Производные и дифференциалы высших порядков для функций многих переменных. Формула Тейлора

Для функции y=f(x) производной порядка n называют производную производной порядка n-1. Обозначают (x), .

Теорема. Если u=f(x) имеет на некотором множ-ве D непрерывные частные производные до n-порядка включительно, то она наз-ся n-раз непрерывно диф-ой на множ-ве D.

Дифференциалом порядка n функции наз-ют диф-л от дифференциала порядка n-1. Обозначают . Диф-ом нулевого порядка считают .

Формула Тейлора. Пусть функция f(x) имеет в точке а все производные до порядка n включительно. Представление f(x) в виде: f(x)= (x-a)+ -наз-ют формулой Тейлора порядка n в точке a. Остаточным многочленом формулы Тейлора наз-ют разность , где - Многочлен Тейлора.

Экстремум функции многих переменных

Безусловный экстремум

Точка x0, y0 наз-ся точкой локального min(max), если сущ. Такая окрестность U(x0, y0) этой точки, что f(x, y) f(x0, y0),

Теорема. Если u=f(x, y) имеет в x0, y0 локальный экстремум и диф-ма в этой же точке, то .

Теорема. Пусть u=f(x0, y0) диф-ма в окрестности точки x0, y0 и дважды диф-ма x0, y0. Обозначим

D=a11a22- 12

Тогда если: 1) D> 0, то ф-ция имеет локальный экстремум

2) D< 0-экстремума нет

3) D=0- требуются дополнительные исследования

Условный экстремум

(x0, y0) наз-ся точкой условного лок-ого min(max), если сущ-ет такая окрестность U, что f(x, y) f(x0, y0), f(x, y) f(x0, y0), (x, y) U(x0, y0)/

Задача отыскания точек условного эк-ма равносильна поиску точек безусловного эк-ма, так наз-ой ф-ции Лангранжа:

-составим ф-цию:

где - вектор Лангранжа.

-Составим систему из уравнений

-Если полученная система имеет решение, то есть решение исходной задачи

Площадь фигуры и объём тела

Под фигурой в будем понимать любое множество точек. Прямоугольник П= . Площадь будем обозначать , тогда площадь прямоуг. .

Фигура F наз. эл-ой, если она сост. из конечных прям-ов Пi, которые имеют общие точки возможно лишь на границе. Элементарные фигуры , наз. соответственно описанными и вписанными в фигуру D, если .Внутренняя площадь S -sup, внешняя S -inf. Фигура D наз. квадрируемой, когда площадь её границы равна 0.

Объём. Под телом в будем понимать произвольное множество точек. Параллелепипед P= . . Эл-ым телом F наз. тело сост. из объединения конечного числа парал.Fi, которые имеют общие точки возможно лишь на границе. , наз. соответственно описан. и вписанным в тело D, если . Внутренний наз. sup, внешний -inf. Тело D будет кубируемым, когда объём его границы равен 0.

Определение двойного интеграла и его свойства

Пусть D – некоторая замкнутая ограниченная плоская область, т.е. множество

D ⊂ R^2 и пусть функция двух переменных f ( x, y ) определена во всех точках

области D. D=D1 ∪ D2 ∪ … ∪ Dn = ∪ Di, и обозначим площадь i-ой части через ∆ Si = S(Di).

Выберем в каждой части Di по точке Mi(xi, yi) и составим интегральную сумму ∑ f(xi, yi) ∆ Si.

Если существует конечный предел этих интегральных

сумм при λ → 0, не зависящий от способа разбиения области D и выбора точек Mi, то этот предел называется двойным интегралом от функции f (x, y) по области D, и обозначается:

∫ ∫ f(x, y)dxdy

Теорема . Если множество D замкнуто ограниченно и связно, а функция f (x, y) непрерывна на множестве D, то есть точка M0 (x0; y0 )∈ D такая, что ∫ ∫ f( x, y) dxdy =f (M0)S(D).

Свойства:

Линейность.

∫ ∫ (α f(x, y)+ β g(x, y) )dxdy= α ∫ ∫ f( x, y) dxdy+ β ∫ ∫ g( x, y) dxd

Аддитивность.

∫ ∫ f (x, y) dxdy=∫ ∫ f (x, y) dxdy+∫ ∫ f (x, y) dxdy

Интеграл от константы.

∫ ∫ С dxdy=C S(D), если С=const

Переход к неравенству.

Если для всех точек M ( x, y)∈ D верно неравенство f ( x, y ) ≤ g(x, y), то ∫ ∫ f (x, y) dxdy ≤ ∫ ∫ g(x, y)dxdy

18. Сведение двойного интеграла к повторному

Теорема 1. . Если функция f(x, y) интегрируема в прямоугольнике P = [a, b] ´ [c, d] и если " x Î [a, b] существует интеграл тогда существует повторный интеграл и он равен двойному: