Условие: сумма больше 10, т.е. выпало 5 и 6, 6 и 5 или 6 и 6. Должно выпасть 6 и 6. Итого: вероятность 1/3.

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 6Следующая ⇒

5.Напишите плотность вероятности и функцию распределения с.в. , распределенной по показательному закону с , найдите плотность вероятности с.в. .

Плотность: f_X(x) = 2*e^(-2x) при x> =0, иначе =0

Функция распределения: F_X(x) = 1-e^(-2x) при x> =0, иначе =0.

1.Укажите определение условной вероятности события по отношению к событию .

1а. Это вероятность события , найденная при условии, что произошло событие .

2.Что такое геометрическая вероятность.

Геометрическая вероятность события A, являющегося подмножеством множества Ω точек на прямой или плоскости — это отношение площади фигуры A к площади всего множества Ω:

3. В семье четыре ребенка. Считая, что вероятность рождения мальчика равна 0, 5, найдите вероятность, что среди этих детей: а) есть хотя бы один мальчик; б) не менее двух мальчиков.

А) P(хотя бы 1 мальчик) = P(1 мальчик)+P(2 мальчика)+P(3 мальчика)+P(4 мальчика) = С^1_4*1/16 + C^2_4*1/16 + C^3_4*1/16 + C^4_4*1/16 = (4+6+4+1)/16 = 15/16

Б) P(больше или равно 2 мальчиков) = P(2 мальчика)+P(3 мальчика)+P(4 мальчика) = C^2_4*1/16 + C^3_4*1/16 + C^4_4*1/16 = (6+4+1)/16 = 11/16

4. В ящике лежат 3 новых и 4 игранных тенисных мяча. Для тренировки спортсмен взял наугад 2 мяча, поиграл ими и положил назад в ящик. Для игры он опять наугад взял один мяч. Какова вероятность, что этот мяч новый?

I игра:

А_1 = 2 новых мяча

А_2 = 1 новый, 1 игранный

А_3 = 2 игранных

P(A_1) = C^2_3/C^2_7 = 3/21 = 1/7

P(A_2) = (C^1_3*C^1_4)/C^2_7 = (3*4)/21 = 12/21

P(A_2) = C^2_4/C^2_7 = 6/21

II игра:

B_1 = взял новый мяч

По формуле полной вероятности:

P(B_1) = 1/7*1/7 + 12/21*2/7 + 6/21*3/7 = (3+24+18)/147 = 45/147.

5.С.в. распределена биномиально с параметрами . Найти ряд распределения с.в. , вероятности событий и выяснить, зависимы ли первые два события.

P(x^2=0) = C^0_4 * p^0 * q^4 = 1/16

P(x^2=1) = C^1_4 * p^1 * q^3 =4*1/16 = 1/4

P(x^2=4) = C^2_4 * p^2 * q^2 = 3*2*1/6 = 6/16 = 3/8

P(x^2=9) = C^3_4 * p^3 * q^1 = 1/4

P(x^2=16) = C^4_4 * p^4 * q^0 = 1/16

P(X=2) = C^2_4 * p^2 * q^2 = 3*2*1/6 = 6/16 = 3/8

P(X> 0) = 1-1/16 = 15/16

P(Z=4) = P(X=2) = 3/8

Первые два события зависимы

По каким формулам определяется математическое ожидание и дисперсия н.с.в. .

1б. ;

2.Дайте определение с.в., распределенной по закону Пуассона; укажите ее математическое ожидание.

Выберем фиксированное число и определим дискретное распределение, задаваемое следующей функцией вероятности:

Это распределение задаёт случайную величину, распределённой по закону Пуассона.

3.Для д.с.в. с рядом распределения составьте ряды распределения с.в. и .

P(y=x-1=-5) = 0, 1

P(y=x-1=-2) = 0, 2

P(y=x-1=0) = 0, 4

P(y=x-1=2) = 0, 1

P(y=x-1=3) = 0, 1

P(y=x-1=5) = 0, 1

P(Z=0) = 0, 3

P(Z=1) = 0, 4

P(Z=3) = 0, 1

P(Z=4) = 0, 1

P(Z=6) = 0, 1

4.Берут сразу две карты из колоды в 36 карт. Найдите условную вероятность взять туза, при условии, что одна из взятых карт десятка.

Р(взять туза) = 2 * 4/36*4/35

5.Напишите плотность и функцию распределения с.в. , где с.в. распределена по нормальному закону с параметрами .

Плотность: где математическое ожидание µ = 22, дисперсия D = 9*25+7 = 232 = σ ^2.

Функция распределения F(x) – стоит всего лишь взять интеграл от плотности.

1.По каким формулам считается математическое ожидание и дисперсия с.в. , распределенной по равномерному закону на отрезке .

1б. ;

2.Дайте определение биномиально распределенной с.в., укажите ее числовые характеристики.

Пусть — конечная последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть

Построим случайную величину :

Тогда , число единиц (успехов) в последовательности , имеет биномиальное распределение с степенями свободы и вероятностью «успеха» . Пишем: . Её функция вероятности задаётся формулой:

где — биномиальный коэффициент.

Построенная случайная величина – биномиально распределённая случайная величина.

3.Для д.с.в. с рядом распределения составьте ряд распределения с.в. и вычислите ее математическое ожидание.

P(Z=0) = 0, 3

P(Z=1) = 0, 4

P(Z=3) = 0, 1

P(Z=4) = 0, 1

P(Z=6) = 0, 1

MZ = 0, 4*1+0, 1*3+0, 1*4+0, 1*6 = 0, 4+0, 3+0, 4+0, 6 = 1, 7

4.Бросают одновременно два игральных кубика. Найдите условную вероятность того, что сумма выпавших очков больше 10 при условии, что произведение выпавших очков не меньше 10.

Условие: произведение выпавших очков больше или равно 10, т.е. возможны варианты (16 штук):

2-5, 2-6, 3-4, 3-5, 3-6, 4-3, 4-4, 4-5, 4-6, 5-2, 5-3, 5-4, 5-5, 5-6, 6-6, 6-5

Подходящие нам варианты (сумма больше 10):

5-6, 6-6, 6-5.

Итого: вероятность: 3/16.

5.С.в. распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением .Найдите вероятности событий и выясните, зависимы ли эти события.