Непрерывные функции и их основные свойства.

Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если она определена в этой точке и некоторой ее окрестности, а также:

Точки, в которых это равенство не выполняется, называются точками разрыва функции.

Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х₀, то функции cf(x) (с — постоянная), f(x) ± g{x), f(x)g(x), f(x)/g(x) (если g(х0) ≠ 0) также непрерывны в точке х₀.

Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [а, b], если она непрерывна в каждой точке этого отрезка (в точке а непрерывна справа, в точке b непрерывна слева).

Если функция f(x) определена на множестве X и существует такое х₀ принадлежащее X, что для всех х из X выполняется условие f(x) ≤ f(х₀) (f(x)≥ f(х₀)), то число f(х₀) называется наибольшим (наименьшим) значением функции f(x) на множестве X.

Непрерывные на отрезке функции обладаю рядом важных свойств, которые выражаются следующими теоремами, приводимыми здесь без доказательства.

Первая теорема Вейерштрасса. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то она ограничена на этом отрезке.

Теорема становится неверной, если в ней отрезок [а, b] заменить интервалом (а, b) или полуинтервалом [а, b) либо (а, b]. Рассмотрим, например, функцию f(x) = 1/x на интервале (0, 1) (или на полуинтервале (0, 1]). Эта функция непрерывна на указанном интервале (или полуинтервале), но не является на нем ограниченной, так как

lim 1/x = + ∞ при x → 0.

Вторая теорема Вейерштрасса. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то она достигает на этом отрезке своего наименьшего значения m и наибольшего значения М, т. е. существуют точки х1, x2 из отрезка [a, b] такие, что f(x1) = m,

f(x2) = M.

Заметим, что точки х1, х2, в которых достигаются наименьшее и наибольшее значения функции f(х) на отрезке [а, b], не обязательно должны быть единственными.

Эта теорема имеет простой геометрический смысл. Она утверждает, что значения непрерывной на отрезке [а, b] функции заключены между ее наименьшим и наибольшим значениями, т. е. m ≤ f (x) ≤ M.

Если функция f(x) непрерывна на интервале (а, b), то она может не достигать наименьшего и наибольшего значений на нем. Например, функция f(x) = x2 на интервале (0, 1) не достигает значений m = 0 и М = 1, так как эти значения функция принимает в точках x1 = 0 и x2 = 1, а эти точки данному интервалу не принадлежат.

Теорема Больцано - Коши о промежуточном значении.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b] и f(a) = A,

f(b) = B (A ≠ B), то каково бы ни было число С, заключенное между А и В, найдется точка с принадлежащая [а, b], такая, что f(c)=C.

Следствие. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [а, b] и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке существует хотя бы одна точка х0, в которой функция обращается в нуль, т. е. f(х0) = 0.

 

Производная функции. Дифференцируемые функции.

Значение функции в каждой допустимой фиксированной точке есть число. Изменяя значения аргумента, получим в общем случае различные значения функции. Как сильно изменится значение функции при данном изменении аргумента? Поиск ответа на этот вопрос приводит к понятию производной.

Пусть задана некоторая функция у = f(x). Выберем произвольное допустимое значение аргумента х и вычислим f(x). Затем, не выходя из области определения, изменим х на малую величину ∆ х. Вычислим f(x+∆ х) и образуем отношение

Если существует конечный предел отношения, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке х, а значение предела называется производной от функции f(x) в точке х.

Значение производной зависит от выбранного значения точки х. Следовательно, производная — это функция от того же аргумента, что и f(x). Операция вычисления производной называется дифференцированием функции.

Рассмотрим геометрический смысл производной. Если изобразить на рисунке график функции f(x), то величина отношения равна тангенсу угла наклона секущей графика к его оси абсцисс.

 

Если ∆ х→ 0, то точка N стремится к точке М и секущая MN стремится занять положение касательной к графику f(x) в точке М. Следовательно, значение производной f'(x) в любой точке х области определения функции равно тангенсу угла наклона этой касательной в точке с координатами х и f(x).

Для практического применения математического анализа важен еще и механический смысл производной. Если пройденный путь есть известная функция времени s = f(t), то ее производная f'(t) равна скорости движения в каждый момент времени t. В общем случае производная описывает скорость изменения функции при изменении аргумента независимо от физического смысла величины, описываемой этой функцией.

Нахождение производных — одна из наиболее распространенных операций математического анализа, называемая дифференцированием. Для того, чтобы уметь вычислять любые производные, необходимо помнить производные основных элементарных функций и знать правила дифференцирования. В приведенной таблице представлены основные элементарные функции и их производные.

Отметим, что функция f(x) = е^х (эта функция называется экспонентой) — единственная в математике функция, которая не изменяется при дифференцировании.

Основные правила дифференцирования.

1. Производная линейной комбинации функций:

2. Производная произведения функций:

3. Производная частного двух функций:

4. Дифференцирование сложной функции.

 

 

Таблица производных основных элементарных функций

Функция f(x)	Производная f'(x)	Функция f(x)	Производная f'(x)
с (const)		lnx	1 / x
xa	aхa-1	logax	1 / x * ln a
		ax	ax ln a
		ex	ex
cosx	-sin х	arctg x	1 / 1+x2
sinx	cosx	arcsin x	1 / sqrt(1-x2)
tg(x)	1 / cos2x	ctg(x)	- 1 / sin2x

 

Правила дифференцирования.

(частный случай формулы Лейбница)

— Правило дифференцирования сложной функции

 

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться: