Криволинейный интеграл первого рода, формула его вычисления.

Определение 1. Интегральной суммой для функции f (x; y) по дуге AB называется сумма вида: .

Определение 2. Криволинейным интегралом от функции f (x; y) по дуге AB (или криволинейным интегралом I рода) называется предел интегральной суммы вида

при условиях:

1) ;

2) этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения дуги AB на части, ни от выбора на каждой из частей точек .

Теорема. Пусть ф-ция x(t), y(t), z(t) определяющие кривую непрерывно дифференцир-мы, тогда криволин. интеграл можно вычислить по фbормуле

dt

 

Свойства криволинейного интеграла первого рода.

 

1.Св-во линейности

2.Если f(x, y, z) g(x, y, z), то

3. Если кривая сост. из 2-х частей , то

4.Если m f(x, y, z)

5.(теорема о среднем значении)

Если f(x, y, z) непрерывна на кривой , а f-длина кривой

 

Криволинейный интеграл второго рода и формула его вычисления. Связь с криволинейным интегралом первого рода.

Определение. Если сущ. конечные пределы интегральных сумм , ,

при , , , то эти пределы назыв. криволин. интегралами 2-ого рода по кривой и соответственно обозначаются

 

;

Общий криволинейный интеграл 2-ого рода обозначают

При смене на кривой направления кривол. инт. 2-го рода меняет знак:

=-

Теорема. Пусть ф-ции x(t), y(t), z(t), входящие в определение кривой непрерывно дифференцир. на [a, b], ф-ции P(x, y, z), непрерывны на кривой , тогда справедлива формула

Связь между кривол. ин. 1-го и 2-го рода.

Пусть (cos ) есть единичный направляющ. вектор касательно к кривой )dS

 

Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования. Формула Грина, условие Эйлера.

Определение. Криволинейный интеграл II рода называется независящим от пути интегрирования, если результат интегрирования будет один и тот

же по любому пути, соединяющему точки A и B, на котором функции P (x; y)и Q (x; y) непрерывны. Обозначение такого интеграла:

Теорема(формула Грина). пусть ф-ции P и Q имеют в области D непрерывные частные произ-ые, тогда инт. , при этом граница в области G обходится положит. направл-ем.

Формула Грина исп. для вычисления площадей.

Условие Эйлера

- назыв. условием Эйлера

Теорема.Пусть односвязное мн-во G ограничено кривой L, т.е. кривая L замкнутая.И пусть ф-ция P и Q непрерывно диференц. в области G.Тогда след. 4 услов. эквивалентны:

1.

2.Интеграл в области G не зависит от пути интегрирования.

3.Выражение явл. полным дифференц. в области G.

4.Ф-ции P и Q удовлетв. условию Эйлера

Замечание.При нахождении ф-ции F за основу можно брать рав-во , котор. сначало интегрир. по перемен. y, а затем дифференц. по перем. x.

 

Комплексные числа.

Комплексные числа записываются в виде: a+ bi. Здесь a и b – действительные числа, а i – мнимая единица, т.e. i ² = –1.Число a называется абсциссой, a b – ординатой комплексного числа a+ bi. Два комплексных числа a+ bi и a – bi называются сопряжёнными комплексными числами.

Модулем комплексного числа называется длина вектора OP.. Модуль комплексного числа a+ bi обозначается | a+ bi | или буквой r и равен:

 

Аргумент комплексного числа - это угол между осью OX и вектором OP, изображающим это комплексное число. Тригонометрическая форма комплексного числа. Абсциссу a и ординату b комплексного числа a + bi можно выразить через его модуль r и аргумент :

Рассм. 2 комплексн. числа, запис. в тригонометр. формуле:

z₁ = r₁(cos φ ₁ + i sin φ ₁) и z₂ = r₂(cos φ ₂ + i sin φ ₂). Имеем:

_1. z₁₊ z₂₌ r₁cos φ ₁+ r₂cos φ ₂ +i( r₁sin φ ₁+ r₂sin φ ₂₎

2. z_1* z₂₌ r₁r₂(cos φ ₁+ isin φ ₁ )( cos φ ₂ + i sin φ ₂)= r₁r₂(cos φ ₁ cos φ ₂ +i cos φ ₁ sin φ ₂+

isin r₁r₂cos φ ₂ -sin φ ₁ sin φ ₂)= r₁r₂(cos(φ 1+φ 2)+isin(φ 1+φ 2)

Из этой формулы след. формула Муавра:

 

.

3.

4. +isin , k=0, n-1

 

25.Линейное пространство: определение и примеры.

Определение1. Мн-во V с определ-ми на нем операц. сложен. вект. и умнож. вект. на число назыв.веществ.вектор.(линейн) простр-ом, если указанные операц. облад след св-ами:

1.x+y=y+x(коммуникат)

2.x+(y+z)=(x+y)+z(фссщциативность)

3.сущ. нулевой элем. мн-ва V, обознач. 0, такой что 0+x=x, 0, х

4.для сущ. противопол элем -х , такой что х+-х=0

5. , x

6. , x

7. , x, y

8.1*x=x x

Примеры:

1.Если V есть мн-во своб вект.|R³ c обычным пониманием опер слож вект. и умнож.вект. на число.

2.мн-во -мн-во матриц размера m , в кот. сложение вект и умнож вект на число понимаются всмысле сложен матриц и умножение матрицы на число.

3.мн-во [x]-мн-во многочленов с действит коэффиц степени .Операции слож вект и умнож вектора на число поним. в обычном смысле слож многочлена и умнож многочленов на число.

Замечание.комплексное вект. пр-во опред. так же, как и веществ. вект. пр=во, если только в опред.1 мн-во заменить на мн-во C.

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: