Это и есть Формула Бернулли.

4.Составьте ряд распределения с.в., распределенной по биномиальному закону с параметрами .

P(x=0) = C^0_4 * p^0 * q^4 = 1/81

P(x=1) = C^1_4 * p^1 * q^3 = 4*8/81 = 32/81

P(x=2) = C^2_4 * p^2 * q^2 = 6*4/81 = 24/81

P(x=3) = C^3_4 * p^3 * q^1 = 32/81

P(x=4) = C^4_4 * p^4 * q^0 = 1/81

 

5.В урне было 5 шаров, среди них один белый. Один шар потерялся. Какова теперь вероятность взять из урны белый шар?

P = 1/5*0 + 4/5*1/4 = 1/5 = 0, 2

1.Событие называется зависимым от события если

1б.

2.Приведите пример случайного события вероятности 2/7.

В мешке лежат карточки с номерами {2, 4, 381, 567, 4567, 34567, 234567, 1234567}. Вероятность вытащить наугад карточку с чётным числом равна как раз 2/7.

3.Корреляционный момент с.в. равен 2, дисперсии этих с.в. равны 3 и 5. Найти дисперсию суммы этих с.в.

Cov(X, Y) =2

DX = 3

DY = 5

D(X+Y) = DX+DY+2*cov(X, Y) = 3+5+2*2 = 12.

4.С.в. имеет ряд распределения: и . Найти , где обозначает функцию распределения с.

P = 1-0.5-0.1-0.1 = 0.3

MX = 0, 5+0, 4+0, 5+0.3*a = 3 è 0.3*a = 1.6 è a = 5+1/3 = 5.333333….

F(2) = P(X< 2) = 0.5

F(5) = P(X< 5) = 0, 5+0, 1 = 0, 6

F(6) = P(X< 6) = 1

5. С.в. имеет ряд распределения: . Найти , при котором .

MX = 0, 5+0, 4+0, 5+0, 3*a = 1, 4+0, 3*a> 3 è 0, 3*a> 1.6 è a> 5, 33333….

1.Укажите формулы, по которым можно найти математическое ожидание и дисперсию с.в., распределенной по закону Пуассона с параметром .

1в ;

2.Опишите формулу Бернулли и условия ее применимости.

Пусть проводятся независимые испытания. Далее, вероятность наступления интересующего нас события в каждом испытании постоянна и равна p. Тогда вероятность того, что рассматриваемое событие появится ровно k раз при n испытаниях (безразлично, в каком порядке), равна

Это и есть Формула Бернулли.

3.С.в. принимает целые значения от 1 до 10 с равной вероятностью. Найти ее математическое ожидание.

MX = 0.1*(1+2+3+4+…+10) = 0.1*(1+10)*10/2 = 1.1*5 = 5.5

4.Из букв слова КАМЕРА выбирают случайно 4 буквы и приставляют друг к другу в порядке выбора. Какова вероятность, что получится слово МЕРА?

Вероятность вытянуть первой букву М = 1/6.

Вероятность вытянуть второй букву Е = 1/5.

Вероятность вытянуть третьей букву Р = 1/4.

Вероятность вытянуть четвёртой букву А = 1/3.

Общая вероятность составить слово МЕРА по этим условиям: P = 1/(3*4*5*6) = 1/360.

5. Написать формулу и нарисовать график для функции распределения с.в. с рядом распределения . Найти числовые характеристики этой с.в.

F(x) = 0 при x< 0

F(x) = 0, 2 при 0< =x< 2

F(x) = 0, 4 при 2< =x< 4

F(x) = 0, 5 при 4< =x< 6

F(x) = 1 при 6< =x

График нарисуйте сами в приложении «Построитель графиков» на Вконтакте.

MX = 0, 4+0, 4+3 = 3, 8

M(X^2) = 4*0, 2+16*0, 1+36*0, 5 = 0, 8+1, 6+18 = 20, 4

DX = 20, 4 – (3, 8)^2 = 20.4 – 14.44 = 5.96

1.Укажите формулу Байеса

1б.

2.Опишите формулу, невыполнение которой равносильно зависимости событий .

Формула: P(AB) = P(A)*P(B)

3.Из полной колоды (36 карт) берут одну карту, потом, не возвращая взятую карту в колоду, берут вторую. Какова вероятность, что эта вторая есть Туз.

P = 4/36*3/35 + 32/36*4/35

 

4.С.в. распределена по равномерному закону на отрезке [10, 20]. Найти вероятности событий , а также и выяснить, зависимы ли первые два события.

P(10< X< 20) = 1

P(10< X< 14) = 4/10 = 0.4

P((X< 10)/(X> 18)) = 0

5.В урне лежат 3 шара белых, 3 шара красных и 3 шара черных. Берут сразу 3 шара. Какова вероятность, что все 3 взятых шара: а) одинакового цвета; б) разного цвета(т.е. среди взятых нет двух шаров одного цвета); в) среди взятых шаров есть шар белого цвета?

А)P = (C^3_3 + C^3_3 + C^3_3)/C^3_9

Б) P = (C^1_3*C^1_3*C^1_3)/C^3_9

B) P = C^1_3/C^3_9

 

1. Укажите формулу, определяющую функцию распределения вероятности с.в.

1г. .

2.Опишите формулу Байеса и условия ее применимости.

Формула Байеса:

,

Где

— априорная вероятность гипотезы A (смысл такой терминологии см. ниже);

— вероятность гипотезы A при наступлении события B (апостериорная вероятность);

— вероятность наступления события B при истинности гипотезы A;

— полная вероятность наступления события B.

3. В безрыбное озеро запустили 5000 рыб, из них 500 окольцованных. На следующий день рыбак удочкой поймал 1 рыбу. Какова вероятность, что она окольцована? К вечеру того же дня рыбаки сетью поймали 100 рыб. Сколько примерно из них окольцованы?

А) P(поймать окольцованную рыбу) = 500/5000 = 0.1

Б) Предполагается, что рыбак, поймавший рыбу, не возвращает её в пруд. Осталось 499 окольцованных рыб из 4999 рыб всего. Примерно 10 рыб из пойманных в сеть окольцованы.

4.Бросают игральный кубик. Найдите условную вероятность выпадения нечетной цифры, при условии, что выпала цифра, большая 2.

Условие: выпало 3, 4, 5 или 6. Должна выпасть нечётная цифра, т.е. 3 или 5. Итого: вероятность равна 2/4 = 0, 5.

5.С.в. распределена биномиально с параметрами . Найти ряд распределения с.в. , вероятности событий и выяснить, зависимы ли первые два события.

P(x^2=0) = C^0_4 * p^0 * q^4 = 1/16

P(x^2=1) = C^1_4 * p^1 * q^3 =4*1/16 = 1/4

P(x^2=4) = C^2_4 * p^2 * q^2 = 3*2*1/6 = 6/16 = 3/8

P(x^2=9) = C^3_4 * p^3 * q^1 = 1/4

P(x^2=16) = C^4_4 * p^4 * q^0 = 1/16

 

P(X=2) = C^2_4 * p^2 * q^2 = 3*2*1/6 = 6/16 = 3/8

P(X> 0) = 1-1/16 = 15/16

P(Z=4) = P(X=2) = 3/8

Первые два события зависимы

1. Укажите расширенную формулу сложения вероятностей:

1в. ;

2.Опишите формулу умножения.

.

3.Дисперсии с.в. есть 3 и 5, а дисперсия их суммы равна 12. Могут ли эти с.в. быть независимыми? Отвечайте аргументированно.

12 = D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2*cov(X, Y) = 8 + 2*cov(X, Y) è cov(X, Y) = 2, что не равно 0 è события зависимы

4.Бросают игральный кубик. Найдите условную вероятность выпадения нечетной цифры, при условии, что выпала цифра, большая 4.

Условие: выпало 5 или 6. Должна выпасть нечётная цифра, т.е. 5. Значит, вероятность равна ½.

5. С.в. распределена по показательному закону с параметром . Найдите вероятности событий . Найдите также вероятности событий и выясните, зависимы ли эти события.

P(X< 1) = F(1) = 1-e^(-2*1) = 1-e^(-2)

P(0< X< 2) = F(2) = 1-e^(-4)

События зависимы

1.Укажите формулу Бернулли.

1в; ;

2.Опишите формулу полной вероятности и условия ее применимости.

Пусть дано вероятностное пространство , и полная группа попарно несовместных событий , таких что . Пусть — интересующее нас событие. Тогда

.

3.Вычислите .

А⁴_{6 =} 6! /(6-4)! = 3*4*5*6 = 360,

А^4_7 = 7! /3! = 4*5*6*7 =20*42 = 840,

C^5_9 = 9! /(5! *4! ) = 6*7*8*9/24 = 2*7*9 = 126,

C^7_8 = 8! /(7! *1! ) = 8,

P_1 = 1! = 1

P_6 = 6! = 1*2*3*4*5*6 = 720

4.С.в. имеет ряд распределения: . Найти вероятности событий и выяснить, зависимы ли эти события.

P(2< X< 6) = P(X=4) = 0, 2

P(1< X< 3) = P(X=2) = 0, 2

Эти события независимы

5.С.в. распределена по равномерному закону на отрезке [-5, 20]. Найти вероятности событий и выяснить, зависимы ли первые два события.

P(2< X< 6) = (17-4)/25 = 13/25

P(-1< X) = (17+1)/25 = 18/25

P(X< 15) = (15+5)/25 = 20/25 = 0.8

События зависимы

1.Укажите формулы математического ожидания и дисперсии д.с.в.

1а.

2.Дайте определение нормально распределенной с.в., каков смысл параметров распределения.

Нормальное распределение — распределение вероятностей, которое задается функцией плотности распределения:

где параметр μ — среднее значение (математическое ожидание) случайной величины и указывает координату максимума кривой плотности распределения, а σ ² — дисперсия.

3.С.в. равномерно распределена в круге радиусом 5 с центром в точке (0, 0). Чему равно , где -функция распределения упомянутой с.в..

Функция распределения: F(x) = x*y/(25*pi)

F(0, 0) = 0

F(0, 5) = F(5, 0) = 1/(5*pi)

F(5, 5) = 1/pi

4.Бросают сразу два игральных кубика. Найдите условную вероятность выпадения обеих четных цифр при условии, что выпали цифры, в сумме большие 10.

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: