Выпуклость, точки перегиба, асимптоты графика функций.

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 6Следующая ⇒

Непрерывная на отрезке [a; b] функция f (x) называется выпуклой вверх на этом отрезке, если для любых точек x₁ и x₂ из этого отрезка

Другими словами, если для любых точек x₁ и x₂ отрезка [a; b] секущая AB проходит под графиком функции f (x), то функция f выпукла вверх.

Аналогично определяется функция, выпуклая вниз.

Пусть функция f (x) непрерывна в точке и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда точка называется точкой перегиба функции f, если в этой точке изменяется направление ее выпуклости.

Необходимое условие наличия точки перегиба. Если – точка перегиба функции f (x), и функция f (x) имеет вторую производную, непрерывную в этой точке, то

Достаточные условия наличия точки перегиба.

Пусть функция f (x) непрерывна и имеет конечную или бесконечную производную в точке Если меняет знак при переходе через точку то – точка перегиба функции f (x).

асимптоты прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

Первообразная функции и неопределенный интеграл. Таблица неопределенных интегралов.

Первообра́ зной функции f называют такую F, производная которой равна f, то есть F ′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием. Так, например, функция является первообразной .

Неопределённый интегра́ л для функции — это совокупность всех первообразных данной функции.

Если функция определена и непрерывна на промежутке и — её первообразная, то есть при , то

;

Замена переменной в неопределенном интеграле. Метод интегрирования по частям.

Вычислить интеграл .

Решение.

Сделаем замену переменной tg x = t, тогда . Получим табличный интеграл , где C - произвольная постоянная. Производя обратную замену переменной, получим:

Пусть функции и(х), v(x) имеют непрерывные производные, тогда — формула интегрирования по частям. Она применяется, если более прост для интегрирования, чем . для неопределённого интеграла:

для определённого:

Пример:

Определенный интеграл и его геометрический смысл.

Определенный интеграл — это аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых — интегрируемая функция или функционал, а вторая — область во множестве задания этой функции.

Проще говоря, это интеграл, численно равный площади части графика функции в пределах от a до b, т. е. площади криволинейной трапеции.

Геометрический смысл определенного интеграла. Если f(x) непрерывна и положительна на [a, b], то интеграл

представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b, y = f(x).

Основные свойства определенного интеграла.

I. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. , где х, t – любые буквы.

II. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю.

III. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный.

IV. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.

Рассмотрим функцию , заданную на отрезке , и предположим, что она интегрируема на отрезке . Тогда при любом эта функция будет интегрируема на отрезке и, следовательно, функция определена при всех . При мы по определению положим её равной 0, то есть будем считать, что для любой функции и точки из её области определения. Итак, функция равняется значению определённого интеграла с переменным верхним пределом, вычисленного от интегрируемой функции , не обязательно непрерывной.