![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Экстремумы функций. Возрастание и убывание функций.Стр 1 из 6Следующая ⇒
Экстремумы функций. Возрастание и убывание функций. Экстре́ мум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при x1< x2 выполняется неравенство (f(x1) < f (x2) (f(x1) > f(x2)). Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке [a, b] возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f '(x) > 0 (f ' (x) < 0). Выпуклость, точки перегиба, асимптоты графика функций. Непрерывная на отрезке [a; b] функция f (x) называется выпуклой вверх на этом отрезке, если для любых точек x1 и x2 из этого отрезка
Другими словами, если для любых точек x1 и x2 отрезка [a; b] секущая AB проходит под графиком функции f (x), то функция f выпукла вверх. Аналогично определяется функция, выпуклая вниз. Пусть функция f (x) непрерывна в точке Необходимое условие наличия точки перегиба. Если
Достаточные условия наличия точки перегиба. Пусть функция f (x) непрерывна и имеет конечную или бесконечную производную в точке асимптоты прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные. Первообразная функции и неопределенный интеграл. Таблица неопределенных интегралов. Первообра́ зной функции f называют такую F, производная которой равна f, то есть F ′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием. Так, например, функция Неопределённый интегра́ л для функции Если функция
Замена переменной в неопределенном интеграле. Метод интегрирования по частям. Вычислить интеграл Решение. Сделаем замену переменной tg x = t, тогда
Пусть функции и(х), v(x) имеют непрерывные производные, тогда для определённого:
Пример:
Определенный интеграл и его геометрический смысл. Определенный интеграл — это аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых — интегрируемая функция или функционал, а вторая — область во множестве задания этой функции. Проще говоря, это интеграл, численно равный площади части графика функции в пределах от a до b, т. е. площади криволинейной трапеции. Геометрический смысл определенного интеграла. Если f(x) непрерывна и положительна на [a, b], то интеграл
представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b, y = f(x). Основные свойства определенного интеграла. I. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. II. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю. III. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный. IV. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла. V. Формула Ньютона-Лейбница Пусть функция f (x) непрерывна на [a; b], а F (x) – какая-либо первообразная функции f на этом отрезке. Тогда
Экстремум функции многих переменных Безусловный экстремум Точка x0, y0 Теорема. Если u=f(x, y) имеет в x0, y0 локальный экстремум и диф-ма в этой же точке, то Теорема. Пусть u=f(x0, y0) диф-ма в окрестности точки x0, y0 и дважды диф-ма x0, y0. Обозначим D=a11a22- Тогда если: 1) D> 0, то ф-ция имеет локальный экстремум 2) D< 0-экстремума нет 3) D=0- требуются дополнительные исследования Условный экстремум (x0, y0) Задача отыскания точек условного эк-ма равносильна поиску точек безусловного эк-ма, так наз-ой ф-ции Лангранжа: -составим ф-цию: где
-Составим систему из уравнений -Если полученная система имеет решение, то есть решение исходной задачи
Площадь фигуры и объём тела Под фигурой в Фигура F наз. эл-ой, если она сост. из конечных прям-ов Пi, которые имеют общие точки возможно лишь на границе. Элементарные фигуры Объём. Под телом в
Тройной интеграл. Если сущ. Конечный предел и выбора точек ( Тройной интеграл изучают и используют по аналогам с двойным. Аналогично двойному интегралу сущ. формулы, позволяющие перейти от тройного интегр. к повторному(или двойному) Например, если T-парал-ед, а
Пусть ф-ция f(x, y, z)непрерывна на D, тогда тройной интеграл по D
где I(u, v, w)-матрица Якоби отображения Отметим основные классы интегрирования ф-ции: 1.непрерывные на компакте 2.оганиченные и непрерывные на мн-ве D, за исключением подмножества мн-ва D, объем которого равен 0. 3. произведение интегрируемых ф-ций.
Условие Эйлера
Теорема.Пусть односвязное мн-во G ограничено кривой L, т.е. кривая L замкнутая.И пусть ф-ция P и Q непрерывно диференц. в области G.Тогда след. 4 услов. эквивалентны: 1. 2.Интеграл 3.Выражение 4.Ф-ции P и Q удовлетв. условию Эйлера Замечание.При нахождении ф-ции F за основу можно брать рав-во
Комплексные числа. Комплексные числа записываются в виде: a+ bi. Здесь a и b – действительные числа, а i – мнимая единица, т.e. i 2 = –1.Число a называется абсциссой, a b – ординатой комплексного числа a+ bi. Два комплексных числа a+ bi и a – bi называются сопряжёнными комплексными числами. Модулем комплексного числа называется длина вектора OP.. Модуль комплексного числа a+ bi обозначается | a+ bi | или буквой r и равен:
Аргумент комплексного числа - это угол Рассм. 2 комплексн. числа, запис. в тригонометр. формуле: z1 = r1(cos φ 1 + i sin φ 1) и z2 = r2(cos φ 2 + i sin φ 2). Имеем: 1. z1+ z2= r1cos φ 1+ r2cos φ 2 +i( r1sin φ 1+ r2sin φ 2) 2. z1* z2= r1r2(cos φ 1+ isin φ 1 )( cos φ 2 + i sin φ 2)= r1r2(cos φ 1 cos φ 2 +i cos φ 1 sin φ 2+ isin r1r2cos φ 2 -sin φ 1 sin φ 2)= r1r2(cos(φ 1+φ 2)+isin(φ 1+φ 2) Из этой формулы след. формула Муавра:
3. 4.
25.Линейное пространство: определение и примеры. Определение1. Мн-во V с определ-ми на нем операц. сложен. вект. и умнож. вект. на число назыв.веществ.вектор.(линейн) простр-ом, если указанные операц. облад след св-ами: 1.x+y=y+x(коммуникат) 2.x+(y+z)=(x+y)+z(фссщциативность) 3.сущ. нулевой элем. мн-ва V, обознач. 0, такой что 0+x=x, 0, х 4.для 5. 6. 7. 8.1*x=x x Примеры: 1.Если V есть мн-во своб вект.|R3 c обычным пониманием опер слож вект. и умнож.вект. на число. 2.мн-во 3.мн-во Замечание.комплексное вект. пр-во опред. так же, как и веществ. вект. пр=во, если только в опред.1 мн-во
Матрица линейного оператора Пусть Vn векторные пространства, f – лин. Оператор, Е= f( ………………………………………………….. (1)
g( Составим матрицу А= Возьмем Х Из этого равенства на основании того, что базисные векторы линейно независимы, имеем У=АХ (2) (2) позволяет поставить в соответствие каждому опретору произведение матрицы на координатный столбец, т.е. любой лин. оператор можно определить соотношением (2)
31. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Подобные матрицы Пусть V – линейное пространство, заданное двумя базисами е= x=EX=E′ X′ (2) y=EY=E′ Y′ Используемые матрицы А и В запишем: У=АХ, У′ =ВХ′ SY=BSX SAX=BSX – это равенство справедливо для любого вектора х, поэтому S′ A=BS A= (3) устанавливает связь между матрицами 1-ого и также лин. оператора в разных базисах. Определение: матрицы А и В называются подобными, если существует невырожденная матрица S, что A= Свойства: 1) Если А~В, В~С, то А~С А= B=
2)определители и ранги подобных матриц равны
Свойства · Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны. · Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны. · Для приведения квадратичной формы к каноническому виду обычно используется метод Лагранжа Из коэффициентов квадратичной формы составим симметричную матрицу А= которую назовем матрицей квадратичной формы. 36. Метод Лагранжа — метод приведения квадратичной формы к каноническому виду Метод Лагранжа - это просто метод выделения полных квадратов. Например:
Экстремумы функций. Возрастание и убывание функций. Экстре́ мум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при x1< x2 выполняется неравенство (f(x1) < f (x2) (f(x1) > f(x2)). Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке [a, b] возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f '(x) > 0 (f ' (x) < 0). |
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-14; Просмотров: 838; Нарушение авторского права страницы