Композиция двух бинарных нечётких отношений

Пусть Q и R – конечные или бесконечные нечёткие отношения, причём нечёткое отношение

Q ={< < хi, хj>, µ_R< хi, хj> > │ xi Х₁, хj Х₂, µ_Q [0, 1]} задано на декартовом произведении универсумов X₁ ´ Х₂ , а нечёткое отношение

R ={< < хj, хk>, µ_R< хj, хk> > │ xj Х₂, хk Х₃, µ_R [0, 1]} задано на декартовом произведении универсумов X₂ ´ Х₃.

Определение 4.2

Композицией двух бинарных нечётких отношений Q и R называется нечёткое отношение Q R, заданное на множестве X₁ ´ Х₃ , функция принадлежности которого для < хi, хk> X₁ ´ Х₃ определяется формулой:

µ_{Q R}(< xi, хk> )= min{µ_Q(< хi, хj> ), µ_R(< хj, хk> )}}.

Определённую таким образом композицию нечётких отношений называют max-min композицией или максминной свёрткой нечётких отношений.

Пример 4.6

ПустьR₁ - нечеткое отношение на множестве X Y, и R₂ - нечеткое отношение на множестве Y Z, Х={х1, х2}, Y={у1, у2, у3}, Z={z1, z2, z3, z4}. Отношения R₁ и R₂заданы матрицами М_R1 и M_R2. Композицией нечетких отношений R₁ и R₂ является нечёткое отношение R на множестве X Z, представленное матрицей М_R (рис.4.3).

МR1   y1 y2 y3 x1 0, 1 0, 7 0, 4 x2 0, 5

МR2   z1 z2 z3 z4 y1 0, 9 0, 2 y2 0, 3 0, 6 0, 9 y3 0, 1 0, 5

МR   z1 z2 z3 z4 x1 0, 3 0, 6 0, 1 0, 7 x2 0, 9 0, 5 0, 5

Рис.4.3 Матрицы нечётких отношений R₁ и R₂ и их композиции R

На рис.4.4 приведены графы, соответствующие R₁ и R₂, «склеенные» по Y. В полученном графе рассматриваем пути от x_i к z_j и каждому ставим в соответствие минимальный из «весов» его составляющих. Затем определяем максимум по всем путям из x_i в z_j, который и дает искомое значение функции принадлежности µ_R(x_i, z_j) отношения R.

 

Рис. 4.4 Представление операции композиции нечётких отношений R₁ и R₂ в виде нечёткого графа.

На рис.4.5 представлен нечёткий граф отношения R.

Рис.4.5 Нечёткий граф отношения R.

Из определения операции композиции бинарных нечётких отношений следует, что она ассоциативна, дистрибутивна, относительно нечёткого пересечения. Другими словами, для произвольных бинарных нечётких отношений P, Q и R, заданных на декартовых произведениях X₁ ´ Х₂, X₂ ´ Х₃ и X₁ ´ Х₃ соответственно, имеет место свойство:

1)Р (Q R)= (Р Q R – свойство ассоциативности операции композиция.

Для бинарных отношений P, Q и R, заданных на декартовых произведениях X₁ ´ Х₂, X₂ ´ Х₃ и X₂ ´ Х₃ соответственно, имеют место следующие свойства:

2) Р (Q R)= (Р Q R) – свойство дистрибутивности операции композиция относительно операции объединения;

3) Р (Q R)= (Р Q R) - свойство дистрибутивности операции композиция относительно операции пересечения.

Кроме того, для max-min композиции произвольных бинарных нечётких отношений P, Q и R, заданных на декартовых произведениях X₁ ´ Х₂, X₂ ´ Х₃ и X₂ ´ Х₃ соответственно, выполняется свойство:

4) если Q R, то (Р Q)⊆ R) – свойство монотонности.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Нечёткая модель «Выбор профессии». Рассмотрим типичную ситуацию, связанную с консалтингом в области выбора профессии для последующего обучения и получения специальности. С этой целью построим нечёткую модель, основанную на двух бинарных нечётких отношениях S и Z.

На множествах Х и У задано нечёткое отношение S, на множествах У и Z задано нечёткое отношение G. Множество Х – множество специальностей, по которым проводится набор на обучение, У – множество психофизиологических характеристик специальностей. Отношение S содержательно описывает психофизиологическое профилирование специальностей. Множество Z – множество кандидатов на обучение. Отношение G - содержательно описывает психофизиологическое профилирование кандидатов на обучение.

Пусть множество Х={ х1, х2, х3, х4, х5}, где х1 – «менеджер», х2 – «программист», х3 – «водитель», х4 – «секретарь-референт», х5 – «переводчик». У={у1, у2, у3, у4, у5, у6, у7, у8, у9, у10}, где у1 – «быстрота и гибкость мышления», у2 -«умение быстро принимать решение», у3-«устойчивость и концентрация внимания», у4 – «зрительная память», у5- «быстрая реакция», у6-«двигательная память», у7-«физическая выносливость», у8 - «координация движений», у9 – «эмоциональная устойчивость», у10 – «ответственность».

Z = { z1, z2, z3, z4, z5}, где элементы множества Z хорошо известные вам люди, например ваши друзья. Отношение S задано матрицей M_S

Задайте нечёткое отношение G, при помощи матрицы Мg. Постройте max-min композицию S ° G нечётких отношений S и G на множествах Х и Z. Сделайте вывод о предпочтительном выборе специальностей из множества У кандидатами на обучение из множества Z.

2. Постройте композицию нечётких отношений S и G на множествах Х и Z из задания 1, используя альтернативную операцию композиции двух бинарных нечётких отношений S *G, функция принадлежности которой определяется следующим образом:

µ _{S *G} (< хi, хk> ) = , для < хi, хk> є Х× Z

хjєУ, где операция «·» - операция алгебраического умножения множеств.

Сравните результат с результатом задания №1.

3. Постройте нечёткую модель «выбор руководителя фирмы», «диагностика заболеваний» или любой другой ситуации.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какие условия должны быть выполнены для осуществления операции композиция между нечёткими отношениями P и Q?

2. Объясните смысл операции композиция между нечёткими отношениями P и Q.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: