ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЧЁТКОГО МНОЖЕСТВА

Пусть Х универсальное множество (универсум), то есть множество, из элементов которого образованы все остальные множества, рассматриваемые в данном классе задач, А – подмножество множества Х (A Х). Характеристическая функция обычного множества А — это функция µ_А(х), значения которой указывают, является ли х Х элементом множества А:

Особенностью этой функции является бинарный характер ее значений.

С точки зрения характеристической функции, нечеткие множества есть естественное обобщение обычных множеств, когда мы отказываемся от бинарного характера этой функции и предполагаем, что она может принимать любые значения на отрезке [0, 1]. В теории нечетких множеств характеристическая функция называется функцией принадлежности, а ее значение µ_А(х) степенью принадлежности элемента x нечеткому множеству A. Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента x множеству A.

Дадим строгое определение нечёткого множества.

Определение 2.1

Пусть Х – универсальное множество, множество А – подмножество Х (A Х). Нечетким множеством А называется совокупность упорядоченных пар вида: < x, µ_А(х) >, где х Х, а µ_А(х) - функция принадлежности, которая ставит в соответствие каждому элементу х Х некоторое действительное число из отрезка[0, 1]. При этом значение µ_А(х) =1 для некоторого х Х означает, что элемент х определённо принадлежит нечёткому множеству А, а значение µ_А(х) =0 означает, что элемент х определённо не принадлежит нечёткому множеству А. Остальные значения функции µ_А(х) из интервала (0, 1) означают, что элемент х принадлежит множеству А в той или иной степени.

Нечёткие множества, как и обычные множества, будем обозначать большими буквами латинского алфавита: А, B, C, D, …

Чтобы задать нечёткое множество необходимо:

1. задать универсальное множество Х;

2. задать функцию принадлежности µ_А(х) каждого элемента х Х нечёткому множеству А.

Пример 2.1

Пусть Х={a, b, c, d, e}, А={< a; 0>, < b; 0, 1>, < c; 0, 5>, < d; 0, 9>, < e, 1> }.

Будем говорить, что элемент a не принадлежит множеству А, элемент b принадлежит ему в малой степени, элемент c более или менее принадлежит, элемент d принадлежит в значительной степени, e является элементом множества A.

Пример 2.2

Пусть универсум Х есть множество действительных чисел (Х=R), нечеткое множество A обозначает «множество чисел близких к 10». Функцию принадлежности µ_А(х) можно задать следующей формулой:

= , где m (рис.1.1).

Показатель степени m выбирается в зависимости от степени близости чисел к 10. Например, для описания «множества чисел очень близких к 10», можно положить m=4 (на рисунке соответствующий график изображён пунктирной линией); для «множества чисел не очень далеких от 10», m=1(на рисунке соответствующий график изображён сплошной линией).

 

Рис.2.1 Функции принадлежности нечётких множеств

«числа очень близкие к 10» и «числа не очень далёкие от 10».

Пример 2. 3

Пусть Х = {0, 1, 2,.., 10}. Нечеткое множество А – «несколько» можно определить следующим образом:

А = {< 3; 0, 5>, < 4; 0, 8>, < 5; 1>, < 6; 1>, < 7; 0, 8>, < 8; 0, 5> }.

Пример 2.4

Пусть Х = [1, 100] соответствует понятию «возраст», тогда нечеткое множество А «молодой», может быть определено с помощью функции принадлежности µ_А(х):

(1.1)

Из всех нечётких множеств выделим два частных случая – пустое множество и чёткое множество.

Пример 2.5

Нечёткое множество А называется пустым, если все элементы этого множества имеют значения функции принадлежности равные 0, то есть пустое множество – это множество не содержащее элементов. Пустое множество обозначается символом Ø.

Пример 2.6

Универсум Х (чёткое множество) является частным случаем нечёткого множества. Каждый элемент х Х имеет значение функции принадлежности равное 1.

Опишем способы задания нечётких множеств. Функция принадлежности µ_А(х) элемента х нечёткому множеству А – это субъективная мера того, насколько х соответствует понятию, смысл которого формализуется нечётким множеством А. Под субъективной мерой понимается определяемая опросом экспертов степень соответствия элемента х понятию, формализуемому нечётким множеством А.

В приведенных выше примерах использованы прямые методы, когда эксперт либо просто задает для каждого х Х значение µ_А(х), либо определяет функцию принадлежности в виде графика или аналитически. Как правило, прямые методы задания функции принадлежности используются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, давление, температура и т.д.

Во многих задачах при характеристике объекта можно выделить набор признаков и для каждого из них определить полярные значения, соответствующие значениям функции принадлежности 0 или 1.
Пример 2.7

Рассмотрим задачу распознавания лиц людей. В таблице 2.1 представлены признаки для описания лица человека и соответствующие им полярные значения. В данном примере в качестве универсального множества выступает множество признаков Х={x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9}. Для конкретного лица А эксперт, исходя из приведенной шкалы, задает для каждого х Х значение µ_А(х), формируя нечёткое множество:

А={ < x1; >, < x2; >,..., < x9; > }.

 

Таблица 2.1

элемент множества Х	признак	полярное значение, соответствующее значению функции принадлежности
0	1
x1	высота лба	Низкий	Широкий
x2	профиль носа	Курносый	Горбатый
x3	длина носа	Короткий	Линный
x4	разрез глаз	Узкие	Широкие
x5	цвет глаз	Светлые	Темные
x6	форма подбородка	Остроконечный	Квадратный
x7	толщина губ	Тонкие	толстые
x8	цвет лица	Темный	Светлый
x9	очертание лица	Овальное	квадратное

 

При прямых методах используются также групповые прямые методы, когда, например, группе из m экспертов надо решить вопрос о принадлежности элемента х Х нечёткому множеству А. Обозначим через n₁ число экспертов, решивших этот вопрос утвердительно, а через n₂ – отрицательно (n₁+ n₂ =m). Тогда значение функции принадлежности для элемента х находится по формуле:

(2.2)

Это схема самая простая, но и самая грубая.

Косвенные методы определения значений функции принадлежности используются в случаях, когда нет элементарных измеримых свойств, через которые определяется интересующее нас нечеткое множество. Как правило, это методы количественных парных сравнений степеней принадлежности. Такая схема допускает и одного эксперта.

Результатом опроса эксперта является матрица М_{n× n} =(a_ij) (1.3), i, j=1, 2, …n, где n число точек, в которых сравниваются значения степени принадлежности.

(2.3)

Число a_ij показывает во сколько раз, по мнению эксперта, степень принадлежности больше . При этом эксперт оперирует понятиями, представленными в таблице 2.2.

Таблица 2.2

Смысл сравнения и	mij
равна
немного больше
больше
заметно больше
намного больше
Значения промежуточные по степени между перечисленными	2, 4, 6, 8

 

Элементы, симметричные относительно диагонали матрицы, должны удовлетворять требованию:

= . (2.4)

Это условие означает, что если степень принадлежности элемента х_i в раз сильнее элемента степени принадлежности элемента х_j, то степень принадлежности элемента х_j должна быть в раз сильнее степени принадлежности элемента х_i. Задача построения функции принадлежности сводится к нахождению собственного вектора В матрицы М_{n× n}, соответствующего наибольшему собственному значению матрицы, то есть вектора, который является решением уравнения:

М_{n× n} В= В λ _max, (2.5)

где λ _max - наибольшее собственное значение матрицы.

Опишем построение вектора В. Сначала найдём компоненты вектора В' по формуле 1.6, то есть каждая компонента b1, b2, …, bn вектора В' вычисляется из элементов соответствующей строки матрицы М_{n× n} как среднее геометрическое элементов строки матрицы: по первой строке матрицы находится компонента b1, по второй строке находится компонента b2, …, по n строке находим компоненту bn.

bi= , где i=1, …, n (2.6)

 

Затем вектор В'={b1, b2, …, bn} нормализуется по формуле 2.7. Для этого вычисляется сумма компонент вектора .Затем каждая компонента b1, b2, …, bn делится на найденную сумму. Таким образом, получаем вектор В матрицы М:

В= > (2.7)

Компоненты вектора В и есть искомые значения функции принадлежности элементов нечёткого множества.

Пример 2.8

Пусть на множестве Х={х1, х2, х3} задано нечёткое отношение А. В результате опроса экспертов построена матрица парных сравнений М:

1) Найдём компоненты вектора В' по формуле 2.6:

b1= =0.000343; b2= =0.562642;

b3= =0.288449. В'={0.000343, 0.562642, 0.288449}.

2) Нормализуем вектор В' по формуле 2.7:

b1+b2+b3= 0.851434; В={0, 0.66, 0.34}.

Таким образом нечёткое множество А имеет вид:

А={< х1; 0>, < x2; 0.66>, < x3; 0.34> }.

Рассмотрим особенности построение функции принадлежности на непрерывном множестве.Выбор вида функции принадлежности и её параметров определяется в большей степени опытом и интуицией экспертов. В таблице 2.3 приведены некоторые простейшие функции, которые можно предложить эксперту для задания функции принадлежности множества А «малая величина».

Таблица 2.3

 

В таблице 2.4 приведены некоторые простейшие функции, которые можно предложить эксперту для задания функции принадлежности множества А «большая величина».

Таблица 2.4

 

В ряде случаев исследователь может задать самостоятельно функцию, исходя из личного опыта. В более сложных и ответственных случаях задание функции принадлежности нечётких множеств выполняется с привлечением группы экспертов с последующей обработкой их оценок.

Введём определения основных характеристик нечётких множеств.

Пусть A - нечеткое множество с элементами из универсального множества X.

Определение 2.2

Величина h= называется высотой нечеткого множества A.

Определение 2.3

Нечеткое множество A нормально, если его высота равна 1, т.е. =1.

Определение 2.4

Если 1, то нечеткое множество называется субнормальным.

Непустое субнормальное множество можно нормализовать по формуле:

.

Определение 2.5

Нечеткое множество А унимодально, если µ_А(х)=1 только на одном элементе x Х. Этот элемент х называют модальным значением или модой нечёткого множества.

Определение 2.6

Носителем нечеткого множества A является обычное подмножество множества Х, которое содержит те и только те элементы Х, для которых значения функции принадлежности нечёткого множества А не равны 0, т.е. A_s={x| x Х, µ_А(х) 0}.

Определение 2.7

Нечёткое множество называется конечным, если его носитель конечное множество. В противном случае множество называется бесконечным.

Определение 2.8

Множество Т_А, состоящее из элементов x Х, для которых =0.5 называются точками перехода нечёткого множества A, т.е.

T_A={x| x Х, µ_А(х)=0.5}.

Определение 2.9

Границами G_A нечёткого множества А называются такие элементы универсума Х, для которых значения функции принадлежности отличны от 0 и 1, т.е. G_А={ 0< < 1}.

Определение 2.10

Ядром нечёткого множества А называют обычное множество А₁, элементы которого удовлетворяют условию: А₁ ={ |µ_A(х)=1}.

Определение 2.11

Множеством уровня ( - срезом) нечеткого множества A называется четкое подмножество универсального множества X, определяемое по формуле А_α ={ |µ_A(х) α }, где .

Множество строгого α - уровня определяется в виде А_α ={ |µ_A(х) α }. В частности, носителем нечеткого множества А является множество элементов, для которых µ_A(х) 0.

Определение 2.12

Четкое множество , ближайшее к нечеткому множеству А, состоит из тех элементов универсума, для которых значения функции принадлежности µ_A(х) 0.5, а элементы, у которых, могут µ_A(х) 0.5 принадлежать или могут не принадлежать множеству , то есть характеристическая функция множества определяется следующим образом:

µ_А*(х)=

Пример 2.9

a. Найдём характеристики нечёткого множества из примера 3:

- высота множества h=1;

- множество нормально;

- множество не является унимодальным;

- носитель ={3, 4, 5, 6, 7, 8};

- точки перехода Т_А ={3, 8};

- границы G_А={3, 4, 7, 8}; А₁ ={5, 6};

- множество конечное.

b. Найдём множество уровня 0, 6 ( =0, 6): А_{0, 6} ={4, 5, 6, 7}.

c. Найдём чёткое множество , ближайшее к А: = {4, 5, 6, 7}.

Заметим, что в качестве можно взять множество = {3, 4, 5, 6, 7, 8}.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Задайте следующие нечёткие множества:

a) «описание лица знакомого человека», используя таблицу 2.1 (пример 2.7);

b) «действительные числа, приближённо равные 0» на универсуме

Х={-2, -1, 0, 1, 2}, используя метод количественных парных сравнений (таблица 1.2)

c) «средняя скорость автомобиля»;

d) «горячий напиток»;

e) «высокий уровень доходов».

2. Найдите основные характеристики множеств из упражнения 1.

3. Приведите 5 примеров нечётких множеств, обладающих следующими характеристиками:

a) А₁ субнормально;

b) А₂ унимодально и бесконечно;

c) А₃ не содержит точек перехода и нормальное;

d) А₄ конечно и не содержит ядро;

e) А₅ бесконечно и не содержит границы.

4. Для каждого нечёткого множества из упражнения 1 постройте множества уровня 0, 4.

5. Для каждого нечёткого множества из упражнения 1 постройте ближайшее чёткое множество.

контрольные вопросы:

1. В чём принципиальная разница между обычным множеством и нечётким множеством?

2. Можно ли задать обычное множество как нечёткое?

3. В чём разница между описанием конечного и бесконечного нечёткого множества?

4. Какие характеристики нечётких множеств имеют смысл для обычных множеств? Ответ аргументируйте.

 

ВИДЫ ФУНКЦИЙ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ

Формальное определение нечёткого множества не накладывает никаких ограничений на выбор конкретной функции принадлежности для его представления. Однако на практике удобно использовать те из них, которые представляют аналитическое представление в виде некоторой простой математической функции. Рассмотрим кусочно-линейные функции принадлежности. В качестве универсума выберем множество действительных чисел (Х=R).

Треугольная функция принадлежности в общем случае может быть задана аналитическим выражением:

, (2.8)

где а, b, c – некоторые числовые параметры, принимающие произвольные действительные значения и упорядочены отношением: .

Рис.2.2 Графики функций принадлежности треугольной (a), трапециевидной (b)

 

Параметры а и c характеризуют основание треугольника, а параметр b – его вершину. Эта функция принадлежности порождает нормальное выпуклое унимодальное нечёткое множество с носителем – интервалом (а, с), границами (а, с)\{b}, ядром {b} и модой b.

Трапециевидная функция принадлежности в общем случае может быть задана следующим аналитическим выражением:

, (2.9)

где а, b, c, d – некоторые числовые параметры, принимающие произвольные действительные значения и упорядочены отношением: .

Параметры а и d характеризуют нижнее основание трапеции, а параметры b и c верхнее основание трапеции. Эта функция принадлежности порождает нормальное выпуклое нечёткое множество с носителем – интервалом (а, d), границами (а, b) (c, d) и ядром [b, с].

Эти функции используются для задания таких свойств множеств, которые характеризуются неопределённостью типа: «приблизительно равно», «среднее значение», «расположен в интервале», «подобен объекту», «похож на предмет» и др. Они также служат для представления нечётких чисел и интервалов, которые будут рассмотрены ниже.

Z-образные и S-образные функции принадлежности также получили своё название по виду кривых, которые представляют их графики.

Рис.2.3 Графики линейной Z-образной (a) и S-образной (b) функций принадлежности.

 

Первая из функций этой группы называется Z-образной кривой или сплайн-функцией и в общем случае аналитически может быть задана следующим выражением:

, (2.10)

где a и b – некоторые числовые параметры, принимающие произвольные действительные значения и упорядоченные отношением a . График этой функции для некоторого нечёткого множества А изображён на рисунке 2.3 (a).

Линейные Z-образные функции используются для представления таких нечётких множеств, которые характеризуются неопределённостью типа «низкое качество», «незначительная величина», «низкий уровень доходов или цен», «низкая процентная ставка».

Вторая из этих функций в общем случае может быть задана аналитически следующим выражением:

, (2.11)

где a и b – некоторые числовые параметры, принимающие произвольные действительные значения и упорядоченные отношением: a . График этой функции для некоторого нечёткого множества А изображён на рисунке 2.4 (b).

Данные функции принадлежности порождают нормальные выпуклые нечёткие множества с границами (а, b).

Линейные S-образные функции используются для представления таких нечётких множеств, которые характеризуются неопределённостью типа «отличное качество», «значительная величина», «высокий уровень доходов и цен», «высокая норма прибыли», «высокое качество услуг».

 

УПРАЖНЕНИЯ

1. Задайте нечёткие множества, характеризующиеся неопределённостью типа:

a) «отличное качество»,

b) «высокий уровень доходов и цен»,

c) «высокая норма прибыли»,

d) «приблизительно равно»,

e) «расположен в интервале»,

f) «низкое качество»,

g) «незначительная величина»

h) «значительная величина»,

i) «средний уровень доходов и цен».

Задайте формулы функций принадлежности, постройте графики.

2. Найдите основные характеристики множеств, построенных в упражнении 1.

Контрольные вопросы

1. Как измениться формулы и графики кусочно-линейных функций принадлежности, если их рассматривать на множестве N натуральных чисел? На множестве Z целых чисел?

2. К какому виду принадлежит график функции принадлежности универсума? Пустого множества?

3. Приведите примеры нечёткого множества, функции принадлежности которых не относятся к треугольным, трапециевидным, S-образным и Z-образным функциям принадлежности.

§2.3 Сравнение нечётких множеств, Операции над нечеткими множествами

То или иное нечёткое множество является обобщением классического множества. Поэтому любое определение той или иной операции над нечёткими множествами должно быть справедливо и в том случае, когда эти операции применяются к обычным множествам.

Сравнение нечётких множеств или выполнение над ними операций возможно только в том случае, когда эти нечёткие множества определены на одном и том же универсуме Х.

Пусть нечёткие множества А и В заданы на универсуме Х.

Определение 2.13

Говорят, что A содержится в B, если для всех элементов х Х выполняется условие: . Обозначение: A B. Иногда используют термин «доминирование», т.е. в случае, когда A B, говорят, что B доминирует A.

Определение 2.14

A и B равны, если для всех элементов х Х выполняется условие: . Обозначение: A = B.

Пусть нечёткие множества А и В заданы на универсуме Х.

Определение 2.15

Множество является дополнением множества А, если для всех элементов х Х выполняется условие: .

Определение 2.16

Объединением нечётких множеств А и В называется нечёткое множество , функция принадлежности которого имеет вид:

(максминное объединение).

Определение 2.17

Пересечением нечётких множеств А и В называется нечёткое множество , функция принадлежности которого имеет вид: (максминное пересечение).

Пример 2.10

Пусть нечеткие множества А: «от 5 до 8» и В: «около 4», заданны своими функциями принадлежности на множестве действительных чисел R (рис.2.4).

Рис. 2.4

Тогда, используя максиминные операции пересечения и объединения и операцию дополнения, мы получим множества, изображенные на рис.2.5.

Рис.2.5

Определение 2.13

Разностью нечётких множеств А и В называется нечёткое множество А\B, функция принадлежности которого имеет вид: .

Определение 2.14

Симметрической разностью нечётких множеств А и В называется нечёткое множество А B, функция принадлежности которого имеет вид: .

Рассмотрим свойства максминных операций объединения и пересечения.

Пусть А, В, С нечеткие множества заданны на универсуме Х. Тогда выполняются следующие свойства:

1. коммутативность операций объединения и пересечения;

2. ассоциативность операций объединения и пересечения;

3. идемпотентность операций объединения и пересечения (для граничных операций не выполняется);

4. дистрибутивность операций пересечения относительно объединения и объединения относительно пересечения (для граничных операций не выполняется).

5. - поглощение одного из нечётких множеств при операциях объединения и пересечения.

6. Ø =А; Ø =Ø; Х=Х; Х=А – универсальная верхняя и нижняя границы операций объединения и пересечения.

7. - двойное дополнение нечёткого множества.

8. законы де Моргана

Особенность рассматриваемых операций над нечёткими множествами состоит в том, что для них не выполняются закон исключённого третьего и закон тождества, то есть в общем случае имеют место неравенства: , Ø.

Рассмотренные операции над нечёткими множествами получили наибольшее распространение при решении практических задач нечёткого моделирования, так как эти операции наиболее естественны для интуитивного представления неопределённости, связанной с использованием соответствующим им логических связок «и», «или», «не» (см. табл.2.5), а также удовлетворяют свойствам 1-8, что в максимальной степени приближает структуру нечётких множеств к булевой алгебре.

 

Таблица 2.5

Операция	Свойства нечётких множеств, полученных в результате операций
А В=С	Элементы нечёткого множества С обладают свойствами элементов нечёткого множества А илисвойствами элементов нечёткого множества В.
А В=Д	Элементы нечёткого множества Д обладают свойствами элементов нечёткого множества А исвойствами элементов нечёткого множества В.
	Элементы нечёткого множества необладают свойствами элементов нечёткого множества А.
А В=F	Элементы нечёткого множества F обладают свойствами элементов нечёткого множества А, но необладают свойствами элементов нечёткого множества В.
А В=G	Элементы нечёткого множества G обладают свойствами элементов нечёткого множества А, но не обладают свойствами элементов нечёткого множества В или обладают свойствами элементов нечёткого множества В, но необладают свойствами элементов нечёткого множества А.

 

Максминные операции объединения и пересечения нечётких множеств не являются единственными. Рассмотрим альтернативные операции пересечения и объединения.

Определение 2.15

Алгебраическим объединением нечётких множеств А и В называется нечёткое множество D=А+В, заданное на том же универсуме Х, функция принадлежности которого имеет вид: .

Определение 2.16

Алгебраическим пересечением нечётких множеств А и В называется нечёткое множество С=А·В, заданное на том же универсуме Х, функция принадлежности которого имеет вид: .

Пример 2.17

Пусть на универсуме Х={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} заданы нечёткие множества А и В: А - «небольшое натуральное число», А={< 1, 1>, < 2, 1>, < 3, 0.9>,

< 4, 0.8>, < 5, 0.6>, < 6, 0.5>, < 7, 0.4>, < 8, 0.2>, < 9, 0.1> }, В – «натуральное число, приближённо равное 2», В={< 1, 0.5>, < 2, 1>, < 3, 0.6>, < 4, 0.4>, < 5, 0.2>,

< 6, 0>, < 7, 0>, < 8, 0>, < 9, 0> }. Найдём множество D, как результат операции алгебраического объединения и множество С, как результат алгебраического пересечения. D= {< 1, 1>, < 2, 1>, < 3, 0.96>, < 4, 0.88>, < 5, 0.68>, < 6, 0.5>,

< 7, 0.4>, < 8, 0.2>, < 9, 0.1> }; С= {< 1, 0.5>, < 2, 1>, < 3, 0.54>, < 4, 0.32>, < 5, 0.12>, < 6, 0>, < 7, 0>, < 8, 0>, < 9, 0> }.

Для операций алгебраического объединения и пересечения имеют место лишь некоторые из свойств, аналогичные свойствам теоретико-множественных операций.

Пусть А, В, С нечеткие множества, заданные на универсуме Х. Тогда выполняются следующие свойства:

9. коммутативность операций алгебраического объединения и пересечения;

10. ассоциативность операций алгебраического объединения и пересечения;

11. Ø =А; Ø =Ø; Х=Х; Х=А – универсальная верхняя и нижняя границы операций объединения и пересечения.

12. законы де Моргана

Остальные законы в общем случае не выполняются.

идемпотентность операций алгебраических операций объединения и пересечения;

дистрибутивность алгебраических операций пересечения относительно объединения и объединения относительно пересечения.

- поглощение одного из нечётких множеств при операциях алгебраического объединения и пересечения .

Ø, - закон исключённого третьего и закон тождества.

Определение 2.18

Граничным объединением нечётких множеств А и В называется нечёткое множество D=А В, заданное на том же универсуме Х, функция принадлежности которого имеет вид: .

Определение 2.19

Граничнымпересечением нечётких множеств А и В называется нечёткое множество С=А В, заданное на том же универсуме Х, функция принадлежности которого имеет вид:

Пример 2.11

Для нечётких множеств А и В из примера 3.2 найдём множество D, как результат операции граничного объединения D=А В и множество С, как результат граничного пересечения С=А В. D= {< 1, 1>, < 2, 1>, < 3, 1>, < 4, 1>, < 5, 0.8>, < 6, 0.5>, < 7, 0.4>, < 8, 0.2>, < 9, 0.1> }; С= {< 1, 0.5>, < 2, 1>, < 3, 0.5>,

< 4, 0.2>, < 5, 0>, < 6, 0>, < 7, 0>, < 8, 0>, < 9, 0> }.

Замечание: в случае граничных операций не будут выполняться свойства идемпотентности и дистрибутивности.

Определим дополнительные операции над нечёткими множествами

Определение 2.20

На основе операции алгебраического произведения определяется операция возведения в степень нечеткого множества A, где - положительное число. Нечеткое множество определяется функцией принадлежности .

Операцию возведения множества А в степень α =2 называют концентрированием и обозначают CON(A). Операцию возведения множества А в степень α = называют растяжением и обозначают DIL(A). На рис.2.5 представлены графики функций множества А, CON(A)=А², DIL(A)=А^0.5.

Рис. 2.5

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: