Несобственные интегралы первого и второго рода

Первого рода. Предположим, что функция задана на бесконечном промежутке вида и интегрируема на любом конечном отрезке , где . Таким образом, можно рассмотреть функцию, зависящую от верхнего предела, как от переменной:

Если эта функция имеет предел при , то число называется значением несобственного интеграла первого рода:

а сам определенный интеграл называется сходящимся. Если же предела не существует, то интеграл называется расходящимся и не имеет никакого числового значения.

Второго рода. Если функция не ограничена на промежутке интегрирования и промежуток интегрирования конечен, то определенный интеграл является несобственным интегралом второго рода.

Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна на [a, b) и в точке b функция не ограничена.

Если предел, стоящий справа, существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся и равен значению этого предела, в противном случае интеграл называется расходящимся.

 

10. Векторное пространство : основные понятия

– множество возможных упорядоченных после-ей n действительных чисел. Элементы x=(x1, x2…xn) множество будем называть точками, а точки x1…xn-координатами. Суммой наз-ся точка x+y=(x1+y1…xn+yn), произведение ax=(ax1…axn).Расстоянием в наз-ют ф-цию

d: (x, y) → d(x, y) R удовлетв-ую условиям:

1. d(x; y) > 0; d(x; y) = 0 x = y

2. d(x; y) = d(y; x) (симметричность)

3. d(x; y) < d(x; z) + d(z; y) (неравенство треугольника)

Формула d(x, y)= –определяет расстояние в

Точка m наз-ся граничной точкой множества M, если в любой её окружности есть точка множества М и точки не принадлежат М. Совокупность всех граничных точек мно-ва М наз-ся границей М.

 

11. Предел последовательности в IRn. Предел функции многих переменных.

Отображение a: N , a: k а(k) = ( ), наз-ся послед-ью точек из . Последовательность обозначают ( . Говорят, что после-ть( ) сход-ся к пределу а , если lim при k d( , a)=0

Теорема. lim при k =(a1…an) lim при k , i=1,..n

Док-во: Пусть lim при k , т.е при достаточно больших k выпол. , тогда g( . Теорема доказана.

Теорема(критерий Коши): Для того, ч тобы пос-ть сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной:

Число А наз-ся пределом фу-ции u=f(x) при x , если .

Пусть L X, a- предельная точка множества L. Число А наз-ют пределом ф-ции f при х , если

если и обозначают lim при х , х f(x)=A.

 

Непрерывность функции многих переменных

Определение1.Функция f наз. непрерывной в точке x0, если lim f(x)=f(x0). Это означает, что

( ε > 0 δ > 0) ( x D, d(x, x0)< δ ): d (f (x), f (x0)) < ε.

Определение 2. Функция y=f(x) непрерывна в точке x0 вдоль множества L, если lim f(x)=f(x0) при x→ x0

Определение3. Функция u = f(x) = f(x1 … xn) называется непрерывной в точке a = (a1… an) по переменной xk, если lim при Δ xk → 0 δ xku = 0.

Теорема 1. Если функция u = f(x) = f(x1, x2, …, xn) непрерывна в точке a, то она непрерывна в этой точке по каждой переменной x1, x2, …, xn.

Обратное утверждение неверно.

Теорема 2. Пусть функции f(x) и g(x), определены в области D М Rn и непрерывны в точке a = (a1, a2, …, an) Î D.

Тогда функции f(x) + g(x), f(x) · g(x) и f(x)/g(x) (при g(a) ≠ 0) непрерывны в точке a

.Теорема 3. Всякая элементарная функция нескольких переменных непрерывна на множестве, на котором она определена.

Теорема 4. Функция, непрерывная на замкнутом ограниченном множестве, ограничена на этом множестве.

Теорема 5 (Вейерштрасс). Функция, непрерывная на замкнутом ограниченном множестве, достигает на этом множестве своего наибольшего и наименьшего значений.

Дифференцируемость функции многих переменных. Производная по направлению. Градиент.

U=f(x) диф-ма в точке х, если её приращение можно представить в виде: , где p= .

Теорема. U=f(x) диф-ма в точке х, тогда она в этой точке имеет частные производные по всем переменным и её диф-л опред.: du=

Теорема 2. Если u=f(x) имеет в х частные производные, непрерывные в некоторой окружности точки х, тогда ф-ция u=f(x) диф-ма в точке х.

Док-во:

Произ-ая по направлению. Градиент.

Пусть u=f(x, y, z), (x, y, z) , l(l1, l2, l3)-вектор.

- приращение вдоль направления L.Производной ф-ции u по нaправлению L наз-ют предел и обоз-ют .

Вектор наз-ют градиентом ф-ции u=f(xn) и обозначают grad f= grad u.

Cв-ва:

1) grad(

2) grad (fg)= g grad f+ f grad g

3) grad h(f)= (f) grad f

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: