Свойства определителей матриц.

1. Если квадратная матрица A^T является транспонированной матрицей A, то их определители совпадают |A^T | = |A|, т.е. определитель не меняется, если заменить его строки столбцами и обратно, например, для определителя третьего порядка .

2. При перестановке 2-х строк или столбцов определитель изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину, т.е., например,

3. Если определитель имеет две одинаковые строки или столбца, то он равен нулю. Например, .

Если переставить здесь 2-ю и 3-ю строки, то по свойству 2 этот определитель должен изменить знак, но сам определитель в данном случае не меняется, т.е. получаем |A| = –|A| или |A| = 0.

4. Общий множитель строки или столбца можно выносить за знак определителя. Например, .

5. Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя равны нулю, то сам определитель равен нулю.

6. Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя представлены в виде суммы 2-х слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы 2-х определителей по формуле, например,

.

7. Если к какой–либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и тоже число, то определитель не изменит своей величины. Например,

.

 

Миноры и алгебраические дополнения.

Минором называется определитель квадратной матрицы, получаемый из исходной матрицы путем вычеркивания некоторых строк и столбцов

Пусть имеем определитель третьего порядка: .

Минором, соответствующим данному элементу a_ij определителя третьего порядка, называется определитель второго порядка, полученный из данного вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент, т.е. i-ой строки и j-го столбца. Миноры соответствующие данному элементу a_ij будем обозначать M_ij.

Например, минором M₁₂, соответствующим элементу a₁₂, будет определитель , который получается вычёркиванием из данного определителя 1-ой строки и 2-го столбца.

Таким образом, формула, определяющая определитель третьего порядка, показывает, что этот определитель равен сумме произведений элементов 1-ой строки на соответствующие им миноры; при этом минор, соответствующий элементу a₁₂, берётся со знаком “–”, т.е. можно записать, что

.

(1)

 

Аналогично можно ввести определения миноров для определителей второго порядка и высших порядков.

Алгебраическим дополнением называется полученный минором определитель, взятый со знаком - который определяется номерами вычеркиваемыми строками и столбцами

Алгебраическим дополнениемэлемента a_ij определителя называется его минор M_ij, умноженный на (–1)^i+j.

Алгебраическое дополнение элемента a_ij обозначается A_ij.

Из определения получаем, что связь между алгебраическим дополнением элемента и его минором выражается равенством A_ij = (–1)^i+jM_ij.

Например,

Теорема (о разложении определителя по заданной строке или столбцу). Определитель равен сумме произведений элементов какой–либо его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

 

Обратимые матрицы и способ их нахождения.

Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц.

Если A – квадратная матрица, то обратной для неё матрицей называется матрица, обозначаемая A^-1 и удовлетворяющая условию (единичная матрица). (Это определение вводится по аналогии с умножением чисел)

Обра́ тная ма́ трица — такая матрица A^{− 1}, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует.

Итак, чтобы найти обратную матрицу нужно:

1. Найти определитель матрицы A.

2. Найти алгебраические дополнения A_ij всех элементов матрицы A и составить матрицу , элементами которой являются числа A_ij.

3. Найти матрицу, транспонированную полученной матрице , и умножить её на – это и будет .

Аналогично для матриц второго порядка, обратной будет следующая матрица .

Примеры.

1. Найти матрицу, обратную данной .

|A| = 2. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы A.

 

Ранг матрицы над полем.

Количество линейно независимых строк матрицы называют строчным рангом матрицы, а количество линейно независимых столбцов матрицы называют столбцовым рангом матрицы. В действительности, оба ранга совпадают. Их общее значение и называется рангом матрицы.

Другой эквивалентный данному подход заключается в определении ранга матрицы, как максимального порядка отличного от нуля минора матрицы.

Из лекций: Ранг матрицы – кол-во ненулевых элементов на главной диагонали

 

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться: