Вещественные и комплексные числа.

Вещественные и комплексные числа.

Вещественное (действительное) число - любое положительное число, отрицательное число или нуль. Разделяются на рациональные и иррациональные. Первые представимы как в виде рациональной дроби, т. е. дроби p/q, где р и q — целые, q > 0, так и в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, а вторые — только в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Комплексные числа, числа вида a + ib, где a и b — действительные числа, а i —мнимая единица (число, квадрат которого равен -1); х называют действительной частью, а ib — мнимой частью.

 

Действия над комплексными числами.

Сравнение

a + bi = c + di означает, что a = c и b = d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).

Сложение

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.

Вычитание

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i.

Умножение

Деление

 

 

Формула Муавра.

Формула Муавра - формула, содержащая правило для возведения в степень n комплексного числа, представленного в тригонометрической форме

z = r (cos j + i sin j)

согласно формуле, модуль r комплексного числа возводится в эту степень, а аргумент j умножается на показатель степени

zⁿ = (|r| (cos j + i sin j))ⁿ = |r|ⁿ (cos nj + i sin nj)

Также, при извлечении корня n-той степени из комплексного числа z используется формула Муавра:

 

Свойства пределов последовательностей.

Оператор взятия предела числовой последовательности является линейным, т. е. проявляет два свойства линейных отображений.

Если предел функции в точке существует, то он единственный.

Предел постоянной величины есть постоянная величина.

Аддитивность: Предел суммы равен сумме пределов (если каждый из них существует)

Однородность: Константу можно выносить из-под знака предела:

Предел произведения равен произведению пределов (если существуют)

 

 

Предел отношения числовых последовательностей есть отношение их пределов, если эти пределы существуют, и последовательность-делитель не является бесконечно малой.

 

 

Пределы функций.

Пусть функция f (x) определена на некотором открытом интервале X, содержащем точку x = a. (При этом не требуется, чтобы значение f (a) было обязательно определено.)

Число L называется пределом функции f (x) при , если для каждого существует такое число , что

при условии

Данное определение предела известно как - определение или определение Коши.

Существует также определение предела функции по Гейне, согласно которому функция f (x) имеет предел L в точке x = a, если для каждой последовательности , сходящейся к точке a, последовательность сходится к L. Определения предела функции по Коши и Гейне эквивалентны.

 

Односторонние пределы

Символом обозначается левосторонний предел, в котором переменная x, приближаясь к a, принимает значения x < a. Соответствующий предел называется левосторонним пределом функции f (x) в точке x = a.

Аналогично, символом обозначается правосторонний предел, в котором переменная x, приближаясь кa, принимает значения x > a. Соответствующий предел называется правосторонним пределом функции f (x) в точке x = a.

Отметим, что двусторонний предел существуют лишь тогда, когда существуют оба односторонних предела, которые равны друг другу, то есть . В этом случае

 

Числовые ряды, сходимость числовых рядов.

Числовой ряд — это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).

Рассматриваются числовые ряды двух видов

• вещественные числовые ряды — изучаются в математическом анализе;

• комплексные числовые ряды — изучаются в комплексном анализе;

 

Важнейший вопрос исследования числовых рядов — это сходимость числовых рядов.

Числовые ряды применяются в качестве системы приближений к числам.

 

Признаки сходимости числовых рядов.

1) Сравнение положительных числовых рядов. Есть три ряда:

 

Если V сходящийся и U_n < V_n и U_n > = W_n, то U сходится.

 

Одновременно сходятся или расходятся

 

Если K < = < = M, то оба ряда сходятся (расходятся при обратном??? )

Признак д’Аламбера

Ряд

1. Сходится абсолютно, если

2. Расходится, если

3. Существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых

Признак Коши

Пусть задан ряд

1. Если α < 1, то ряд сходится абсолютно

2. Если α > 1, то ряд расходится

3. Существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых α = 1

 

Утверждение о сходимости в признаках Коши и Даламбера выводится из сравнения с геометрической прогрессией (со знаменателями

Признак Коши сильнее признака Даламбера в том смысле, что если признак Даламбера указывает на сходимость, то и признак Коши указывает на сходимость; если признак Коши не позволяет сделать вывода о сходимости, то и признак Даламбера тоже не позволяет сделать никаких выводов; существуют ряды, для которых признак Коши указывает на сходимость, а признак Даламбера не указывает на сходимость.

 

Правила дифференцирования.

(частный случай формулы Лейбница)

— Правило дифференцирования сложной функции

 

Формула Тейлора.

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Это изображает функцию f (x), имеющую n-ю производную f ⁽ⁿ⁾(a) в точке х = а, в виде суммы многочлена степени n, расположенного по степеням х—а, и остаточного члена R_n (x), являющегося в окрестности точки, а бесконечно малой более высокого порядка, чем (x—a) n.

 

Методы интегрирования

1) интегрирование по частям

Пример:

2) метод замены

И сразу пример:

 

Замена:

Тогда

 

Пример.

Найти сумму степенного ряда

1 - х + х² -... + (-1)ⁿ xⁿ +....

Это ряд, составленный из членов геометрической прогрессии, у которой b₁=1, q= -x. Следовательно, его сумма есть функция . Ряд сходится, если |x|< 1. Поэтому равенство

cправедливо лишь для значений х (-1; 1), хотя функция определена для всех значений х, кроме х= -1.

Можно доказать, что сумма степенного ряда S(x) непрерывна и дифференцируема на любом отрезке [a, b] внутри интервала сходимости.

Равенство (10.2), справедливое в интервале сходимости степенного ряда, называют разложением S(x) в степенной ряд.

Для степенных рядов справедливы следующие утверждения:

Теорема 1.

Степенной ряд в интервале его сходимости можно почленно дифференцировать неограниченное число раз, причем получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд, а суммы их соответственно равны S`(x), S``(x), ..., S⁽ⁿ⁾(x).

Теорема 2.

Степенной ряд можно неограниченное число раз почленно интегрировать в пределах от 0 до х, если х (-R; R), причем получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд, а суммы их соответственно равны .

 

Ряд Тейлора. Ряд Маклорена.

Ряд Тейлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

 

Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки a. Формальный ряд

называется рядом Тейлора функции f в точке a. В случае, если a = 0, этот ряд также называется рядом Маклорена.

 

Интеграл Римана.

Римана интеграл - обычный определённый интеграл

Это одно из важнейших понятий математического анализа. Введён Бернхардом Риманом в 1854 году, и является одной из первых формализаций понятия интеграла.

 

Свойства:

1) определенный интеграл – число

2) можно вынести константу

3) определенный интеграл суммы равен сумме интегралов в тех же приделах интегрирования

4)

5)

 

 

Пример:

6) Если функция четная:

7)

Пусть есть график f(x); a и b – две точки на нем, с – где-то посредине них. Тогда:

 

Правила интегрирования.

+ смотреть 14 вопрос.

Перестановки.

P_n – количество перестановок из n элементов (сколько способами можно упорядочить)

 

Отношения эквивалентности.

x1, x2 ∈ X

x1 ρ x2 – находятся в отношении

Отношение эквивалентности – это отношение, для которого выполняются 3 свойства:

1) Для любого х есть свойство быть в отношении самому с собой

x ∈ X

x ρ x

2) x ρ y à y ρ x (свойство симметричности)

3) x ρ y, y ρ x à x ρ z (свойство транзитивности)

 

 

Умножение матрицы на число

Умножение матрицы A на число λ (обозначение: λ A) заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен

Сложение матриц

Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен

Свойства сложения матриц

5.коммутативность (перестановочность – x + y = y+ x);

6.ассоциативность (x+y)+z = x+(y+z);

7.сложение с нулевой матрицей;

8.существование противоположной матрицы;

Все свойства линейных операций, повторяют аксиомы линейного пространства и поэтому справедлива теорема:

Множество всех матриц одинаковых размеров MxN образуют линейное пространство над полем P(полем всех действительных или комплексных чисел), поэтому каждая матрица является и вектором этого пространства.

 

Умножение матриц

Умножение матриц (обозначение: AB, реже со знаком умножения ) — есть операция вычисления матрицы C, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

Количество столбцов в матрице A должно совпадать с количеством строк в матрице B. Если матрица A имеет размерность , B — , то размерность их произведения AB = C есть .

Свойства умножения матриц

1.ассоциативность;

2.произведение не коммутативно;

3.произведение коммутативно в случае умножения с единичной матрицей;

4.справедливость дистрибутивного закона;

5.(Λ A)B = Λ (AB) = A(Λ B);

 

Комплексное сопряжение

Если элементами матрицы A = (a_ij) являются комплексные числа, то комплексно сопряжённая матрица равна . Здесь — число, комплексно сопряжённое к a.

Транспонирование

Транспонирование уже обсуждалось выше: если A = (a_ij), то A^T = (a_ji) (поменять строки и столбцы местами).

 

28. Элементарные преобразования матриц.

Это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.

Элементарными преобразованиями называют:

§ Умножить на один множитель отличный от нуля

§ Переставить строки и столбцы

§ Сложить строки и столбцы

Элементарные преобразования обратимы.

 

Определители матриц.

Определитель (детерминант) – сумма произведений элементов из каждой строки и каждого столбца. (сумма всевозможных произведений из каждой строки/столбца. Знак определяется количеством инверсий)

Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А| или Δ (A).

Для определителя 3-го порядка:

Примеры.

1. Найти матрицу, обратную данной .

|A| = 2. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы A.

 

Ранг матрицы над полем.

Количество линейно независимых строк матрицы называют строчным рангом матрицы, а количество линейно независимых столбцов матрицы называют столбцовым рангом матрицы. В действительности, оба ранга совпадают. Их общее значение и называется рангом матрицы.

Другой эквивалентный данному подход заключается в определении ранга матрицы, как максимального порядка отличного от нуля минора матрицы.

Из лекций: Ранг матрицы – кол-во ненулевых элементов на главной диагонали

 

Правило Крамера.

Для системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы Δ, отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).

xi=i

Система линейных уравнений:

Определители:

Решение:

 

Теорема Кронеккера-Капелли.

Теорема Кронекера — Капелли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

 

СЛУ имеет решение тогда и только тогда, когда rang(A) =

 

Кольца вычетов.

Два целых числа a и b сравнимы по модулю натурального числа n, если при делении на n они дают одинаковые остатки. Число n называется модулем сравнения.

Эквивалентные формулировки: a и b сравнимы по модулю n, если их разность a-b делится на n без остатка, или если a может быть представлено в виде a = b + kn, где k — некоторое целое число.

Утверждение «a и b сравнимы по модулю n» записывается в виде:

Отношение сравнимости по модулю натурального числа обладает следующими свойствами:

§ рефлексивности: для любого целого справедливо

§ симметричности: если то

§ транзитивности: если и то

В силу того, что отношение сравнимости по модулю обладает этими тремя свойствами, оно является отношением эквивалентности на множестве целых чисел.

Любые два целых числа сравнимы по модулю 1.

- (и вычитать, и умножать тоже)

- ; d – общий делитель чисел a, b, m

- ; a, b делятся на d, (d, m)=1

 

 

Системы вычетов.

– классы вычетов, а элементы – вычетами по модулю m.

Числа из одного класса сравнимы по модулю m, из разных – не сравнимы.

Каждый класс задается одним своим представителем.

0, 1, ……, m – 1 - полная система вычетов по модулю m (полная система наименьших неотрицательных вычетов)

Если в классе вычетов по модулю m есть одно число, взаимно простое с m, то в нем все числа взаимно просты с m.

Класс вычетов по модулю m, состоящий из чисел, взаимно простых с m, называется классом, взаимно простым с модулем m.

Совокупность классов, взятых по одному из всех классов, взаимно простых с модулем m, называется приведенной системой вычетов по модулю m. (для 8 – представители соответствующих классов 1, 3, 5, 7 образуют приведенную систему вычетов по модулю 8)

Число чисел в приведенной системе вычетов по модулю m (число классов, взаимно простых с m) определяют функцией Эйлера.

φ (2) = 1, φ (3) = 2, φ (4) = 2, φ (5) = 4, φ (6) = 2

φ (p) = p – 1, p – простое число

φ (p^k) = p^k – p^k-1

φ (mn) = φ (m) φ (n)

Если число m имеет каноническое разложение (представимо в виде произведения взаимно простых с ним чисел):

то:

Если a₁, a₂, …, a_{φ (m)} есть приведенная система вычетов по модулю m и число m взаимно просто с a, то набор чисел aa₁, aa₂, …, aa_{φ (m)} также является приведенной системой вычетов по модулю m.

 

Теорема Эйлера. Если a и m взаимно просты, то:

a^{φ (m)}≡ 1 (mod m)

Если m = p – простое число, то φ (p) = p – 1

a^p-1≡ 1 (mod m)

 

Кольцо многочленов.

 

a_nxⁿ +a_n-1x^n-1 + … + a₁x + a₀ – типа многочлен от х над кольцом R. Обозначается как a(x). Множество всех многочленов от x над кольцом R обозначается через R[x]

многочлены вида a_ixⁱ_, i = 0, 1, …, n – члены многочлена, a₀, a₁, … a_n – коэффициенты, a₀ – свободный член. Если a_n ≠ 0, а все коэффициенты с большими индексами равны нулю, то n – степень многочлена, а а_n – старший коэффициент.

Если ненулевым является только свободный член, то, как следует из определения, степень соответствующего многочлена равна нулю. Если нулевыми является все коэффициенты и свободный член, то соответствующий многочлен a(x) называется нулевым и записывается как а(х) = 0. Степень нулевого многочлена равна -∞.

Степень многочлена а(х) обозначается как deg a(x) (degree). многочлен со старшим коэффициентом. равным единице, называется унитарным или каноническим.

На множестве R[x] могут быть определены операции сложения и умножения.

a(x) =a_nxⁿ +a_n-1x^n-1 + … + a₁x + a₀

b(x) = b_mx^m +b_m-1x^m-1 + … + b₁x + b₀

c(x) = c_nxⁿ +c_n-1x^n-1 + … + c₁x + c₀, c_i = a_i + b_i, n = max(n, m)

 

a(x) =a_nxⁿ +a_n-1x^n-1 + … + a₁x + a₀

b(x) = b_mx^m +b_m-1x^m-1 + … + b₁x + b₀

d(x) = d_kx^k +d_k-1x^k-1 + … + d₁x + d₀

 

 

Эти операции – внутренние бинарные на множестве R[x], т.к. с(х) и d(x) принадлежат R[x]. Операция сложения ассоциативна и коммутативна. Нулевым элементов в R[x] является многочлен 0. Противоположным к

a(x) =a_nxⁿ +a_n-1x^n-1 + … + a₁x + a₀

является

-a(x) = -a_nxⁿ -a_n-1x^n-1 - … - a₁x - a₀

Нейтральный по умножению – 1.

 

Приводимые многочлены – разлагаются в произведение многочленов двух меньших степеней

Не приводимые – не разлагаются.

 

Теорема Безу.

Значение многочлена f(x) над полем P при х=а равно остатку от деления многочлена f(x) на многочлен x-a.

 

 

Координаты вектора в базисе

Рассмотрим базис пространства L над P.

для любого a из L найдутся такие a₁, a₂, …, a_n, что а = u₁a₁ + …+u_na_n, причем такое представление единственно.

- столбец координат вектора а в базисе .

 

Теперь равенство а = u₁a₁ + …+u_na_n может быть записано в матричной форме:

А можно взять еще один базис

Короче нафиг теорию, она все выходит сама, если понимаешь, как решать: D

 

V₁ V₂ V₃

((1, 2, 3), (0, 2, 3), (0, 1, 3)) = (1, 0, 0), (0, 1, 0)(0, 0, 1) * ((1, 0, 0), (2, 2, 1), (3, 3, 3))

 

e₁ = 1*(1, 2, 3)+-1*(0, 2, 3)+0*(0, 1, 3) = (1, 2, 3)+(0, -2, -3)+(0, 0, 0) = (1, 0, 0)

e₂ = V₂ – V₃ = (0, 2, 3)-(0, 1, 3) = (0, 1, 0)

e₃ = 0*V₁+(-1/3)*V₂+(2/3)*V₃ = (0, 0, 0), (0, -2/3, -1)(0, 2/3, 2) = (0, 0, 1)

 

((1, 0, 0), (0, 1, 0)(0, 0, 1)) = (1, 2, 3), (0, 2, 3), (0, 1, 3)* ((1, -1, 0), (-1, 1, -1), (0, -1/3, 2/3))

 

Прямая линия на плоскости.

Получим канонические уравнение прямой линии, однозначно определяемой лежащими на ней вектором v = (a, b, c) и точкой T₀(x₀, y₀, z₀). Для любой точки пространства T(x, y, z) вектор T₀T принадлежит прямой, которой принадлежит вектор v. Отсюда следует, что существует такое действительное число r, для которого T₀T = r⋅ v: (x-x₀, y-y₀, z-z₀) = r(a, b, c) или x-x₀ = r⋅ a, y-y₀ = r⋅ b, z-z₀ = r⋅ c.

Отсюда, в случае, когда прямая не || ни одной из плоскостей (т.е. a≠ 0, b≠ 0, c≠ 0) следует канонические уравнение прямой линии:

 

Прямая на плоскости.

- уравнение прямой с угловым коэффициентом k

- уравнение прямой, проходящей через одну точку

- уравнение прямой, проходящей через 2 точки

- общее уравнение прямой

- уравнение прямой в отрезках

- угловой коэффициент

- условие параллельности

- условие перпендикулярности

- угол между прямыми

- расстояние от точки до прямой

 

Прямая в пространстве.

- общее уравнение прямой

- каноническое уравнение прямой

- параметрическое уравнение прямой

- условие параллельности прямых

- условие перпендикулярности прямых

- угол между прямыми

 

Плоскость

Пусть в пространстве задана плоскость p. Чтобы записать ее уравнение, надо ввести декартову систему координат OXYZ, и ортонормированный правый базис (i, j, k).

Положение плоскости в пространстве изначально определяется точкой T₀, принадлежащей этой плоскости и любым ненулевым вектором n, перпендикулярным к p. Пусть координаты точки T₀ (x₀, y₀, z₀), а координаты вектора n в базисе (i, j, k) равны A, B, C:

T₀ = T₀(x₀, y₀, z₀), n = (A, B, C)

Пусть T(x, y, z) – любая точка пространства, принадлежащая p. Тогда вектор T₀T, соединяющий точка T₀ и T очевидно лежит в плоскости p. А т.к. вектор n перпендикулярен p, то он перпендикулярен и T₀T, координаты которого в базисе (i, j, k) имеют вид (x-x₀, y-y₀, z-z₀). Отсюда в силу критерия ортогональности векторов следует, что скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю, что можно записать в виду следующего выражения:

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀) = 0

Раскрыв скобки это выражение можно записать как

Ax + By + Cz + D = 0, где D = -Ax₀ – By₀ – Cz₀

Это уравнение называется общим уравнением плоскости p.

 

Пусть p – плоскость и на ней лежат три точки T₁(x₁, y₁, z₁) T₂(x₂, y₂, z₂) T₃(x₃, y₃, z₃). Произвольная точка T(x, y, z) лежит на плоскости тогда и только тогда, когда все вектора T₁T, T₂T, T₃T лежат в плоскости p.

Т. о. можно получить следующее соотношение:

которое является однородной СЛУ. Т.к. она имеет ненулевое решение, то ее определитель равен нулю. И называется эта штука уравнением плоскости, проходящей через три точки.

А если плоскость p пересекает OX в (a, 0, 0), OY (0, b, 0), OZ (0, 0, c), то вычислив определитель матрицы

= 0

Который будет равен bcx + acy +abz – abc = 0. Преобразовав его можно получить уравнение плоскости в отрезках:

Вот, а еще есть нормальное уравнение плоскости.

Введем несущественное допущение, которое в дальнейшем можно быть снято. Пусть заданная плоскость p не проходит через начало координат. Тогда она определяется вектором ON, который ⊥ p и проведен из точки O в точки N на плоскости.

Очевидно, что точка M (x, y, z) будет лежать в плоскости только тогда, когда вектор ON ⊥ NM, т.е. их скалярное произведение ON⋅ NM = 0. А т.к. NM – OM – ON, то уравнение плоскости p может быть записано так:

ON⋅ (OM-ON) = 0 или ON⋅ OM = ON⋅ ON.

Если длина вектора ON = d, и α, β, γ – углы вектора ON, тогда в базисе (i, j, k) вектора ON и OM могут быть записаны в виде:

ON = (d⋅ cos α, d⋅ cos β, d⋅ cos γ ) OM = (x, y, z)

Тогда соотношение ON ⋅ OM = ON ⋅ ON может быть записано так:

x⋅ d⋅ cos α +y⋅ d⋅ cos β + z⋅ d⋅ cos γ = d²

А теперь если всю эту хрень поделить на d, можно получить искомое нормальное уравнение плоскости:

x ⋅ cos α +y⋅ cos β + z⋅ cos γ = d

Вещественные и комплексные числа.

Вещественное (действительное) число - любое положительное число, отрицательное число или нуль. Разделяются на рациональные и иррациональные. Первые представимы как в виде рациональной дроби, т. е. дроби p/q, где р и q — целые, q > 0, так и в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, а вторые — только в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Комплексные числа, числа вида a + ib, где a и b — действительные числа, а i —мнимая единица (число, квадрат которого равен -1); х называют действительной частью, а ib — мнимой частью.

 

123456789Следующая ⇒

Поделиться: