Тема 3. Нечёткие величины, числа и интервалы

Учебные вопросы:

1. Определение нечёткой величины.

2. Определение треугольного нечёткого числа.

3. Определение трапециевидного нечёткого интервала.

4. Правила арифметических действий над треугольными нечёткими числами.

5. Правила арифметических действий над трапециевидными нечёткими интервалами.

Изучив данную тему, студент должен:

знать:

1. определение нечётких величин, чисел и интервалов;

2. правила арифметических действий над нечёткими числами и интервалами.

уметь:

1. задавать треугольные числа и трапециевидные интервалы;

2. складывать, вычитать, умножать и делить треугольные числа и трапециевидные интервалы.

Методические рекомендации по изучению темы:

При освоении темы необходимо:

· изучить учебный материал по теме 3 «Нечёткие величины, числа и интервалы»;

· после изучения каждого параграфов темы 3 выполнить упражнения;

· ответить на контрольные вопросы.

 

Определения нечёткой величины, нечёткого числа и нечёткого интервала

Процесс нечёткого моделирования основывается на количественном представлении входных и выходных переменных системы в форме нечётких множеств. Такое представление связано с рассмотрением специальных нечётких множеств, которые задаются на множестве действительных чисел R и обладают некоторыми дополнительными свойствами. Наиболее общим понятием в этом контексте является понятие нечёткой величины.

Определение 3.1

Нечёткой величиной называется произвольное нечёткое множество А, заданное на множестве действительных чисел R, т.е. для которого универсумом Х служит всё множество R. Если в качестве универсума взять подмножество неотрицательных действительных чисел R+, то получим определение неотрицательной нечёткой величины.

Наибольший интерес для нечёткого моделирования представляет конкретизация нечёткой величины в виде нечётких чисел и интервалов.

Определение 3.2

Нечётким числом называется нечёткая величина, функция принадлежности которой является выпуклой и унимодальной.

На рисунке 3.1 приведён график нечёткого числа «примерно 9».

Рис. 3.1

Нечеткое число А положительно, если для всех . Нечеткое число А отрицательно, если для всех . На рисунке 3.2 представлены графики функций положительного и отрицательного нечетких чисел, а также такого нечеткого числа, которое не является ни положительным, ни отрицательным.

Рис. 3.2

Определение 3.3

Нечётким интервалом называется нечёткая величина с выпуклой функцией принадлежности.

На рисунке 3. 3 представлен график функции нечёткого интервала «в пределах от 3 до 6 ».

Рис.3.3

Определение 3.4

Треугольным нечётким числом (ТНЧ) называется нечёткое число А∆, функция принадлежности которого имеет треугольный вид . ТНЧ удобно представить в виде упорядоченного множества А∆ =< d, α, β >, где d – модальное значение ТНЧ, α - левый коэффициент нечёткости и β – правый коэффициент нечёткости: d=b, α =b-a, β =c-b. На рис. 4.4 приведён пример ТНЧ А∆ =< 3, 1, 2>, которое соответствует «нечёткой тройке».

Рис.3.4

Определение 3.5

Трапециевидным нечётким интервалом (ТНИ) называется нечёткий интервал с трапециевидной функцией принадлежности . ТНИ удобно представлять в виде упорядоченного множества =< а, в, α, β >, где а и в соответственно верхнее и нижнее модальное значение ТНИ, α - левый коэффициент нечёткости и β – правый коэффициент нечёткости ТНИ.

Рис.3.5

Как нетрудно заметить, треугольное нечёткое число А∆ = < , α, β > является частным случаем трапециевидного нечёткого интервала =< а, в, α, β > при а=в. На рис.3.5 изображён пример ТНИ < 4, 6, 2, 1>, которое соответствует «нечёткому интервалу от 4 до 6».

Операции над ТНЧ и ТНИ

Определим некоторые простейшие операции над ТНЧ, аналогичные обычным арифметическим операциям над обычными числами и интервалами.

Пусть А∆ = < а1, α 1, β 1> и В∆ < а2, α 2, β 2> - два произвольных треугольных нечётких числа.

Определение 3.6

Сложение: операция сложения нечётких чисел обозначается через А∆ + В∆ = С∆, нечёткое число С∆ =< а, α, β > имеет параметры а, α и β, которые определяются следующим образом:

а= а1+а2, α = α 1+α 2, β = β 1+β 2. (3.1)

Определение 3.7

Вычитание: операция вычитания нечётких чисел обозначается через А∆ - В∆ = С∆, нечёткое число С∆ =< а, α, β > имеет параметры а, α и β, которые определяются следующим образом:

а= а1-а2, α = α 1+β 2, β = β 1+α 2. (3.2)

Определение операции умножения и деления нечётких чисел зависят от знака модальных значений нечётких чисел.

Определение 3.8

Умножение положительных нечётких чиселА∆ и В∆ , т.е. носители которых есть подмножества R+, модальные значения а1 0, а2 0. Операция умножения таких нечётких чисел обозначается через А∆ ∙ В∆ = С∆, нечёткое число С∆ =< а, α, β > имеет параметры а, α и β , которые определяются следующим образом:

а=а1а2, α =а1α 2+ а2α 1, β =а1β 2+а2β 1. (3.3)

Определение 3.9

Умножение нечётких чиселА∆ и В∆ для которых модальные значения имеют разные знаки: а1 0 и а2 0. Операция умножения таких нечётких чисел обозначается через А∆ ∙ В∆ = С∆, нечёткое число С∆ =< а, α, β > имеет параметры а, α и β, которые определяются следующим образом:

а= а1а2, α = а2α 1- а1β 2, β = а2β 1-а1α 2. (3.4)

Определение 3.10

Умножение нечётких чиселА∆ и В∆ для которых модальные значения имеют отрицательные знаки: а1 0, а2 0. Операция умножения таких нечётких чисел обозначается через А∆ ∙ В∆ = С∆, нечёткое число С∆ =< а, α, β > имеет параметры а, α и β, которые определяются следующим образом:

а= а1а2, α = -а2β 1- а1β 2, β = -а2α 1-а1α 2. (3.5)

Определение 3.11

Деление положительных нечётких чиселА∆ и В∆ , т.е. носители которых есть подмножества R+, модальные значения а1 0, а2 0. Операция деления таких нечётких чисел обозначается через А∆ ÷ В∆ = С∆, нечёткое число

С∆ =< а, α, β > имеет параметры а, α и β , которые определяются следующим образом:

а= , α = β = . (3.6)

Определение 3.12

Обратное нечёткое число: для положительного нечёткого числа А∆ , т.е. носитель которого есть подмножества R+, модальное значение а1 0 обратное число обозначается через =< а, α, β > имеет параметры а, α и β , которые определяются следующим образом:

а= , α = β = . (3.7)

Например для конкретных ТНЧ А∆ = < 3, 1, 2> и В∆ < 2, 2, 1> результаты арифметических операций равны: А∆ + В∆ =< 5, 3, 3>, А∆ - В∆ =< 1, 2, 4>, А∆ ∙ В∆ =< 6, 8, 7>, А∆ ÷ В∆ =< 1.5, 1.25, 2.5>, =< , , >

Определим арифметические операции над ТНИ.

Пусть Ат= < а1, в1, α 1, β 1> и Вт < а2, в2, α 2, β 2> - два произвольных трапециевидных нечётких интервала.

Определение 3.13

Сложение: операция сложения нечётких интервалов обозначается через

Ат + Вт= Ст, нечёткий интервал Ст =< а, в, α, β > имеет параметры а, в, α и β , которые определяются следующим образом:

а= а1+а2, в=в1+в2, α = α 1+α 2, β = β 1+β 2. (3.8)

Определение 3.14

Вычитание: операция вычитания ТНИ обозначается через Ат- Вт= Ст, нечёткое число Ст =< а, в, α, β > имеет параметры а, в, α и β, которые определяются следующим образом:

а= а1-а2, в=в1-в2, α = α 1+β 2, β = β 1+α 2. (3.9)

Определение операции умножения и деления нечётких чисел зависят от знака модальных значений нечётких чисел.

Определение 3.15

Умножение положительных ТНИАт и Вт, т.е. носители которых есть подмножества R+, а все модальные значения положительны. Операция умножения таких ТНИ обозначается через Ат∙ Вт=Ст =< а, в, α, β > имеет параметры а, в, α и β , которые определяются следующим образом:

а=а1а2, в=в1в2, α =а1α 2+ а2α 1, β =в1β 2+в2β 1. (3.10)

Определение 3.16

Деление положительных ТНИ Ат и Вт, т.е. носители которых есть подмножества R+, модальные значения а1 0, а2 0. Операция деления таких ТНИ обозначается через Ат÷ Вт=Ст, нечёткое число Ст =< а, в, α, β > имеет параметры а, в, α и β , которые определяются следующим образом:

а= , в= α = , β = . (3.11)

Например, для конкретных ТНИ Ат= < 3, 5, 1, 2> - «нечёткий интервал от 3 до 5» и Вт < 1, 2, 1, 1> - «нечёткий интервал от 1 до 2» результаты арифметических операций равны:

Ат+ Вт=< 4, 7, 2, 3>, Ат-Вт=< 2, 3, 2, 3>.

Упражнения

1. Проверьте выполнение следующих свойств операций над ТНЧ и ТНИ:

a) коммутативность операций сложения и умножения;

b) дистрибутивность умножения относительно сложения и вычитания.

2. Задайте в виде нечётких чисел или нечётких интервалов следующие величины:

a) «примерное время выполнения домашней работы»;

b) «молодой человек»;

c) «ожидаемый доход»;

d) «возможные расходы»;

e) «предполагаемая температура».

Решите задачи, в которых известны нечёткие начальные данные.

3. Требуется рассчитать возможную стоимость материалов для заливки бетоном площадки, имеющей прямоугольную форму со сторонами примерно равными А м и В м, приблизительная глубина заливки H м. Бетон состоит из песка и цемента, в пропорции 2 к 1. Смесь песка с цементом разводится водой: на 1 часть смеси берётся 2 части воды. Цена 1 м³ песка примерно равна N руб., 1 м³ цемента M руб. Величины A, B, H, N, M заданы нечёткими треугольными числами:

А = < 4, 0.1, 0.1>, В=< 5, 0.1, 0.1>, H=< 2, 0.1, 0.1>, N=< 100, 10, 10> , M=< 400, 10, 10>.

4. На одном и том же полуторатонном грузовике проверенный опытом водитель имеет норму расхода бензина A=< 16, 1, 1> литров на 100 км, а молодой, менее опытный водитель, B=< 19, 20, 1, 2> литров на 100 км. За день водитель проезжает C=< 1000, 50, 50> км, стоимость бензина равна D=< 24, 1, 1> руб. Какова разница в цене за бензин за день у опытного и менее опытного водителя?

5. Придумайте и решите задачу с нечёткими начальными данными.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какими особенностями должно обладать нечёткое множество, чтобы его можно было назвать нечёткой величиной?

2. Приведите пример нечёткого множества, которое не является нечёткой величиной.

3. Поясните, почему нечёткий интервал является нечётким числом. Верно ли обратное утверждение.

4. Можно ли обычное число представить как нечёткое число, а обычный числовой интервал представить как нечёткий интервал?

5. Приведите примеры из жизни, где мы используем нечёткие числа и интервалы для описания приблизительных числовых величин.

 

Тема 4. НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ

Учебные вопросы:

1. Определение нечёткого отношения.

2. Бинарные нечёткие отношения.

3. Характеристики бинарных нечётких отношений.

4. Сравнения нечётких отношений, операции над нечёткими отношениями.

5. Композиция нечётких бинарных отношений.

6. Свойства бинарных нечётких отношений, заданных на множестве Х Х.

Изучив данную тему, студент должен

знать:

· определение n – арного нечёткого отношения и бинарного нечёткого отношения;

· способы задания нечётких множеств: аналитический, графический, табличный;

· определения основных характеристик бинарных отношений: носитель, ядро, точки перехода, границы отношения;

· определения операций над нечёткими бинарными отношениями;

· определение операции композиция бинарных нечётких отношений;

· свойства бинарных нечётких отношений, заданных на множестве Х Х: рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность, полнота.

уметь:

· задавать нечёткие отношения разными способами;

· определять основные характеристики нечёткого отношения;

· находить результаты операций над нечёткими отношениями;

· находить композицию нечётких отношений;

· определять свойства нечётких отношений, заданных на множестве Х Х.

понимать:

· смысл операций над нечёткими отношениями;

· смысл операции композиция;

· смысл свойств бинарных нечётких отношений, заданных на множестве Х Х: рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность, полнота.

Методические рекомендации по изучению темы:

При освоении темы необходимо:

· изучить содержание параграфов;

· акцентировать внимание на смысл операций объединение, пересечение, разность, симметрическая разность, дополнение бинарных отношений и операции композиция;

· выполнить упражнения после параграфов;

· ответить на контрольные вопросы после параграфов.

 

4.1 Определение нечёткого отношения

Пусть Х = Х₁´ Х₂´ ...´ Х_n - прямое (декартово) произведение универсальных множеств.

Определение 4.1

Нечетким n-арным отношением называется нечёткое множество Q, заданное на универсуме Х. Символически определение нечёткого отношения записывается в виде:

Q={< < х1, х2, …, хn>, µ_Q< х1, х2, …, хn> > │ x1 Х₁, х2 Х₂, …, хn Х_n, µ_Q [0, 1]}.

Пустое нечёткое отношение – это нечёткое отношение, в котором каждый элемент универсума Х = Х₁´ Х₂´ ...´ Х_n имеет значение функции принадлежности равное 0. Пустое отношение обозначается ᴓ.

Полное нечёткое отношение – это нечёткое отношение, в котором каждый элемент универсума Х = Х₁´ Х₂´ ...´ Х_n имеет значение функции принадлежности равное 1, то есть полное нечёткое отношение совпадает с универсумом Х = Х₁´ Х₂´ ...´ Х_n.

В случае n=2, нечетким отношением Q между множествами Х и Y будет называться функция R: ( Х, Y)® [0, 1], которая ставит в соответствие каждой паре элементов < х, y> Î X´ Y величину m_Q(x, y) Î [0, 1]. Такое отношение называется бинарным. Символическое определение нечёткого бинарного отношения: Q={< < х1, х2>, µ_Q< х1, х2> > │ x1 Х₁, х2 Х₂, µ_Q [0, 1]}

В случае, когда X = Y, т.е. X и Y совпадают, нечеткое отношение Q: X´ X®[0, 1] называется нечетким отношением на множестве X.

Рассмотрим подробно способы задания бинарных отношений.

Если множества Х и Y множества бесконечные, то функцию принадлежности можно задать аналитически.

Пример 4.1

Пусть X = Y=R, т.е. множество всех действительных чисел. Отношение x> > y: «x намного больше y»можно задать функцией принадлежности:

Пример 4.2

Отношение Q, для которого m_Q(x, y) = e ^-k(x-y)2, при достаточно больших k можно интерпретировать так: «x и y близкие друг к другу числа».

Если множества Х и Y конечные, то бинарное отношение можно задать перечислением всех элементов. Удобнее это делать в виде таблицы (матрицы).

Пример 4.3

Пусть X = {x₁, x₂, x₃}, Y = {y₁, y₂, y₃, y₄}. Нечеткое отношение Q может быть задано, к примеру, таблицей:

 

	y1	y2	y3	y4
x1			0, 1	0, 3
x2		0, 8		0, 7
x3		0, 5	0, 6

В случае конечных или счетных универсальных множеств нечёткие отношения можно представить в виде нечёткого графа. Если нечёткое отношение Q задано на X ´ Х пара вершин (x_i, x_j) соединяется ребром с весом m _Q (x_i, x_j).

Пример 4.4

Пусть на множестве Х={x₁, x₂, x₃} задано нечеткое отношение R: X´ X® [0, 1], представимое графом, изображённым на рис.4.1.

Рис. 4.1. Нечёткий граф отношения R на X´ X.

Если нечёткое отношение Q задано на X ´ Y, то пара вершин (x_i, y_j) соединяется ребром c весом m_R(x_i, y_j).

Пример 4. 5

Пусть X={x₁, x₂} и Y={y₁, y₂, y₃}, тогда нечеткий граф, изображённый на рис.4.2 задаёт нечёткое отношение Q.

Рис.4.2 Нечёткий граф отношения Q на X´ Y.

Так как нечёткие отношения являются частными случаями нечётких множеств, то все определения основных характеристик для нечётких множеств и операции над нечёткими множествами остаются в силе и для нечётких отношений.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Сформулируйте определение носителя, ядра, границ, точек перехода нечёткого бинарного отношения Q, заданного на множестве X´ Y.

2. Для нечётких отношений Q₁ и Q₂, заданных на множестве X´ Y, сформулируйте определение операций объединения, пересечения, разности, симметрической разности, дополнения.

3. На множестве X´ Y, Х=Y={1, 2, 3, 4, } задайте отношение Q «хi примерно равен хj» и отношение R «хj немного меньше хj» в виде матриц отношений М_Q и М_R. Найдите:

a. Носитель, ядро, границы, точки перехода отношения Q и отношения R.

b. Объединение Q и R, пересечение Q и R, разность Q и R, симметрическую разность Q и R, дополнение Q и дополнение R.

4. Приведите примеры нечётких отношений Q и R, заданные на множестве Х ´ Y, если:

a. множества Х и У бесконечные;

b. множества Х и У конечные;

c. множество Х конечное, Y – бесконечное.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Приведите примеры бинарных отношений из повседневной жизни.

2. Объясните смысл операций объединения, пересечения, разности, симметрической разности, дополнения нечётких бинарных отношений.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: