называемому каноническим уравнением прямой. Вектор q при этом называется направляющим вектором прямой. В частности, если прямая проходит через точки М₁(х₁, у₁) и М₂(х₂, у₂), ее направляющим вектором можно считать , и из уравнения (7.5) следует:

- (7.6)

уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Пример.

Составим уравнение прямой, проходящей через точки М(1, 2) и N(5, -3). Уравнение (7.6) примет вид:

- общее уравнение данной прямой.

 

Обозначив за t значения равных дробей, стоящих в левой и правой частях уравнения (7.5),

можно преобразовать это уравнение к виду:

x = x₀ + lt, y = y₀ + mt - (7.7)

параметрические уравнения прямой.

Для прямой l, не параллельной оси Оу, можно ввести так называемый угловой коэффициент k – тангенс угла, образованного прямой и осью Ох, и записать уравнение

у l прямой в виде:

у = kx + b - (7.8)

b l₁ уравнение прямой с угловым коэффициентом.

α α Действительно, все точки прямой l₁, параллельной l и проходящей

х через начало координат, удовлетворяют уравнению у = kх, а

ординаты соответствующих точек на прямой l отличаются от них

на постоянную величину b.

Неполные уравнения прямой.

Уравнение (7.4) называется полным, если коэффициенты А, В и С не равны нулю, и неполным, если хотя бы одно из этих чисел равно нулю. Рассмотрим возможные виды неполных уравнений прямой.

1) С = 0 - прямая Ах + Ву = 0 проходит через начало координат.

2) В = 0 - прямая Ах + С = 0 параллельна оси Оу (так как нормаль к прямой {A, 0} перпендикулярна оси Оу).

3) А = 0 - прямая Ву + С = 0 параллельна оси Ох.

4) В=С=0 – уравнение Ах = 0 определяет ось Оу.

5) А=С=0 – уравнение Ву = 0 определяет ось Ох.

 

Таким образом, прямая, задаваемая полным уравнением, не проходит через начало координат и не параллельна координатным осям. Преобразуем полное уравнение прямой следующим образом:

Ах + Ву + С = 0 |: (-C), (7.9)

где и равны величинам отрезков, отсекаемых прямой на осях Ох и Оу. Поэтому уравнение (7.9) называют уравнением прямой в отрезках.

 

Условия параллельности и перпендикулярности прямых сводятся к условиям параллельности и перпендикулярности нормалей:

- условие параллельности, (7.11)

- условие перпендикулярности. (7.12).

Если прямые заданы каноническими уравнениями (7.5), по аналогии с пунктом 1 получим:

, (7.13)

- условие параллельности, (7.14)

- условие перпендикулярности. (7.16).

Здесь и - направляющие векторы прямых.

Эллипс.

Эллипсом называется множество точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F₁ и F₂ этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Замечание. При совпадении точек F₁ и F₂ эллипс превращается в окружность.

Выведем уравнение эллипса, выбрав декартову систему

у М(х, у) координат так, чтобы ось Ох совпала с прямой F₁F₂, начало

r₁ r₂ координат – с серединой отрезка F₁F₂. Пусть длина этого

отрезка равна 2с, тогда в выбранной системе координат

F₁ O F₂ x F₁(-c, 0), F₂(c, 0). Пусть точка М(х, у) лежит на эллипсе, и

сумма расстояний от нее до F₁ и F₂ равна 2а.

Тогда r₁ + r₂ = 2a, но ,

поэтому Введя обозначение b² = a² -c² и проведя несложные алгебраические преобразования, получим каноническое уравнение эллипса: (11.1)

Эксцентриситетом эллипса называется величина е=с/а (11.2)

Директрисой D_i эллипса, отвечающей фокусу F_i, называется прямая, расположенная в одной полуплоскости с F_i относительно оси Оу перпендикулярно оси Ох на расстоянии а/е от начала координат.

Замечание. При ином выборе системы координат эллипс может задаваться не каноническим уравнением (11.1), а уравнением второй степени другого вида.

 

Свойства эллипса:

Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (главные оси эллипса) и центр симметрии (центр эллипса). Если эллипс задан каноническим уравнением, то его главными осями являются оси координат, а центром – начало координат. Поскольку длины отрезков, образованных пересечением эллипса с главными осями, равны 2а и 2b (2a> 2b), то главная ось, проходящая через фокусы, называется большой осью эллипса, а вторая главная ось – малой осью.

1)Весь эллипс содержится внутри прямоугольника

2)Эксцентриситет эллипса e < 1.

Действительно,

4) Директрисы эллипса расположены вне эллипса (так как расстояние от центра эллипса до директрисы равно а/е, а е< 1, следовательно, а/е> a, а весь эллипс лежит в прямоугольнике )

5) Отношение расстояния r_i от точки эллипса до фокуса F_i к расстоянию d_i от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету эллипса.

Доказательство.

Расстояния от точки М(х, у) до фокусов эллипса можно представить так:

Составим уравнения директрис:

(D₁), (D₂). Тогда Отсюда r_i / d_i = e, что и требовалось доказать.

Гипербола.

Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек F₁ и F₂ этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Выведем каноническое уравнение гиперболы по аналогии с выводом уравнения эллипса, пользуясь теми же обозначениями.

|r₁ - r₂| = 2a, откуда Если обозначить b² = c² - a², отсюда можно получить

- каноническое уравнение гиперболы. (11.3)

Эксцентриситетом гиперболы называется величина е = с / а.

Директрисой D_i гиперболы, отвечающей фокусу F_i, называется прямая, расположенная в одной полуплоскости с F_i относительно оси Оу перпендикулярно оси Ох на расстоянии а / е от начала координат.

Свойства гиперболы:

Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, называемых вершинами гиперболы. Она называется действительной осью гиперболы (ось Ох для канонического выбора координатной системы). Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется ее мнимой осью (в канонических координатах – ось Оу). По обе стороны от нее расположены правая и левая ветви гиперболы. Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси.

Ветви гиперболы имеют две асимптоты, определяемые уравнениями

и .

Наряду с гиперболой (11.3) можно рассмотреть так называемую сопряженную гиперболу, определяемую каноническим уравнением

, (11.3`)

для которой меняются местами действительная и мнимая ось с сохранением тех же асимптот.

4) Эксцентриситет гиперболы e > 1.

5) Отношение расстояния r_i от точки гиперболы до фокуса F_i к расстоянию d_i от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету гиперболы.

Доказательство можно провести так же, как и для эллипса.

 

Парабола.

Параболой называется множество точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой. Точка F называется фокусом параболы, а прямая – ее директрисой.

 

у Для вывода уравнения параболы выберем декартову

систему координат так, чтобы ее началом была середина

d M(x, y) перпендикуляра FD, опущенного из фокуса на директри-

r су, а координатные оси располагались параллельно и

перпендикулярно директрисе. Пусть длина отрезка FD

D O F x равна р. Тогда из равенства r = d следует, что

поскольку

Алгебраическими преобразованиями это уравнение можно привести к виду: y² = 2px, (11.4)

называемому каноническим уравнением параболы. Величина р называется параметром параболы.

 

Свойства параболы:

1) Парабола имеет ось симметрии (ось параболы). Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Если парабола задана каноническим уравнением, то ее осью является ось Ох, а вершиной – начало координат.

2) Вся парабола расположена в правой полуплоскости плоскости Оху.

 

Замечание. Используя свойства директрис эллипса и гиперболы и определение параболы, можно доказать следующее утверждение:

Множество точек плоскости, для которых отношение е расстояния до некоторой фиксированной точки к расстоянию до некоторой прямой есть величина постоянная, представляет собой эллипс (при e< 1), гиперболу (при e> 1) или параболу (при е=1).

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: