Может выпасть 4,5,6. Должна выпасть 2 или 3. Значит, вероятность искомая равна 2/3.

Заказ #671.

Обозначения: x^7 – икс в седьмой степени

С_7 – С с нижним индексом 7

1.Укажите классическую формулу нахождения вероятности и условия ее применимости.

1а. - применима, если количество благоприятных вариантов m(А) и общее количество вариантов исходов n – конечные натуральные числа, а также если все исходы равновероятны.

2.Дайте определение сочетаний и их числа. Сочетанием из по называется набор элементов, выбранных из данного множества, содержащего различных элементов. Число сочетаний из по равно биномиальному коэффициенту

3.Вычислите .

А³_{5 =}5! /(5-3)! = 120/2 = 60, А^3_8 = 8! /5! = 6*7*8 = 336, C^5_8 = 8! /(5! *3! ) = 7*8 = 56, C^7_9 = 9! /(7! *2! ) = 4*9 = 36, P_4 = 4! = 1*2*3*4 = 24, P_6 = 6! = 720.

4.Что больше или

С^5_9 = 9! /(5! *4! ) = 6*7*8*9/24 = 2*7*9 = 126

A^4_6 = 6! /2! = 3*4*5*6 = 12*30 = 360

C^5_9 < A^4_6

5.В конверте лежат 8 мужских фотогрфий и 4 женских. Берут сразу 3 фотографии. Найти вероятности того, что:? а)они все М., б) они все Ж.

a) P(3 мужских фотографий) = C^3_8/С^3_12

б) Р(3 женские фотографии) = С^3_4/C^3_12

1.Укажите формулы математического ожидания и дисперсии д.с.в.

1а.

2.Дайте определение равновозможных событий и приведите пример таких событий

Равновозможные события – события, вероятность наступления которых одинакова. Пример: выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 на игральном кубике – равновероятные события.

3.Бросают сразу два игральных кубика. Какова вероятность выпадения неодинакового числа очков?

Всего вариантов: 6*6 = 36. Вариантов с одинаковыми цифрами на 2 кубиках = 6. Значит, подходящих вариантов 36-6 = 30. Поэтому вероятность: 30/36 = 5/6.

4.Бросают игральный кубик. Найдите условную вероятность выпадения четной цифры при условии, что выпала цифра, большая 3.

Может выпасть 4, 5, 6. Должна выпасть 2 или 3. Значит, вероятность искомая равна 2/3.

5.Составьте ряд распределения с.в., распределенной по биномиальному закону с параметрами . Укажите ее математическое ожидание и дисперсию.

P(X=0) = C^0_4*2^4/3^4 = 16/81

P(X=1) = C^1_4*2^3/3^4 = 32/81

P(X=2) = C^2_4*2^2/3^4 = 24/81

P(X=3) = C^3_4*2^1/3^4 = 8/81

P(X=4) = C^4_4*2^0/3^4 = 1/81

MX = 4/3, DX = 8/9

1.Укажите определение условной вероятности события по отношению к событию .

1а. Это вероятность события , найденная при условии, что произошло событие .

2.Дайте определение полной группы событий, чему равна вероятность суммы событий такой группы.

Полная группа событий - система случайных событий такая, что в результате произведенного случайного эксперимента непременно произойдет одно из них. Сумма вероятностей всех событий в группе всегда равна 1.

3.В конверте лежат 5 мужских (м) и 3 женских фотографии (ж) одного размера. Берут наугад сразу две фотографии. Найти вероятности того, что это окажутся: а)одна м, другая –ж; б) обе м; в)обе ж.

А) Вероятность: (C^1_5*C^1_3)/C^2_8

Б) Вероятность: С^2_5/C^2_8

В) Вероятность: С^2_3/C^2_8

4.С.в. распределена биномиально с параметрами . Найти вероятности событий и выяснить, зависимы ли эти события.

P(A) = P(X=2) = C^2_4/16 = 3/8

P(B) = P(X> 0) = 1-P(X=0) = 1-1/16 = 15/16

Это зависимые события.

5.В ящике лежат 3 новых и 4 игранных тенисных мяча. Для тренировки спортсмен взял наугад 2 мяча, поиграл ими и положил назад в ящик. Для игры он опять наугад взял один мяч. Какова вероятность, что этот мяч новый?

I игра:

А_1 = 2 новых мяча; А_2 = 1 новый, 1 игранный; А_3 = 2 игранных

P(A_1) = C^2_3/C^2_7 = 3/21 = 1/7

P(A_2) = (C^1_3*C^1_4)/C^2_7 = (3*4)/21 = 12/21

P(A_2) = C^2_4/C^2_7 = 6/21

II игра:

B_1 = взял новый мяч

По формуле полной вероятности: P(B_1) = 1/7*1/7 + 12/21*2/7 + 6/21*3/7 = (3+24+18)/147 = 45/147.

0 3

1.Укажите расширенную формулу сложения:

1г. .

2.Дайте определение случаев, чему равна вероятность одного случая.

Случай, Случа́ йное собы́ тие — подмножество множества исходов случайного эксперимента. Вероятность одного случая равна частоте наступления события при стремлении количества повторяющихся экспериментов к бесконечности.

3.Из колоды в 36 карт берут одну за другой две карты. Какова вероятность, что вторая карта – Туз?

A_1 = I карта туз

P(A_1) = 4/36 = 1/9

P(вторая карта туз) = 1/9*3/35 + 8/9*4/36 = 1/105 + 8/81 = 0, 0095238+0, 0987654 = 0, 1082892

4.С.в. распределена по равномерному закону на отрезке . Найти вероятности событий .

P(X> 0) = 7/8

P(2< X< 7) = 5/8

P(X^2< 9) = P(-3< X< 3) = P(-1< X< 3) = 4/8 = 0.5

P(3X< 8) = P(X< 8/3) = (10/3)/8 = 10/24 = 5/12

5.Бросают игральный кубик. Найдите условную вероятность выпадения нечетной цифры, при условии, что выпала цифра, большая 3.

Условие: выпало 4, 5 или 6. Должна выпасть нечётная: 5. Значит, условная вероятность равна 1/3.

1.По каким формулам считается математическое ожидание и дисперсия с.в. , распределенной по биномиальному закону с параметрами .

1а. ;

2.Опишите формулу произведения для трех событий.

Формула произведения для трёх событий: .

3.В урне три белых шара, три черных и три красных, все шары кроме цвета ничем более не отличаются. Берут сразу три шара. Какова вероятность того, что все они а) одного цвета; б) разного цвета.

А) P = (C^3_3 + C^3_3 + C^3_3)/C^3_9

Б) P = (C^1_3*C^1_3*C^1_3)/C^3_9

4.Бросают одновременно два игральных кубика. Найдите условную вероятность того, что сумма выпавших очков больше 10 при условии, что произведение выпавших очков не меньше 10.

Условие: произведение выпавших очков больше или равно 10, т.е. возможны варианты (16 штук):

2-5, 2-6, 3-4, 3-5, 3-6, 4-3, 4-4, 4-5, 4-6, 5-2, 5-3, 5-4, 5-5, 5-6, 6-6, 6-5

Подходящие нам варианты (сумма больше 10):

5-6, 6-6, 6-5.

Итого: вероятность: 3/16.

5.С.в. имеет ряд распределения: . Найдите вероятности событий , зависимы ли первые два события?

P(X> 6) = 0 (т.к. значения больше 6 случайная величина Х не может принимать).

P(1< X< 7) = 0, 2+0, 1+0, 5 (т.к. в указанном интервале случаяная величина может принимать только значения 2, 4 и 6).

P(X< 20) = 1

З(X> -2) = 1

1.Событие называется зависимым от события если

1б.

2.Опишите формулу Байеса и условия ее применимости.

Формула Байеса:

Где

— априорная вероятность гипотезы A (смысл такой терминологии см. ниже);

— вероятность гипотезы A при наступлении события B (апостериорная вероятность);

— вероятность наступления события B при истинности гипотезы A;

— полная вероятность наступления события B.

3.Дано . Найти и выяснить, зависимы ли события .

P(A) = 0, 84; P(B) = 0, 5/0, 8 = 5/8 = 0, 625

P(A U B) = 0, 84+0, 625-0, 5 = 0, 965

P_AB = 0, 5/0, 625 = 4/5 = 0, 8

P(AB) = 0, 5 = P(A)*P(B) = 0, 84*0, 625 = 0, 525 è зависимы

4.С.в. имеет ряд распределения: . Найти а и р, если .

P = 1-0, 5-0, 1-0, 1 = 0, 3

MX = 1*0, 5 + 4*0, 1 + 5*0, 1 + a*0, 3 = 3

1, 4 + a*0, 3 = 3 è a = 1, 6/0, 3 = 5 + 1/3 = 5, 33333333…

5.Некто написал 5 адресатам письма, а затем наудачу написал на каждом конверте один из 5 имеющихся у него адресов. Чему равна вероятность, что хотя бы одно письмо попало по назначению?

А = хотя бы одно попало по адресу. Тогда –А = ни одно не попало по адресу.

P(-А) = C^5_5*(4/5)^5 = 1025/3125

è P(A) = 1-1025/3125 = 2100/3125 = 0, 672

1.Укажите формулы, по которым можно найти математическое ожидание и дисперсию с.в. , распределенной по закону Пуассона с параметром .

1в. ;

2.С.в. имеет ряд распределения .Составить ряд распределения с.в. , с.в. .

X^2: 1 – 0, 1

9 – 0, 2

25 – 0, 2

49 – 0, 3

Max{X, 5}: 5 – 0, 5

7 – 0, 3

Вообще задание не совсем корректное, т.к. сумма вероятностей в ряде распределения должна быть равна 1, а в этой задаче: 0, 1+0, 2+0, 2+0, 3 = 0, 8.

3.Дано . Найти и выяснить, зависимы ли события .

P(A) = 0, 8; P(B) = 0, 5/0, 8 = 5/8 = 0, 625

P(A U B) = 0, 8+0, 625-0, 5 = 0, 925

P_AB = 0, 5/0, 625 = 4/5 = 0, 8

P(AB) = 0, 5 = P(A)*P(B) = 0, 8*0, 625 = 0, 5 è независимы

4.Составить ряд распределения с.в., распределенной по биномиальному закону с параметрами .

P(x=0) = C^0_3 * p^0 * q^3 = 1/8

P(x=1) = C^1_3 * p^1 * q^2 = 3/8

P(x=2) = C^2_3 * p^2 * q^1 = 3/8

P(x=3) = C^3_3 * p^3 * q^0 = 1/8

5.В доме 3 совершенно одинаковых и независимо работающих лифта в каждом из трех подъездов, по одному лифту в каждом подъезде. С вероятностью 1/2 ежедневно какой-то из лифтов ломается (другие два в этот день исправны). Какова вероятность, что завтра починки потребует лифт в подъезде №1.

Привет! Тут я выдохся первый раз, пока решал ваши задачки.

1.Укажите формулу Байеса

1б.

2.Опишите формулу, невыполнение которой равносильно зависимости событий .

Формула: P(AB) = P(A)*P(B)

3.В автохозяйстве каждое утро случайным образом все имеющиеся 7 машин выстраиваются в колонну. Найти вероятности того, что две конкретные машина: а) окажутся рядом; б) в начале и конце колонны.

А) Р = 1/7 * 1/6 = 1/42

Б) P = 1/7 * 5/6 * 4/5 * ¾ * 3/2 * 1/2 = 1/42

4.С.в. распределена по закону Пуассона с параметром . Найти вероятности событий и определить, зависимы ли эти события.

P(0< X< 2) = P(X=1) = 2*e^(-2)

P(0< X< 4) = P(X=1 или X = 2 или X = 3) = 2*e^(-2) + 2*e^(-2) + (4*e^(-2))/3

Зависимы

5.В урне лежат 3 шара белых, 3 шара красных и 3 шара черных. Берут сразу 3 шара. Какова вероятность, того что все 3 взятых шара: а) одинакового цвета; б) разного цвета(т.е. среди взятых нет шаров одного цвета); в)среди взятых есть шар белого цвета?

А) P = (C^3_3 + C^3_3 + C^3_3)/C^3_9

Б) P = (C^1_3*C^1_3*C^1_3)/C^3_9

B) P = C^1_3/C^3_9

1. Укажите формулу, определяющую функцию распределения вероятности с.в.

1г. .

2.Опишите формулу полной вероятности и условия ее применения.

Пусть дано вероятностное пространство , и полная группа попарно несовместных событий , таких что . Пусть — интересующее нас событие. Тогда

3.В аквариуме 3 рыбки простые и 3 золотые. Найти вероятности того, что: а) все простые рыбки окажутся в левой половине аквариума, а золотые в правой; б)все рыбки соберутся в верхей половине аквариума.

А) P = C^3_6*(1/2)^6 = 20/64 = 5/16

Б) P = C^6_6*(1/2)^6 = 1/64

4.Бросают игральный кубик. Найдите условную вероятность выпадения нечетной цифры, при условии, что выпала цифра, большая 4.

Условие: выпало 5 или 6. Должно выпасть нечётная цифра: 5. Значит, вероятность равна ½.

5. С.в. имеет ряд распределения: . Найдите вероятности и математическое ожидание с.в. .

P(X< 8) = 0, 1+0, 1+0, 1+0, 2+0, 1 = 0, 6

P(X> 2) = 0, 1+0, 2+0, 1+0, 2+0, 2 = 0, 8

P(X< 11) = 1

P_{(0< x< 4)}(3< X< 7) = P(3< X< 4) = P(X=3, 5) = 0, 1

MX = 1, 5*0, 1 + 1*0, 1 + 3, 5*0, 1 + 5, 5*0, 2 + 7, 5*0, 1 + 9*0, 2 + 9, 5*0, 2 = 0, 15+0, 1+0, 35+1, 1+0, 75+1, 8+1, 9 = 0, 6+2, 9+2, 65=6, 15

1. Укажите расширенную формулу сложения вероятностей:

1в. ;

2.Опишите функцию Лапласа, ее свойства, начертите ее примерный график.

Функция Лапласа:

График:

Свойства: Функция ошибок нечётна:

· Для любого комплексного выполняется где черта обозначает комплексное сопряжение числа .

· Функция ошибок не может быть представлена через элементарные функции

Функция ошибок на бесконечности равна единице; однако это справедливо только при приближении к бесконечности по вещественной оси.

3.Вычислите .

А³_{5 =}5! /(5-3)! = 120/2 = 60,

А^3_7 = 7! /5! = 6*7 = 42,

C^5_8 = 8! /(5! *3! ) = 7*8 = 56,

C^7_8 = 8! /(7! *1! ) = 8,

P_6 = 6! = 1*2*3*4*5*6 = 720

4.Бросают игральный кубик. Найдите условную вероятность выпадения нечетной цифры, при условии, что выпала цифра, большая 2.

Условие: выпало 3, 4, 5 или 6. Должна выпасть нечётная цифра: 3 или 5. Значит, вероятность равна 2/4 = ½ = 0, 5.

5.С.в. распределена биномиально с параметрами . Найти ряд распределения с.в. , вероятности событий и выяснить, зависимы ли первые два события.

Ряд распределения случайной величины X^2:

P(x^2=0) = C^0_4 * p^0 * q^4 = 1/16

P(x^2=1) = C^1_4 * p^1 * q^3 =4*1/16 = 1/4

P(x^2=4) = C^2_4 * p^2 * q^2 = 3*2*1/6 = 6/16 = 3/8

P(x^2=9) = C^3_4 * p^3 * q^1 = 1/4

P(x^2=16) = C^4_4 * p^4 * q^0 = 1/16

P(X=2) = C^2_4 * 1/16 = 6/16 = 3/8

P(X> 0) = 1-P(X=0) = 1-1/16 = 15/16

P(X^2=4) = P(X=2) = 3/8

Зависимы.

1.Укажите классическую формулу нахождения вероятности и условия ее применимости.

1а. - - применима, если количество благоприятных вариантов m(А) и общее количество вариантов исходов n – конечные натуральные числа, а также если все исходы равновероятны.

2.Какова вероятность, что беря из колоды в 32 карты(без шестерок) две карты сразу, возьмем: а) два туза; б)туза и десятку.

А) P = C^2_4/C^2_32

Б) P = (C^1_4+C1_4)/C^2_32

3.Игральный кубик бросают три раза. Какова вероятность, что выпадут: а) разное число очков( все три раза); б) только в двух бросках выпадет одинаковое число очков.

А) P = 5/6 * 4/5 = 2/3

Б) Р(во всех трёх одинаковая цифра выпала) = 6/(6*6*6) = 1/36.

P(только в двух бросках выпадет одинаковое число очков) = 1-2/3-1/36 = (36-24-1)/36 = 11/36

4.С.в. имеет ряд распределения: . Найти вероятности событий и выясните, зависимы ли эти события.

P(2< X< 6) = P(X=4) = 0, 2

P(1< X< 3) = P(X=2) = 0, 2

Независимы

5.Наугад вытаскивают 3 карты из колоды в 36 карт. Событие А состоит в том, что ровно 2 карты из 3 вытащенных – тузы. Опишите события словами и найдите вероятности этих событий.

А = ровно 2 из 3 вытащенных – тузы P_A = C^2_3*C^2_4*C^1_32/C^3_36

-А = любая ситуация, кроме когда 2 из 3 вытащенных – тузы P = 1-(P_A)

Б.несовместными; да

В.совместными; да

Это независимые события

5.Из полной колоды в 36 карт берут одну за другой 3 карты. Какова вероятность, что: а) вторая карта будет десяткой; б) среди взятых карт не окажется ни одной старшей карты.

А) P(вторая будет десяткой) = 4/36*3/35+8/9*4/35

Б) Всего старших (туз, король, дама, валет) = 16 штук

P(среди взятых не окажется ни одной старшей карты) = 20/36*19/35*18/34

1.Укажите формулы математического ожидания и дисперсии д.с.в.

1г.

2.Докажите зависимость двух несовместных событий с положительными вероятностями.

P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB)

Но т.к. события несовместны, то P(A+B) = P(A)+P(B), откуда P(AB)=0, что невозможно при независимых событиях ( т.к. в этом случае P(AB)=P(A)*P(B) = 0, что невозможно, т.к. оба сомножителя больше нуля по условию).

3. В урне 2 белых шара и 4 черных. Берем сразу 2 шара. Какова вероятность, что они: а)черные; б) белые

А) P = C^2_4/C^2_6

Б) P = C^2_2/C^2_6

4.С.в. имеет ряд распределения: . Найти вероятности событий и выяснить, зависимы ли эти события.

P(2< X< 6) = P(X=4) = 0, 2

P(1< X< 5) = P(X=2 или X=4) = 0, 2 + 0, 2 = 0, 4

Это зависимые события

5.Напишите плотность вероятности и функцию распределения с.в, распределенной по равномерному закону на отрезке [-5, 20]. Постройте графики этих функций.

Плотность вероятности: f(x) = 1/25 при -5< =x< =20, = 0 иначе.

Функция распределения: F(x) = 0 при x< -5, = (x+5)/25 при -5< =x< =20, = 1 при x> 20.

Пусть проводятся независимые испытания. Далее, вероятность наступления интересующего нас события в каждом испытании постоянна и равна p. Тогда вероятность того, что рассматриваемое событие появится ровно k раз при n испытаниях (безразлично, в каком порядке), равна

Где

— априорная вероятность гипотезы A (смысл такой терминологии см. ниже);

— вероятность гипотезы A при наступлении события B (апостериорная вероятность);

— вероятность наступления события B при истинности гипотезы A;

— полная вероятность наступления события B.

3. В безрыбное озеро запустили 5000 рыб, из них 500 окольцованных. На следующий день рыбак удочкой поймал 1 рыбу. Какова вероятность, что она окольцована? К вечеру того же дня рыбаки сетью поймали 100 рыб. Сколько примерно из них окольцованы?

А) P(поймать окольцованную рыбу) = 500/5000 = 0.1

Б) Предполагается, что рыбак, поймавший рыбу, не возвращает её в пруд. Осталось 499 окольцованных рыб из 4999 рыб всего. Примерно 10 рыб из пойманных в сеть окольцованы.

4.Бросают игральный кубик. Найдите условную вероятность выпадения нечетной цифры, при условии, что выпала цифра, большая 2.

Условие: выпало 3, 4, 5 или 6. Должна выпасть нечётная цифра, т.е. 3 или 5. Итого: вероятность равна 2/4 = 0, 5.

5.С.в. распределена биномиально с параметрами . Найти ряд распределения с.в. , вероятности событий и выяснить, зависимы ли первые два события.

P(x^2=0) = C^0_4 * p^0 * q^4 = 1/16

P(x^2=1) = C^1_4 * p^1 * q^3 =4*1/16 = 1/4

P(x^2=4) = C^2_4 * p^2 * q^2 = 3*2*1/6 = 6/16 = 3/8

P(x^2=9) = C^3_4 * p^3 * q^1 = 1/4

P(x^2=16) = C^4_4 * p^4 * q^0 = 1/16

P(X=2) = C^2_4 * p^2 * q^2 = 3*2*1/6 = 6/16 = 3/8

P(X> 0) = 1-1/16 = 15/16

P(Z=4) = P(X=2) = 3/8

Первые два события зависимы

1. Укажите расширенную формулу сложения вероятностей:

1в. ;

2.Опишите формулу умножения.

3.Дисперсии с.в. есть 3 и 5, а дисперсия их суммы равна 12. Могут ли эти с.в. быть независимыми? Отвечайте аргументированно.

12 = D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2*cov(X, Y) = 8 + 2*cov(X, Y) è cov(X, Y) = 2, что не равно 0 è события зависимы

Условие: выпало 5 или 6. Должна выпасть нечётная цифра, т.е. 5. Значит, вероятность равна ½.

5. С.в. распределена по показательному закону с параметром . Найдите вероятности событий . Найдите также вероятности событий и выясните, зависимы ли эти события.

P(X< 1) = F(1) = 1-e^(-2*1) = 1-e^(-2)

P(0< X< 2) = F(2) = 1-e^(-4)

События зависимы

1.Укажите формулу Бернулли.

1в; ;

2.Опишите формулу полной вероятности и условия ее применимости.

3.Вычислите .

А⁴_{6 =}6! /(6-4)! = 3*4*5*6 = 360,

А^4_7 = 7! /3! = 4*5*6*7 =20*42 = 840,

C^5_9 = 9! /(5! *4! ) = 6*7*8*9/24 = 2*7*9 = 126,

C^7_8 = 8! /(7! *1! ) = 8,

P_1 = 1! = 1

P_6 = 6! = 1*2*3*4*5*6 = 720

4.С.в. имеет ряд распределения: . Найти вероятности событий и выяснить, зависимы ли эти события.

P(2< X< 6) = P(X=4) = 0, 2

P(1< X< 3) = P(X=2) = 0, 2

Эти события независимы

5.С.в. распределена по равномерному закону на отрезке [-5, 20]. Найти вероятности событий и выяснить, зависимы ли первые два события.

P(2< X< 6) = (17-4)/25 = 13/25

P(-1< X) = (17+1)/25 = 18/25

P(X< 15) = (15+5)/25 = 20/25 = 0.8

События зависимы

1.Укажите формулы математического ожидания и дисперсии д.с.в.

1а.

2.Дайте определение нормально распределенной с.в., каков смысл параметров распределения.

Нормальное распределение — распределение вероятностей, которое задается функцией плотности распределения:

где параметр μ — среднее значение (математическое ожидание) случайной величины и указывает координату максимума кривой плотности распределения, а σ ² — дисперсия.

3.С.в. равномерно распределена в круге радиусом 5 с центром в точке (0, 0). Чему равно , где -функция распределения упомянутой с.в..

Функция распределения: F(x) = x*y/(25*pi)

F(0, 0) = 0

F(0, 5) = F(5, 0) = 1/(5*pi)

F(5, 5) = 1/pi

4.Бросают сразу два игральных кубика. Найдите условную вероятность выпадения обеих четных цифр при условии, что выпали цифры, в сумме большие 10.

Первые два события зависимы

По каким формулам определяется математическое ожидание и дисперсия н.с.в. .

1б. ;

2.Дайте определение с.в., распределенной по закону Пуассона; укажите ее математическое ожидание.

Выберем фиксированное число и определим дискретное распределение, задаваемое следующей функцией вероятности:

2-5, 2-6, 3-4, 3-5, 3-6, 4-3, 4-4, 4-5, 4-6, 5-2, 5-3, 5-4, 5-5, 5-6, 6-6, 6-5

Подходящие нам варианты (сумма больше 10):

5-6, 6-6, 6-5.

Итого: вероятность: 3/16.

5.С.в. распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением .Найдите вероятности событий и выясните, зависимы ли эти события.

P(0< X< 2) = F(2)-F(0) = 0.5*(-erf(-2/(3*sqrt{2})))

P(1< X< 4) = F(4)-F(1) = 0.5*(erf(2/(3*sqrt{2}))-erf(-1/(3*sqrt{2})))

Это независимые события

1.Событие называется зависимым от события если

1б

2.Опишите формулы, связывающие плотность и функцию распределения с. в. .

События зависимы

4. Написать формулу и нарисовать график для функции распределения с.в. с рядом распределения , найдите вероятность того, что .

F(x) = 0 при x< 0

0, 2 при 0< =x< 2

0, 4 при 2< =x< 4

0, 5 при 4< =x< 6

1 при 6< =x.

Тогда

по распределению при ,

где — нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением, равным единице.

3.Для д.с.в. с рядом распределения составьте ряд распределения с.в. .

P(x^2=16) = 0, 1+0, 1 = 0, 2

P(x^2=1) = 0, 2+0, 4 = 0, 6

P(x^2=9) = 0, 1

P(x^2=36) = 0, 1

Условие: выпало 5 или 6. Должна выпасть нечётная цифра, т.е. 5. Итого: вероятность: ½.

5. С.в. нормально распределена с математическим ожиданием и дисперсией . Найдите вероятности событий и выясните, зависимы ли эти события.

P(X< 1) = F(1) = 0.5*(1+erf(-1/(16*sqrt{2})))

P(4< X) = 1-F(4) = 0.5*(1-erf(1/(8*sqrt{2})))

Это независимые события

1.Укажите классическую формулу нахождения вероятности и условия ее применимости.

2.Дайте определение коэффициента корреляции.

Коэффициент корреляции случайных величин X и Y: ,

События зависимы

А = ровно 2 из 3 вытащенных – тузы P_A = C^2_3*C^2_4*C^1_32/C^3_36

-А = любая ситуация, кроме когда 2 из 3 вытащенных – тузы P = 1-(P_A)

События зависимы

I игра:

А_1 = 2 новых мяча

А_2 = 1 новый, 1 игранный

А_3 = 2 игранных

P(A_1) = C^2_3/C^2_7 = 3/21 = 1/7

P(A_2) = (C^1_3*C^1_4)/C^2_7 = (3*4)/21 = 12/21

P(A_2) = C^2_4/C^2_7 = 6/21

II игра:

B_1 = взял новый мяч

По формуле полной вероятности:

P(B_1) = 1/7*1/7 + 12/21*2/7 + 6/21*3/7 = (3+24+18)/147 = 45/147.

По каким формулам определяется математическое ожидание и дисперсия н.с.в. .

1б ;

2.Опишите теорему Чебышева.

Теорема Чебышева: При достаточно большом числе независимых случайных величин Х₁, Х₂, Х₃, ..., Х_n, дисперсия каждой из которых не превышает одного и того же постоянного числа В, для произвольного сколько угодно малого числа e справедливо неравенство

3.С.в. показательно распределена со средним значением 2. Найти математическое ожидание с.в. .

P(Y=0) = P(X< 1) = F(1) = 1-e^(-2)

P(Y=2) = 1-P(Y=0) = e^(-2)

MY = 2*e^(-2)

4.Берут сразу две карты из колоды в 36 карт. Найдите условную вероятность взять туза, при условии, что одна из взятых карт десятка.

Р(взять туза) = 2 * 4/36*4/35

5. Напишите плотность и функцию распределения с.в., распределенной по показательному закону с параметром . Начертите графики этих функций.

Плотность f(x) = 2*e^(-2x) при x> =0, f(x) = 0 при x< 0

Функция распределения F(x) = 1-e^(-2x) при x> =0, F(x) = 0 при x< 0

События зависимы

5.Написать формулу и нарисовать график для функции распределения с.в. с рядом распределения . Найти .

Функция распределения F(x) = 0 при x< 0

F(x) = 0, 2 при 0< =x< 2

F(x) = 0, 4 при 2< =x< 4

F(x) = 0, 5 при 4< =x< 6

F(x) = 1 при 6< =x

Каждая ценная бумага – это случайная величина, ведь цена ценной бумаги в каждый момент принимает различные значение. Соответственно, можно ожидать, что числовые характеристики случайных величин будут также присущи и ценным бумагам. А портфель ценных бумаг – это многомерная случайная величина.

4.С.в. распределена по равномерному закону на отрезке [-10, 20]. Найти вероятности событий , условную вероятность и выяснить, зависимы ли первые два события.

P(X< 0) = (0+10)/30 = 1/3

P(X> -1) = (20+1)/30 = 0, 7

События зависимы

P((X< 10)|(X> 18)) = 0

5.В урне лежат 3 шара белых, 3 шара красных и 3 шара черных. Берут сразу 3 шара. Какова вероятность: а) все 3 взятых шара одинакового цвета; б) все 3 взятых шара разного цвета; в) среди взятых шаров есть шар белого цвета?

А) P = (C^3_3 + C^3_3 + C^3_3)/C^3_9

Б) P = (C^1_3*C^1_3*C^1_3)/C^3_9

B) P = (C^1_3+C^2_3+C^3_3)/C^3_9

12 3 4 5 6 Следующая ⇒

Последнее изменение этой страницы: 2017-03-14; Просмотров: 735; Нарушение авторского права страницы