Производные высших порядков.

Производная f'(x) является функцией того же аргумента х, что и исходная функция. Поэтому ее можно опять дифференцировать, т. е. вычислять предел, подобным образом можно ввести производные n-го порядка

f⁽ⁿ⁾(x) = (f^(n-1)(x))'

 

Формула Тейлора.

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Это изображает функцию f (x), имеющую n-ю производную f ⁽ⁿ⁾(a) в точке х = а, в виде суммы многочлена степени n, расположенного по степеням х—а, и остаточного члена R_n (x), являющегося в окрестности точки, а бесконечно малой более высокого порядка, чем (x—a) n.

 

Первообразные и неопределенные интегралы.

Первообразная функция – функция, производная от которой равна данной функции.

Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.

Так, например, функция ^+C является первообразной .

Неопределённый интеграл - общее выражение первообразной для подынтегральной функции f(x).

Обозначается . Например,

 

Основные свойства неопределенных интегралов

а) константу можно вынести за интеграл:

б) интеграл суммы равен сумме интегралов:

 

Методы интегрирования

1) интегрирование по частям

Пример:

2) метод замены

И сразу пример:

 

Замена:

Тогда

 

Степенные ряды и их свойства.

Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом:

Часто рассматривается также ряд, расположенный по степеням (x − x₀), то есть ряд вида

где x₀ − действительное число.

Интервал и радиус сходимости

Рассмотрим функцию . Ее областью определения является множество тех значений x, при которых ряд сходится. Область определения такой функции называется интервалом сходимости.

Если интервал сходимости представляется в виде , где R > 0, то величина R называется радиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно.

Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле

или на основе признака Даламбера:

Типа свойства:

Рассмотрим степенной ряд

с₀ + с₁ х + с₂ х² +... + с_{n x}ⁿ +..., (10.1)

имеющий радиус сходимости R> 0 (R может равняться ). Тогда каждому значению х из интервала сходимости соответствует некоторая сумма ряда. Следовательно, сумма степенного ряда есть функция от х на интервале сходимости. Обозначим ее через S(x). Тогда можно записать равенство

S(x) = c₀ + c₁ x + c₂ x² +... + c_n xⁿ +..., (10.2)

понимая его в том смысле, что сумма ряда в каждой точке х из интервала сходимости равна значению функции S(x) в этой точке. В этом же смысле будем говорить, что ряд (10.1) сходится к функции S(x) на интервале сходимости. Вне интервала сходимости равенство (10.2) не имеет смысла.

Пример.

Найти сумму степенного ряда

1 - х + х² -... + (-1)ⁿ xⁿ +....

Это ряд, составленный из членов геометрической прогрессии, у которой b₁=1, q= -x. Следовательно, его сумма есть функция . Ряд сходится, если |x|< 1. Поэтому равенство

cправедливо лишь для значений х (-1; 1), хотя функция определена для всех значений х, кроме х= -1.

Можно доказать, что сумма степенного ряда S(x) непрерывна и дифференцируема на любом отрезке [a, b] внутри интервала сходимости.

Равенство (10.2), справедливое в интервале сходимости степенного ряда, называют разложением S(x) в степенной ряд.

Для степенных рядов справедливы следующие утверждения:

Теорема 1.

Степенной ряд в интервале его сходимости можно почленно дифференцировать неограниченное число раз, причем получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд, а суммы их соответственно равны S`(x), S``(x), ..., S⁽ⁿ⁾(x).

Теорема 2.

Степенной ряд можно неограниченное число раз почленно интегрировать в пределах от 0 до х, если х (-R; R), причем получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд, а суммы их соответственно равны .

 

Ряд Тейлора. Ряд Маклорена.

Ряд Тейлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

 

Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки a. Формальный ряд

называется рядом Тейлора функции f в точке a. В случае, если a = 0, этот ряд также называется рядом Маклорена.

 

Интеграл Римана.

Римана интеграл - обычный определённый интеграл

Это одно из важнейших понятий математического анализа. Введён Бернхардом Риманом в 1854 году, и является одной из первых формализаций понятия интеграла.

 

Свойства:

1) определенный интеграл – число

2) можно вынести константу

3) определенный интеграл суммы равен сумме интегралов в тех же приделах интегрирования

4)

5)

 

 

Пример:

6) Если функция четная:

7)

Пусть есть график f(x); a и b – две точки на нем, с – где-то посредине них. Тогда:

 

Правила интегрирования.

+ смотреть 14 вопрос.

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться: