Линейная зависимость и независимость векторов в линейном пространстве.

Определение1.Сис-ма векторов a_1…a_n(или векторы)назыв. линейно-независ., если их лин. комбин. а=0 только в том случае, если все , в противном случаи данная сист. век-ов (векторы)назыв. лин-зависимыми.

Другими словами векторы a_1…a_n лин-зависимы, если сущ. числа , одновремнно не равные нулю такие, что линейн комбин.

Утверждение 1.Если в сик. вект-ов a_1…a_n имеется нулевой вектор, то система векторов лин-зависимы.

Док-во.Пусть а₁=0.Составим a= a₁+ a₂+….+ a_n, где -любое число, … =0, a=0.

Утверждение2.Если некот. из век-ов в сист. a_1…a_n явл. лин-зависимыми, то и вся система вект. лин-зависима.

Утверждение 3.Векторы a_1…a_n лин-зависимы тогда, когда хотя бы один из них выражается через остальные.

Док-во.Пусть для определ-сти вект а₁ выражается через остальные, т.е.а₁= a₂+… a_n.

Положим , тогда лин. комбин. a₁+ a₂+….+ a_n=0 (1), т.е. вект лин-зависимы.

Пусть теперь векторы a_1…a_n лин-зависимы, тогда имеет место (2) причем (2)не все равны 0.предположим для определ., что , тогда из (2) …- ,

т.е. вектор а₁ выражается через остальные векторы сис-мы .

 

Базис и размерность линейных пространств. Координаты вектора.

Рассм. вект. пр-во V.

Определение.Сис-ма вект. векторного пр-ва V назыв базисом, если она лин-независ. и каждый вектор пр-ва V выраж. через неё.Лин. пр-во V, имеющее базис, сотоящий из конечного числа элементов назыв конечномерным.Число элементов входящих в базис назыв размерностью пр-ва V.

 

Пусть в пр-ве V задан базис (e₁…e_n), т.е. пр-во V явл конечномерным.Его размерность будем обозначать dim, т.е.dimV=n, далее будем обозн. V_n.

 

Утверждение1.В пр-ве V_n любая линейно-независ сис-ма nвекторов явл. базисом.

 

x = 1e1 + … + nen.

(1)

Выражение (1) называется разложением вектора x по базису e1, …, en.

Если обозначим базис E=(e₁…e_n), ввести вектор (координаты столбец вектора х), то рав-во (1) можно записать в виде x=E .

Замечание.Обратим внимание, что базисные векторы упорядоченные.Если измен. порядок следования векторов в базисе, то получим новый базис.

Теорема1. Координаты вектора в заданном базисе определ одназначно.Другое разложение вектора по базису единственное.

Теорема2. Два век-ра в пр-ве V_n равны тогда, когда равны их соответствуюшие координаты.

28.Преобразование координат.

Пусть в Vn задано 2 вектора(базиса) F= )и F′ =( )и пусть вектор Х Vn в базисе Е имеет координаты α = (т.е. вектор-столбец координат), и в базисе имеет координаты α ′ = Здесь индексы и указывают на базисы, взятые в соответствии с координатами. Установим связь между α и α ′

Сначала элементы в разложим по базису Е:

 

= )( )

………………………………………………………………. (1)

 

= )( )

 

Если ввести матрицу А= , то (1) можно заменить Е′ =ЕА (2)

Матрица А называется матрицей перехода от базиса Е к Е′. Обратим внимание, что каждый k-ый столбец матрицы А представляет собой координаты вектора в базисе Е. А поскольку базисные вектора линейно независимые, то и столбцы А линейно независимы, т.е. матрица А невырожденная.

Построим вектор Х, с использ. координат его можно записать: Х=Еα -Е′ α ′

Это равенство в силу А перепишем в виде Еα =ЕАα ′ => Е(α -Аα )′, отсюда α =Аα ′ (3) Формула (3) выражает зависимость между координатами вектора Х в базисе Е и Е′, т.е. зная координаты базиса Е в Е′ по формуле(3) можно найти координаты вектора, верно и обратное, т.к. из (3) следует:

Α =

.

 

 

Линейные отображения. Линейные операторы

Пусть v и векторные пространства, отображение f: v→ называется линейным, если:

 

1) ,

.

для всех х, у Vи α R.

Таким образом линейные преобразования сохраняют линейные операции. Обратим внимание, что в соответствии (х+у), α (х) используются операции сложения и умножения определены в пространстве V, а f(x) + f(x), α f(x) определены в пространстве V′.

V и V′ в общем случае могут отличаться

Свойства линейных преобразований:

1)Если f: v→ линейное преобразование, и векторы( … ) линейно зависимы в пространстве V, то линейно зависимы вектора f( ), f( )

Примеры:

1) преобразование i: V→ V′, i(x)

2) f(x)=Ax, где Ax – матрица размера m*n

3) Преобразование f: R→ и действия по правилу

F(x)=f( + )=

a+ib не принадлежит С

Примеры лин.оператора:

1) В прос-ве

Умножение матрицы-столбца(строки) на квадратную матрицу

В пространстве свобод.векторов поворот вектора на заданный угол

Матрица линейного оператора

Пусть Vn векторные пространства, f – лин. Оператор, Е= ) – базис в Vn. Раз f: Vn в себя, то элементы f( ), f( ) будут элементами пр-ва Vn, а значит их можно разложить по базису Е

f( )= )

………………………………………………….. (1)

 

g( )= )

Составим матрицу А= Обозначим f(E)=f( …f( Тогда (1) можно записать в виде: f(E)=EA. Матрица А называется матрицей линейного оператора f в базисе Е. Заметим, что матрица А зависит от базиса. Итак, показали, что каждому лин. оператору соответствует в заданном базисе матрица, верно и обратное. Обратим внимание, что каждый k-ый столбец матрицы А представляет собой координаты элемента f( ).

Возьмем Х Vn и положим у=f(х). Пусть Х, У координаты столбца-вектора х и у в базисе Е, тогда ЕУ=f(x)=f(EX)=f(E)X=EAX

Из этого равенства на основании того, что базисные векторы линейно независимы, имеем У=АХ (2)

(2) позволяет поставить в соответствие каждому опретору произведение матрицы на координатный столбец, т.е. любой лин. оператор можно определить соотношением (2)

 

 

31. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Подобные матрицы

Пусть V – линейное пространство, заданное двумя базисами е= ) и е′ =( ). Пусть S матрица перехода от базиса к базису e’, т.е. Е′ =SE (1) Пусть f – линейный оператор, действующий в пр-ве Vn, матрица которого в базисе Е обозначена через А, а в базисе Е′ через В. Возьмем х Vn и положим у=f(x). Векторы х и у разложим по базисам Е и Е′

x=EX=E′ X′ (2)

y=EY=E′ Y′

Используемые матрицы А и В запишем: У=АХ, У′ =ВХ′

SY=BSX SAX=BSX – это равенство справедливо для любого вектора х, поэтому S′ A=BS

A= BJ(или B=SA ) (3)

(3) устанавливает связь между матрицами 1-ого и также лин. оператора в разных базисах.

Определение: матрицы А и В называются подобными, если существует невырожденная матрица S, что A= BS, В= AS При этом матрица S называется трансформирующей. Ра-ва A= BJ называется преобразованием подобия или преобразованием матрицы.

Свойства:

1) Если А~В, В~С, то А~С

А= BS

B= С => A= C = C S= S

 

2)определители и ранги подобных матриц равны

 

 

 

⇐ Предыдущая123456

Поделиться: