Момент силы относительно точки

Одномерное движение

Движение будем называть одномерным, если положение механической системы (частицы), определяется с помощью одного параметра. В качестве такого параметра могут выступать координата, угол поворота и др. Данный параметр будем обозначать .

Кинетическая энергия в данном случае имеет вид -

, (5.1)

где - коэффициент инерции (в случае, если параметром является координата – масса), потенциальная энергия есть функция параметра и времени - . Согласно теореме об изменении механической энергии :

(5.2)

Если потенциальная энергия явно не зависит от времени, то и механическая энергия сохраняется. Т.к. кинетическая энергия не отрицательна, то

. (5.3)
Данное неравенство накладывает ограничения на допустимую область движения. Пусть функция имеет вид, показанный на рис.5.1, механическая энергия системы .

Движение возможно, если . Если , движение ограничено в пространстве и называется финитным. Если частица может уйти на бесконечность движение называется инфинитным. Движение невозможно, если .

Используя определение кинетической энергии (5.1), равенство в (5.3) можно записать так:

. (5.4)

Отсюда получаем уравнение движения частицы в дифференциальной форме:

. (5.5)

Конкретный закон движения определяется видом функции потенциальной энергии . Период одномерного финитного периодического движения определяется по формуле

. (5.6)

5.2 Задача двух тел

Задачей двух тел называется задача о движении двух частиц, составляющих замкнутую систему. Считаем, что частицы взаимодействуют между собой посредством потенциальных стационарных сил.

Внутренние силы не влияют на движение центра инерции системы; центр инерции системы движется прямолинейно и равномерно либо покоится. В дальнейшем движение частиц будем рассматривать в системе центра инерции (рис.5.2).

С

Рис. 5.2

Уравнения движения частиц системы имеют вид:

. (5.7)

Используя третий закон Ньютона, согласно которому , и , получим, что два уравнения системы (5.7) эквивалентны одному уравнению

, (5.8)

где - приведенная масса системы. Таким образом, задача двух тел сводится к задаче о нахождении закона движения изображающей точки с приведенной массой системы в поле центральной силы. Решая уравнение (5.8), находим закон движения изображающей точки . Далее по формулам

(5.9)

находим законы движения частиц системы. Из (5.9) следует, что траектории движения изображающей точки и частиц системы являются подобными.

5.3 Частица в центрально-симметричном поле. Интегралы движения

Рассмотрим движение частицы под действием центральной силы

. (5.10)

Сила (5.10) может быть записана через потенциальную энергию частицы:

. (5.11)

Потенциальная энергия частицы не зависит явным образом от времени. Это означает, что механическая энергия частицы сохраняется (первый интеграл движения):

. (5.12)

При движении частицы под действием силы (5.10) сохраняется орбитальный момент (второй интеграл движения):

. (5.13)

Из этого закона сохранения следует, что движение частицы происходит в некоторой плоскости, траекторией движения является плоская кривая (обобщение первого закона Кеплера). Из (5.13) вытекает, что секторная скорость движения частицы постоянна (второй закон Кеплера):

. (5.14)

Т.к. движение частицы является плоским, то для его описания целесообразно перейти в полярную систему координат (рис. 5.3). Скорость частицы в полярной системе координат записывается следующим образом:

, (5.15)

где - орты полярной системы координат. Орбитальный момент частицы в полярной системе координат записывается так:

. (5.16)

С учетом формул (5.15) и (5.16) интегралы движения частицы в полярной системе координат имеют вид

, (5.17)

. (5.18)

0

Рис. 5.3

5.4 Эффективный потенциал

Раскрыв скобки в формуле (5.17), можно записать

, (5.19)

где

(5.20)

- эффективный потенциал. Эффективный потенциал может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Первое слагаемое в (5.19) представляет собой кинетическую энергию радиального движения частицы, первое слагаемое в (5.20) – кинетическую энергию обращения частицы вокруг силового центра.

Из уравнения (5.19) получаем

(5.21)

- дифференциальное уравнение радиального движения частицы. Интегрируем (5.21) и находим зависимость расстояния частицы до силового центра как функцию времени (закон радиального движения частицы): . Далее из (5.18) находим

. (5.22)

Интегрируя последнее уравнение, получим закон изменения угла поворота частицы вокруг силового центра: . Разделив уравнение (5.22) на (5.21), найдем дифференциальное уравнение траектории движения частицы:

. (5.23)

Интегрируя (5.23), найдем уравнение траектории частицы: . Таким образом, задача о движении частицы в центральном поле полностью решена.

Траектория движения частицы в центральном поле есть плоская кривая. Она симметрична относительно прямой, проходящей через силовой центр и ближайшую (наиболее удаленную) точку траектории к силовому центру, если такая имеется (на это указывают знаки в формуле (5.23)).

5.5 Уравнение Бине

Формулы (5.21-5.23) позволяют полностью решить задачу о движении частицы в центрально-симметричном поле, если известна сила, действующая на частицу, или потенциальная энергия частицы в данном силовом поле. Часто требуется решить обратную задачу: по известной траектории движения частицы в центральном поле найти силу, действующую на частицу. В этом случае удобно пользоваться уравнением Бине, которое мы сейчас получим.

Запишем формулу для ускорения частицы в полярной системе координат:

. (5.24)

При движении частицы в центральном поле ускорение частицы направлено вдоль радиус-вектора частицы (по направлению действующей силы). Поэтому составляющая ускорения равна нулю. Второй закон Ньютона для частицы в центральном поле, следовательно, можно представить в виде

. (5.25)

Производная

. (5.26)

Чтобы найти силу по формуле (5.25) необходимо вычислить . Для этого вычисляем

и далее находим

. (5.27)

Подставив формулы (5.26) и (5.27) в формулу (5.25), проведя алгебраические преобразования, получим уравнение Бине

. (5.28)

Данное дифференциальное уравнение может служить для нахождения траектории движения частицы по заданной силе или для нахождения силы, действующей на частицу, по заданной траектории движения.

Пример 5.1. Траектория частицы в центральном поле имеет вид: . Найти силу , действующую на частицу.

Находим:

.

Подставив последнюю формулу в (5.28), найдем силу:

, где - интеграл движения.

21.Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции

Как известно, законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчета. Системы отсчета, которые движутся относительно инерциальной системы с ускорением, называются неинерциальными. В неинерциальных системах законы Ньютона, вообще говоря, уже применять нельзя. Однако законы динамики можно применять и для них, если кроме сил, которые обусловленны воздействием тел друг на друга, ввести в рассмотрение понятие силы особого рода - так называемую силу инерции.
При учете сил инерции второй закон Ньютона будет справедлив для любой системы отсчета: произведение массы тела на ускорение в рассматриваемой системе отсчета равно сумме всех сил, действующих на данное тело (учитывая и силы инерции). При этом силы инерции F _in должны быть такими, чтобы вместе с силами F, обусловленными воздействием тел друг на друга, они сообщали телу ускорение а', каким оно обладает в неинерциальных системах отсчета, т. е.

(1)

Так как F =m a ( a - ускорение тела в инерциальной системе отсчета), то

Силы инерции обусловлены ускоренным движением системы отсчета относительно измеряемой системы, поэтому в общем случае следует учитывать следующие случаи возниконовения этих сил: 1) силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета; 2) силы инерции, которые действуют на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета; 3) силы инерции, которые действуют на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета.
Рассмотрим эти случаи.

1. Силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета. На тележке к штативу на нити подвешен шарик массой m (рис. 1). Пока тележка покоится или движется прямолинейно и равномерно, нить, которая удерживает шарик, занимает вертикальное положение и сила тяжести Р уравновешивается силой реакции (натяжения) нити Т.

РИС 1.

Если тележку привести в поступательное движение с ускорением а ₀, то нить будет отклоняться от вертикали в сторону, обратную движению, до такого угла α, пока результирующая сила F = P + T не даст ускорение шарика, равное а ₀. Значит, результирующая сила F направлена в сторону ускорения тележки а ₀ и для установившегося движения шарика (теперь шарик движется вместе с тележкой с ускорением а ₀) равна F=mgtgα =ma₀, откуда

т. е. угол отклонения нити от вертикали тем больше, чем больше ускорение тележки.
В системе отсчета, которая связана с ускоренно движущейся тележкой, шарик покоится, что возможно, если сила F уравновешивается равной и противоположно направленной ей силой F _in, которая является ничем иным, как силой инерции, так как на шарик никакие другие силы не действуют. Таким образом,

(2)
Проявление сил инерции при поступательном движении мы можем видеть в повседневных явлениях. Если поезд набирает скорость, то пассажир, сидящий при этом по ходу поезда, прижимается к спинке сиденья под действием силы инерции. Наоборот, при торможении поезда пассажир отклоняется от спинки сиденья, т.к. сила инерции направлена в противоположную сторону. Особенно силы инерции заметны при внезапном торможении поезда. Эти силы проявляются в перегрузках, возникающие при запуске и торможении космических кораблей.

2. Силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета. Пусть диск равномерно вращается с угловой скоростью ω (ω =const) вокруг перпендикулярной ему оси, которая проходит через его центр. На диске установлены маятники, на разных расстояниях от оси вращения и на нитях висят шарики массой m. Когда диск начнет вращаться, шарики отклоняются от вертикали на некоторый угол (рис. 2). РИС 2.

В инерциальной системе отсчета, которая связана, например, с помещением, где установлен диск, происходит равномерное вращение шарика по окружности радиусом R (расстояние от центра вращающегося шарика до оси вращения). Значит, на него действует сила, равная F=mω ²R и которая направлена перпендикулярно оси вращения диска. Она является равнодействующей силы тяжести Р и силы реакции (натяжения) нити Т: F = P + T. Когда движение шарика установится, то F=mgtgα =mω ²R, откуда

т. е. углы отклонения нитей маятников будут тем больше, чем больше угловая скорость вращения & omega и чем больше расстояние R от центра шарика до оси вращения диска;.
Относительно системы отсчета, которая связана с вращающимся диском, шарик покоится, что возможно, если сила F уравновешивается равной и противоположно направленной ей силой F_с, являющаяся ничем иным, как силой инерции, так как никакие другие силы на шарик не действуют. Сила F _c, называемая центробежной силой инерции, направлена по горизонтали от оси вращения диска и равна

(3)

На практике действие центробежных сил инерции испытывают, например, пассажиры в движущемся автобусе на поворотах, летчики при выполнении фигур высшего пилотажа; центробежные силы инерции используются во всех центробежных механизмах: насосах, сепараторах и т. д., где они достигают очень больших значений. При проектировании быстро вращающихся деталей машин (винтов самолетов, роторов и т. д.) используются специальные механизмы для уравновешивания центробежных сил инерции.
Из формулы (3) следует, что центробежная сила инерции, которая действует на тела во вращающихся системах отсчета и которая направлена в сторону радиуса от оси вращения, зависит от угловой скорости вращения ω системы отсчета и радиуса R, но при этом не зависит от скорости тела относительно вращающихся систем отсчета. Значит, центробежная сила инерции действует во вращающихся системах отсчета на все тела, которые удалены от оси вращения на конечное расстояние, при этом не имеет значения, покоятся ли они в этой системе отсчета (как мы предполагали до сих пор) или движутся относительно нее с некоторой скоростью.

3. Силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета. Пусть шарик массой m движется с постоянной скоростью ν ' вдоль радиуса равномерно вращающегося диска (ν '=const, ω =const, ν перпендикулярно ω ). Если диск не начал вращаться, то шарик, движется по радиальной прямой и попадает в точку А, если же диск привести во вращение в направлении, которое указанно стрелкой, то шарик покатится по кривой OВ (рис. 3а), причем его скорость ν ' относительно диска сменит свое направление. Это возможно лишь в случае, если на шарик действует сила, которая перпендикулярна скорости ν '.

РИС 3.

Чтобы заставить шарик катиться по вращающемуся диску вдоль радиуса, будем использовать жестко укрепленный вдоль радиуса диска стержень, на котором шарик движется без трения прямолинейно равномерно со скоростью ν ' (рис. 3б). При отклонении шарика стержень действует на него с некоторой силой F. Во вращающейся системы отсчета, т.е. относительно диска, шарик движется прямолинейно и раномерно, что объясняется тем, что сила F уравновешивается приложенной к шарику силой инерции F _k, которая перпендикулярной скорости ν '. Эта сила называется кориолисовой силой инерции.
Можно показать, что сила Кориолиса

Вектор F _k перпендикулярен векторам скорости v ' тела и угловой скорости вращения системы отсчета в соответствии с правилом правого винта.
Сила Кориолиса действует только на тела, которые движутся относительно вращающейся системы отсчета, чаще всего рассматривается случай относительно Земли. Действием этих сил объясняется ряд наблюдаемых на Земле явлений. Так, если тело движется в северном полушарии на север (рис. 4), то действующая на него сила Кориолиса, как это следует из выражения (4), будет направлена вправо по отношению к направлению движения, т. е. тело несколько отклонится на восток. Если тело движется на юг, то сила Кориолиса также действует вправо, если смотреть по направлению движения, т. е. тело отклонится на запад. Поэтому в северном полушарии наблюдается более сильное подмывание правых берегов рек; правые рельсы железнодорожных путей по движению изнашиваются быстрее, чем левые, и т. д. Также можно показать, что в южном полушарии сила Кориолиса, которая действует на движущиеся тела, направлена влево по отношению к направлению движения.

РИС 4.

Благодаря действию силы Кориолиса падающие на поверхность Земли предметы отклоняются к востоку (на широте 60° это отклонение должно составлять 1 см при падении с высоты 100 м). С силой Кориолиса связано движение маятника Фуко, которое явилось в свое время одним из доказательств вращения Земли. Если бы силы Кориолиса не было, то тогда плоскость колебаний качающегося вблизи поверхности Земли маятника оставалась бы неизменной (относительно Земли). Действие же данной силы приводит к вращению плоскости колебаний вокруг вертикального направления. Раскрывая содержание Fin в формуле (1), получим основной закон динамики для неинерциальных систем отсчета: где силы инерции задаются формулами (2) - (4). Еще раз подчеркнем, что силы инерции вызываются не взаимодействием тел, а ускоренным движением системы отсчета. По этой причине они не подчиняются третьему закону Ньютона, так как если на тело действует сила инерции, то не существует силы, противодействующей ей и приложенной к данному телу. Два основных положения механики, по которым ускорение всегда вызывается силой, а сила всегда обусловлена взаимодействием между телами, в системах отсчета, движущихся с ускорением, одновременно не выполняются. Для любого из тел, которые находятся в неинерциальной системе отсчета, силы инерции являются внешними; Значит, здесь нет замкнутых систем, т.е. в неинерциальных системах отсчета не выполняются также и законы сохранения импульса, энергии и момента импульса. Значит, силы инерции действуют только в неинерциальных системах отсчета. В инерциальных системах отсчета таких сил не существует. Возникает вопрос о реальном или фиктивном существовании сил инерции. В ньютоновской механике, в которой сила является результатом взаимодействия тел, на силы инерции можно смотреть как на не существующие в инерциальных системах отсчета илификтивные. Однако возможна и другая их интерпретация. Поскольку взаимодействия тел осуществляются посредством силовых полей, то силы инерции рассматриваются как воздействия, которым подвергаются тела со стороны каких-то реальных силовых полей, и тогда их можно считать реальными. Независимо рассмотрения сил инерции в качестве реальных или фиктивных, многие явления, упоминающиеся в настоящем параграфе, объясняются с помощью сил инерции. Силы инерции, которые действуют на тела в неинерциальной системе отсчета, пропорциональны их массам и при прочих равных условиях сообщают этим телам одинаковые ускорения. Значит в поле сил инерции эти тела движутся абсолютно одинаково, если только одинаковы начальные условия. Тем же свойством обладают тела, которые находятся под действием сил поля тяготения. Возможны условия, при которых силы инерции и силы тяготения невозможно различить. Например, движение тел в равноускоренном лифте происходит точно так же, как и в неподвижном лифте, висящем в однородном поле тяжести. Никакой эксперимент, выполненный внутри лифта, не может отделить однородное поле сил инерции от однородного поля тяготения. Аналогия между силами тяготения и силами инерции лежит в основе принципа эквивалентности сил инерции и гравитационных сил (принципа эквивалентности Эйнштейна): все физические явления в поле тяготения происходят так же, как и в соответствующем поле сил инерции, если напряженности обоих полей в соответствующих точках пространства совпадают, а остальные начальные условия для рассматриваемых тел одинаковы. Этот принцип является основой общей теории относительности.

 

31. Специальная теория относительности. Преобразование Лоренца. Интервал. Границы применимости ньютоновской механики.

Специальная теория относительности — теория, описывающая движение, законы механики и пространственно-временные отношения при произвольных скоростях движения, меньших скорости света в вакууме, в том числе близких к скорости света. В рамках специальной теории относительности классическая механика Ньютона является приближением низких скоростей. Обобщение СТО для гравитационных полей называется общей теорией относительности.

Описываемые специальной теорией относительности отклонения в протекании физических процессов от предсказаний классической механики называют релятивистскими эффектами, а скорости, при которых такие эффекты становятся существенными, — релятивистскими скоростями.

Преобразования Лоренца:

Пусть координатные оси двух инерциальных систем отсчёта S и S' параллельны друг другу, (t, x, y, z) — время и координаты некоторого события, наблюдаемого относительно системы S, а (t', x', y', z') — время и координатытого же события относительно системы S'. Если система S' движется равномерно и прямолинейно со скоростью v относительно S, то справедливы преобразования Лоренца:

где - скорость света. При скоростях много меньше скорости света ( ) преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея:

Подобный предельный переход является отражением принципа соответствия, согласно которому более общая теория (СТО) имеет своим предельным случаем менее общую теорию (в данном случае — классическую механику).

Преобразования Лоренца можно записать в векторном виде ^[24], когда скорость систем отсчёта направлена в произвольном направлении (не обязательно вдоль оси ):

где — фактор Лоренца, и — радиус-векторы события относительно систем S и S'.