Свойства бинарных нечётких отношений, заданных на одном универсуме

В контексте нечёткого моделирования наибольший интерес представляют такие свойства бинарных нечётких отношений, которые обобщают известные свойства обычных отношений, в частности: рефлексивность, симметричность и транзитивность, поскольку эти свойства используются в дальнейшем при определении некоторых специальных типов бинарных нечётких отношений.

Пусть на универсуме Х Х определено нечёткое отношение Q с функцией принадлежности µ_Q(< хi, хj> ).

Определение 4.3

Рефлексивность. Бинарное нечёткое отношение Q называется рефлексивным, если < хi, хi> Х Х выполняется равенство: µ_Q(< хi, хi> )=1.

Пример 4.7

Нечёткое отношение Q «хi приблизительно равен xj», заданное на множестве Х Х, где Х – любое числовое множество, является рефлексивным.

Определение 4.4

Антирефлексивность. Бинарное нечёткое отношение Q называется антирефлексивным, если < хi, хi> Х Х выполняется равенство:

µ_Q(< хi, хi> )=0.

Пример 4.8

Нечёткое отношение Q «хi намного больше xj», заданное на множестве Х Х, где Х–любое числовое множество, является антирефлексивным.

Определение 4.5

Симметричность. Бинарное нечёткое отношение Q называется симметричным, если < хi, хj> Х Х выполняется равенство: µ_Q(< хi, хj> )= µ_Q(< хj, хi> ).

Нечёткое бинарное отношение из примера 1 является симметричным.

Определение 4.6

Антисимметричность. Бинарное нечёткое отношение Q называется антисимметричным, если < хi, хj> Х Х, причём хi хj, выполняется условие: min{µ_Q(< хi, хj> ), µ_Q(< хj, хi> )}=0.

Нечёткое отношение из примера 2 является антисимметричным.

Определение 4.7

Транзитивность. Бинарное нечёткое отношение Q называется транзитивным, если хi, хj, хk Х, выполняется условие:

µ_Q(< хi, хk> ) max _{хj Х} {min{µ_Q(< хi, хj> ), µ_Q(< хj, хk> )}}.

Нечёткое отношение из примера 2 является транзитивным.

Замечание: непосредственная проверка свойств транзитивности для конкретных нечётких отношений является трудоёмкой процедурой. Более конструктивным является способ эмпирического установления данного свойства на основе выполнения операции нечёткого транзитивного замыкания соответствующего нечёткого отношения, о котором пойдёт речь в следующем параграфе.

Определение 4.8

Сильная полнота. Бинарное нечёткое отношение Q называется сильно полным, если < хi, хj> Х Х, выполняется условие:

max{µ_Q(< хi, хj> ), µ_Q(< хj, хi> )}=1.

Определение 4.9

Слабая полнота. Бинарное нечёткое отношение Q называется слабо полным, если < хi, хj> Х Х, причём хi хj, выполняется условие:

max{µ_Q(< хi, хj> ), µ_Q(< хj, хi> )} 0.

Рассмотрим произвольное конечное бинарное нечёткое отношение Q, заданное на множестве Х Х, М_Q – матрица отношения. В основе операции транзитивного замыкания лежит операция (max-min) –композиция бинарных нечётких отношений.

Определение 4.10

Транзитивным замыканием нечёткого бинарного отношения Q называется нечёткое бинарное отношение Q^T, заданное на том же универсуме, матрица которого М_Q^T находится по формуле:

М_Q^T = М_Q М_Q² М_Q³ … М_Q^k …, (4.1)

Где М_Q^k = М_Q М_Q^k-1 для любого натурального k 1. (4.2)

При этом имеет место замечательное свойство, которое существенно упрощает численные расчёты, связанные с выполнением операций (8.1) и (8.2), а именно, для получения матрицы транзитивного замыкания бинарного нечёткого отношения М_Q^T достаточно ограничится одним из следующим условий:

· Если для некоторого натурального k (1 ), где n – мощность множества Х, выполнено равенство М_Q^k= М_Q^k-1, то дальнейшие расчёты степеней композиции матрицы нечёткого отношения можно прекратить, а матрица транзитивного замыкания рассматриваемого нечёткого отношения будет равна:

М_Q^T = М_Q М_Q² М_Q³ … М_Q^k (4.3)

· Выражение (4.3) всегда имеет место при k=n.

В качестве примера использования операции транзитивного замыкания нечёткого отношения рассмотрим задачу анализа эффективности коммуникаций, известную также как задачу распространения слухов среди хорошо знакомых между собой людей. С этой целью рассмотрим в качестве исходного универсума Х={х1, х2, …, хn} некоторую совокупность людей. Определим на этом универсуме бинарное нечёткое отношение Q «человек хi хорошо знаком с человеком хj». Это отношение рефлексивно и симметрично, но в общем случае не транзитивно, так как факт знакомства имеет место между парами людей. Предположим, нас интересует возможность передачи информации (или распространения слухов) между парами людей. Эта задача может быть решена применением операции транзитивного замыкания данного нечёткого отношения.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Выясните, какими свойствами обладают следующие бинарные отношения:

a. нечёткое отношение Q «хi дружит с xj», заданное на множестве Х Х, где Х–множество людей;

b. нечёткое отношение Q «хi учится в одной группе с xj», заданное на множестве Х Х, где Х–множество студентов университета;

c. нечёткое отношение Q «хi симпатизирует xj», заданное на множестве Х Х, где Х– множество студентов группы;

d. нечёткое отношение Q «хi и xj расположены недалеко от 5», заданное на множестве Х Х, где Х =Z (Z-множество целых чисел);

e. нечёткое отношение Q «небольшое расстояние хi и xj», заданное на множестве Х Х, где Х =R (R-множество целых чисел);

2. Приведите примеры нечётких отношений, заданных на множестве Х Х, обладающих свойствами:

a. рефлексивности, симметричности, транзитивности;

b. антирефлексивности, симметричности;

c. рефлексивности, симметричности;

d. сильной полноты;

e. слабой полноты.

3. На множестве из пяти человек Х={х1, х2, х3, х4, х5} задайте нечёткое отношение Q «человек хi хорошо знаком с человеком хj» в виде матрицы М_Q (среди элементов матрицы задайте несколько 0, т.е. не все люди знакомы между собой). Найдите транзитивное замыкание нечёткого отношения. Проанализируйте решение.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какими особенностями обладает матрица рефлексивного отношения? антирефлексивного отношения?

2. Какими особенностями обладает матрица симметричного отношения? антисимметричного отношения?

3. Какими особенностями обладает матрица сильно полного отношения? слабо полного отношения?

4. Каков смысл операции транзитивного замыкания?

 

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: