Последовательности и их пределы.

Числовую функцию f(n) = a_n, заданную на множестве натуральных чисел называют числовой последовательностью. Говорят, что последовательность задана, если каждому натуральному числу n по некоторому закону f поставлено в соответствие число f(n). Часто закон, по которому задается последовательность, позволяет построить очередной член последовательности по известным предыдущим. Такой способ задания называется рекуррентным (арифметическая / геометрическая прогрессия)

- числовые последовательности могут быть ограничены либо сверху, либо снизу, либо и сверху и снизу.

Рассмотрим далее три последовательности:

1, 0, -1, -2, -3, ......, -п,......;

2, 4, 6, ......2n, …...;

1, 2^-1, 2^-2, 2^-3, ……., 2^-n …,

При увеличении числа n члены первой последовательности неограниченно убывают, члены второй — неограниченно возрастают, а члены третьей последовательности убывают, начиная с числа 1 до числа 0. Таким образом,

Формально последовательность называется ограниченной сверху, если существует число М (верхняя граница), такое, что, a_n< M для всех n. Первая из приведенных выше последовательностей ограничена сверху, например, числом 2. Поскольку для всех n кроме того выполняется условие а_n < а_n-1, то это убывающая последовательность.

Последовательность {а_n} называется ограниченной снизу, если существует такое число m (нижняя граница), что a_n > m для всех n. Если для всех членов последовательности выполняется условие а_n > а_n-1, то она называется возрастающей. Вторая из приведенных выше последовательностей является ограниченной снизу возрастающей последовательностью.

Последовательность {а_n} называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу. Очевидно, что третья последовательность является ограниченной убывающей последовательностью.

Последовательность {х_n} называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А (сколь бы большим его ни взяли) существует номер N, такой, что для всех членов последовательности с номерами n > N выполняется неравенство |х_n| > А.

Последовательность {а_n} называется бесконечно малой, если для любого положительного числа ε > 0 (сколь бы малым его ни взяли) существует номер N, такой, что для всех членов последовательности с номерами n > N выполняется неравенство |а_n| < ε.

Рассмотрим последовательность Члены этой последовательности по мере возрастания номера члена приближаются к числу 1. Говорят, что эта последовательность сходится к числу 1.

Формально сходимость последовательности определяется следующим образом. Последовательность {а_n} сходится к числу А, если для любого сколь угодно малого числа ε > 0 можно указать такое натуральное число n₀(ε ), что для всех n больше n₀, то есть для n > n₀, выполняется неравенство |а_n — А| < ε.

Проиллюстрируем это определение на приведенном выше примере. Построим отклонение общего члена последовательности от 1.

С возрастанием n это отклонение, уменьшаясь, стремится к нулю. Пусть ε = 3/500. Вычислим отклонение для а₁₆₆:

.

Тем самым установлено, что начиная с n = 166 (n₀ = 165) выполняется неравенство |а_n — 1| < 3/500.

Каждому члену числовой последовательности (поскольку это число) соответствует точка на числовой оси. Если последовательность имеет пределом точку А, то для всех номеров последовательности, начиная с некоторого n₀ члены последовательности находятся внутри отрезка (А - ε, А + ε ), называемого ε -окрестностью числа А.

Если ε очень мало, то число n₀ может быть весьма большим. Следовательно, много членов последовательности окажутся вне

ε -окрестности, однако их всегда будет лишь конечное число. Все остальные члены последовательности, начиная с номера n₀ и более, попадают в ε -окрестность. Таким образом, если последовательность сходится к А, то какую бы окрестность точки А ни взять, почти все числа а_n попадают в выбранную окрестность.

Отсюда следует, что добавление или исключение конечного числа членов такой последовательности не влияет на ее сходимость. Если последовательность {а_n} сходится к А, то пишут: (читается: «предел а_n при n стремящемся к бесконечности равен А»). В этом случае говорят, что число А есть предел последовательности {а_n} или иначе, при неограниченном увеличении номера общий член последовательности стремится к величине А.

Если последовательность не имеет конечного предела или не имеет предела вообще, то ее называют расходящейся. Так, последовательность -1, 1, -1, 1, ... (-1)ⁿ, ... расходится, так как в этом случае не существует.

Bторая из трех, ранее приведенных последовательность тоже является расходящейся, так как по мере возрастания n члены последовательности становятся больше любого наперед заданного числа, то есть а_n стремится к бесконечности. В этом случае пишут: . Заметим, что, хотя здесь предел формально и существует, он не является конечным числом.

Пусть {х_n} сходится и имеет своим пределом число а. Тогда последовательность {а_n} = {х_n - а} будет бесконечно малой, так как для любого ε > 0 существует номер N, такой, что при n > N выполняется неравенство |а_n| = |x_n - a| < ε. Следовательно, любой элемент x_n сходящейся к числу а последовательности можно представить в виде х_n = а + а_n, где а_n — элемент бесконечно малой последовательности {а_n}.

Справедливо и обратное: если х_n можно представить в виде х_n = а + а_n, где {а_n} — бесконечно малая последовательность, то .

Легко показать, что если {х_n} — бесконечно малая последовательность, то .

Например, последовательность {х_n} = {1/n} бесконечно малая, так как .

Если последовательность {х_n} бесконечно большая, то предел ее равен бесконечности, и в этом случае пишут: или х_n → ∞ при n → ∞, причем если, начиная с некоторого номера n, последовательность {х_n} сохраняет определенный знак, то говорят, что {х_n} имеет предел, равный + ∞ или - ∞. Например, последовательности {х_n} = {n} и {х_n} = {-n} бесконечно большие: , .

 

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться: