Разложение группы в смежные классы.

 

Правым смежным классов классом группы G по ее подгруппе H называется любое ее подмножества (для любого фиксированного g из G) вида: Hg = {hg: h∈ H}

Левым смежным классом группы G по ее подгруппе H называется любое ее подмножества (для любого фиксированного g из G) вида: gH = {gh: h∈ H}

 

Для элемента , левый смежный класс по подгруппе — множество , правый смежный класс по подгруппе — .

 

Группа G представляется в виде объединения попарно непересекающихся правых (левых) смежным классом по подгруппе H.

Например

H₃ = Z*3 – множество чисел, кратных трем (группа)

H₃ + 0 = [0]₃

H₃ + 1 = [1]₃

H₃ + 2 = [2]₃

 

 

Группа подстановок. Независимые циклы цикловой структуры.

Подстановкой множества Ω ={1, 2, 3, …, n} называется взаимно однозначное отображение этого множества на себя. Записывается в виде:

Неважно, в каком порядке записаны элементы, главное, чтобы элементу k соответствовал элемент i_k.

Количество перестановок всего – n!.

Когда берем функцию от функции – суперпозиция функции (ну пусть тут будет)

Единичная подстановка -

Обратная подстановка – ну строчки просто поменять местами и все.

 

Цикловую запись подстановки можно представить как произведение двух независимых циклов: (1, 3, 5, 7)(2, 4, 6)

Мобильный элемент – тот который переходит в другой.

Полная запись – с учетом всех элементов, сокращенная – только мобильные.

 

Разложение подстановки в произведение транспозиций.

(да, я знаю, это 53 вопрос, но ему лучше быть тут, поверьте)

Циклы длины 2 называются транспозицией.

А их еще можно возводить в квадрат, ну умножить на самих себя:

Симметрическая и знакопеременная группы.

Группу S_n всех подстановок множества Ω ={1, 2, 3, …, n} называют симметрической группой подстановок степени n.

 

Знакопеременная группа – группа четных подстановок.

Последовательность чисел (i₁, i₂, …, i_n) называется перестановкой чисел {1, 2, 3, …, n} длины n. Пара (i_k, i_m) образует инверсию, если i_k > i_m при k< m. Исходная подстановка g называется четной, если число инверсий четно, и нечетной, если число инверсий нечетно.

Чтобы подстановка была четной, надо чтобы она представлялась в виде четного числа транспозиций. Чтобы она была нечетной – нечетного. Пример:

Количество транспозиций нечетно, подстановка нечетная.

Матрицы. Операции над матрицами.

Матрица – прямоугольная таблица каких-либо элементов (числа, векторы, …)

Умножение матрицы на число

Умножение матрицы A на число λ (обозначение: λ A) заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен

Свойства умножения матриц на число

1. 1*A = A;

2. (Λ β )A = Λ (β A)

3. (Λ +β )A = Λ A + β A

4. Λ (A+B) = Λ A + Λ B

Сложение матриц

Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен

Свойства сложения матриц

5.коммутативность (перестановочность – x + y = y+ x);

6.ассоциативность (x+y)+z = x+(y+z);

7.сложение с нулевой матрицей;

8.существование противоположной матрицы;

Все свойства линейных операций, повторяют аксиомы линейного пространства и поэтому справедлива теорема:

Множество всех матриц одинаковых размеров MxN образуют линейное пространство над полем P(полем всех действительных или комплексных чисел), поэтому каждая матрица является и вектором этого пространства.

 

Умножение матриц

Умножение матриц (обозначение: AB, реже со знаком умножения ) — есть операция вычисления матрицы C, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

Количество столбцов в матрице A должно совпадать с количеством строк в матрице B. Если матрица A имеет размерность , B — , то размерность их произведения AB = C есть .

Свойства умножения матриц

1.ассоциативность;

2.произведение не коммутативно;

3.произведение коммутативно в случае умножения с единичной матрицей;

4.справедливость дистрибутивного закона;

5.(Λ A)B = Λ (AB) = A(Λ B);

 

Комплексное сопряжение

Если элементами матрицы A = (a_ij) являются комплексные числа, то комплексно сопряжённая матрица равна . Здесь — число, комплексно сопряжённое к a.

Транспонирование

Транспонирование уже обсуждалось выше: если A = (a_ij), то A^T = (a_ji) (поменять строки и столбцы местами).

 

28. Элементарные преобразования матриц.

Это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.

Элементарными преобразованиями называют:

§ Умножить на один множитель отличный от нуля

§ Переставить строки и столбцы

§ Сложить строки и столбцы

Элементарные преобразования обратимы.

 

Определители матриц.

Определитель (детерминант) – сумма произведений элементов из каждой строки и каждого столбца. (сумма всевозможных произведений из каждой строки/столбца. Знак определяется количеством инверсий)

Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А| или Δ (A).

Для определителя 3-го порядка:

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться: