Тема: Законы сохранения в механике

№1

Шар массы m₁, движущийся со скоростью , налетает на покоящийся шар массы m₂ (рис. 1).

Могут ли после соударения скорости шаров, и , иметь направления, показанные на рис. 2 (а и б)?

 

 

могут в случае б

могут в случае а

могут в обоих случаях

не могут ни в одном из указанных случаев

 

№2

Диск и обруч, имеющие одинаковые массы и радиусы, вкатываются без проскальзывания с одинаковыми скоростями на горку. Если трением и сопротивлением воздуха можно пренебречь, то отношение высот ,, на которые смогут подняться эти тела, равно …

3/4

7/10

14/15

Решение:

В рассматриваемой системе «тело – Земля» действуют только консервативные силы, поэтому в ней выполняется закон сохранения механической энергии, согласно которому, или, где J – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, – угловая скорость вращения вокруг этой оси, h – высота, на которую сможет подняться тело. Отсюда с учетом того, что, получаем: . Моменты инерции диска (сплошного цилиндра) и обруча (полого цилиндра) равны соответственно и. Тогда искомое отношение высот.

№3 График зависимости кинетической энергии тела, брошенного с поверхности земли под некоторым углом к горизонту, от высоты подъема имеет вид, показанный на рисунке …

 

 

 

Решение:
Из закона сохранения механической энергии . Отсюда

, то есть зависимость E_k (h) – линейная, причем, если h =0,

; если же h=h_max , . Поэтому график зависимости кинетической энергии от высоты подъема тела, брошенного с поверхности земли под некоторым углом к горизонту, имеет вид:
№4

Тело массы m, прикрепленное к пружине с жесткостью k, может без трения
двигаться по горизонтальной поверхности (пружинный маятник).
График зависимости кинетической энергии тела от величины его смещения из положения равновесия имеет вид, показанный на рисунке …

Решение:
По условию задачи трение отсутствует. Следовательно, в системе выполняется закон сохранения механической энергии: , где А – амплитуда колебаний. Отсюда . Это уравнение параболы со смещенной вершиной; ветви параболы направлены вниз. Поэтому график зависимости кинетической энергии тела от величины его смещения из положения равновесия имеет вид:

 

№5 Фигурист вращается вокруг вертикальной оси с определенной частотой. Если он прижмет руки к груди, уменьшив тем самым свой момент инерции относительно оси вращения в 2 раза, то …

частота вращения фигуриста и его кинетическая энергия вращения возрастут в 2 раза

частота вращения фигуриста возрастет в 2 раза, а его кинетическая энергия вращения – в 4 раза

частота вращения фигуриста уменьшится в 2 раза, а его кинетическая энергия вращения – в 4 раза

частота вращения фигуриста и его кинетическая энергия вращения уменьшатся в 2 раза

Решение:
Согласно закону сохранения момента импульса . Здесь J – момент инерции фигуриста относительно оси вращения, ω – угловая скорость его вращения вокруг этой оси. Отсюда с учетом того, что ω =2π n, где n – частота вращения,
. Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна:
. Тогда . Таким образом, частота вращения фигуриста и его кинетическая энергия возрастут в 2 раза.

№6 Шар и полная сфера, имеющие одинаковые массы и радиусы, вкладываются без проскальзывания на горку. Если начальные скорости этих тел одинаковы, то …

 

Решение:

Воспользуемся законом сохраненья механической энергии. Полная энергия тел не изменяется, поэтому . Здесь 1 и 2 –состояния системы, , и кинематическая энергия плоского движения твердого тела равна сумме кинематической энергии поступательного движения и кинематической энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр масс: . В последней формуле - момент инерции тела относительно оси, В последней формуле – момент инерции тела относительно оси, проходящий через его центр масс; –скорость его центра масс. Из условия отсутствия проскальзывания следует, что мгновенные скорости точек касания тела о горку равны нулю, то есть угловая скорость .В нашем случае, энергии тела в первом и во втором состояниях равны: , Из закона сохранения энергии следует .

Анализируя последнюю формулу, видим, что при равенстве масс, скоростей радиусов однородного шара и полой сферы . Сравним моменты инерции тел, обозначив их у шара , у полой сферы - . Момент инерции –величина, характеризующая распределение массы тела относительно оси вращения и являющаяся мерой инертности тела при вращательном движении. Вся масса полой сферы находится на расстоянии от оси вращения, а у шара распределена равномерно вдоль радиуса сферы. Тогда , следовательно, . Значит, полая сфера поднимается на горку выше, чем однородный шар.

 

Оба тела поднимутся на одну и ту же высоту

Высоту подъема тел невозможно определить

ü Выше поднимается полая сфера

Выше поднимается шар

№7

В случае действия на тело центральной силы радиус-вектор, проведенный к нему из центра, описывает в равные промежутки времени равные площади. (В этом, собственно, и состоит по отношению к движению планет второй закон Кеплера.) Если в начальный момент расстояние от планеты до Солнца r, скорость v, угол между скоростью планеты и радиус-вектором r равен α, то за время t радиус-вектор, проведенный от Солнца к планете, опишет площадь …

РЕШЕНИЕ

Закон равных площадей или 2-й закон Кеплера является следствием закона сохранения момента импульса для движения в центральном поле.

Выразим момент импульса тела через заданные параметры начального положения: . Из закона сохранения момента импульса следует, что величина , т.е. должна оставаться постоянной в процессе движения. Площадь, описываемая радиус-вектором за бесконечно малый промежуток времени будет равна площади треугольника с гипотенузой r, катетами , т.е. . Следовательно, за время t радиус-вектор, проведенный от Солнца к планете, опишет площадь

№8

Шар и полная сфера, имеющие одинаковые массы и радиусы, вкладываются без проскальзывания на горку. Если начальные скорости этих тел одинаковы, то …

 

Решение:

Воспользуемся законом сохраненья механической энергии. Полная энергия тел не изменяется, поэтому

. Здесь 1 и 2 –состояния системы, , и кинематическая энергия плоского движения твердого тела равна сумме кинематической энергии поступательного движения и кинематической энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр масс: . В последней формуле - момент инерции тела относительно оси, В последней формуле – момент инерции тела относительно оси, проходящий через его центр масс; –скорость его центра масс. Из условия отсутствия проскальзывания следует, что мгновенные скорости точек касания тела о горку равны нулю, то есть угловая скорость .В нашем случае, энергии тела в первом и во втором состояниях равны: , Из закона сохранения энергии следует .

Анализируя последнюю формулу, видим, что при равенстве масс, скоростей радиусов однородного шара и полой сферы . Сравним моменты инерции тел, обозначив их у шара , у полой сферы - . Момент инерции –величина, характеризующая распределение массы тела относительно оси вращения и являющаяся мерой инертности тела при вращательном движении. Вся масса полой сферы находится на расстоянии от оси вращения, а у шара распределена равномерно вдоль радиуса сферы. Тогда , следовательно, . Значит, полая сфера поднимается на горку выше, чем однородный шар.

Оба тела поднимутся на одну и ту же высоту

Высоту подъема тел невозможно определить

ü Выше поднимается полая сфера

Выше поднимается шар

 

№9

Находясь на расстоянии r .

Для расчета минимального прицельного расстояния OB, при котором метеорит не упадет на поверхность Луны, используют законы сохранения механической энергии и момента импульса.Выберите из предложенных вариантов верную запись этих законов. Радиус R и массу M планеты Луна, гравитационную постоянную G, скорость метеорита вблизи поверхности Луны 𝞾 считать известными.

 

Решение:

Метеорит массой m должен двигаться по гиперболической орбите, касающейся поверхности Луны в точке C.

При движении по этой траектории выполняется закон сохранения механической энергии:

- скорость метеорита вблизи Луны.Действительно, метеорит приближается к Луне под действием силы тяготения.работа этой силы является мерой увеличения кинетической энергии метеорита (скорость метеорита увеличивается 𝞾 ) и одновременно мерой уменьшения его потенциальной энергии от 0 в точке А до в точке С.Луна из-за большой массы в процессе взаимодействия будет оставаться

 

В покое, а вследствие равенства нулю момента силы притяжения относительно центра Луны момент импульса метеорита относительно центра Луны будет сохраняться:

, m .

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: