Понятие функции. Ограниченные функции.

Понятие функции. Ограниченные функции.

Определение функции: Если каждому числу х из множества чисел D поставлено в соответствие единственное число у, то говорят, что на множестве D задана функция f и пишут y= f(x), где х - называется независимой переменной или аргументом этой функции, а множество D - область определения этой функции.

Ограниченная и неограниченная функции. Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что | f ( x ) | M для всех значений x. Если такого числа не существует, то функция -неограниченная.

П р и м е р ы.

Функции четные, нечетные, монотонные.

Чётная и нечётная функции. Если для любого x из области определения функции имеет место: f ( - x ) = f ( x ), то функция называется чётной; если же имеет место: f ( - x ) = - f ( x ), то функция называется нечётной. График чётной функции симетричен относительно оси Y ( рис.5 ), a график нечётной функции симметричен относительно начала координат ( рис.6 ).

Монотонная функция. Если для любых двух значений аргумента x₁ и x₂ из условия x₂> x₁ следует f ( x₂) > f ( x₁), то функция f ( x )называется возрастающей; если для любых x₁ и x₂ из условия x₂> x₁ следует f ( x₂) < f ( x₁), то функция f ( x ) называется убывающей. Функция, которая только возрастает или только убывает, называется монотонной.

3. Числовые последовательности. Определение и примеры.

Будем говорить, что переменная x есть упорядоченная переменная величина, если известна область ее изменения, и про каждые из двух любых ее значений можно сказать, какое из них предыдущее и какое последующее. Частным случаем упорядоченной переменной величины является переменная величина, значения которой образуют числовую последовательность x₁, x₂, …, x_n, … Для таких величин при i < j, i, j Î N, значение x_i считается предшествующим, а x_j – последующим независимо от того, какое из этих значений больше. Таким образом, числовая последовательность – это переменная величина, последовательные значения которой могут быть перенумерованы. Числовую последовательность будем обозначать . Отдельные числа последовательности называются ее элементами.

Например, числовую последовательность образуют следующие величины:

1. ,

2. ,

3. , где а, d – постоянные числа.

Предел числовой последовательности.

Число a называется пределом последовательности x = {x_n}, если для произвольного заранее заданного сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что при всех n> N выполняется неравенство |x_n - a| < ε.

Если число a есть предел последовательности x = {x_n}, то говорят, что x_n стремится к a, и пишут .

Чтобы сформулировать это определение в геометрических терминах введем следующее понятие. Окрестностью точки x₀ называется произвольный интервал (a, b), содержащий эту точку внутри себя. Часто рассматривается окрестность точки x₀, для которой x₀ является серединой, тогда x₀ называется центром окрестности, а величина (b–a)/2 – радиусомокрестности.

Итак, выясним, что же означает геометрически понятие предела числовой последовательности. Для этого запишем последнее неравенство из определения в виде Это неравенство означает, что все элементы последовательности с номерами n> N должны лежать в интервале (a – ε; a + ε ).

Следовательно, постоянное число a есть предел числовой последовательности {x_n}, если для любой малой окрестности с центром в точке a радиуса ε (ε – окрестности точки a) найдется такой элемент последовательности с номером N, что все последующие элементыс номерами n> N будут находиться внутри этой окрестности.

Примеры.

1. Пусть переменная величина x последовательно принимает значения

Докажем, что предел этой числовой последовательности равен 1. Возьмем произвольное положительное число ε. Нам нужно найти такое натуральное число N, что при всех n> N выполняется неравенство |x_n - 1| < ε. Действительно, т.к.

то для выполнения соотношения |x_n - a| < ε достаточно, чтобы или . Поэтому, взяв в качестве N любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству , получим что нужно. Так если взять, например, , то, положив N=6, для всех n> 6 будем иметь .

2. Используя определение предела числовой последовательности, доказать что .

Возьмем произвольное ε > 0. Рассмотрим Тогда , если или , т.е. . Поэтому выберем любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству .

Примеры.

3. Рассмотрим . При x→ 1 числитель дроби стремится к 1, а знаменатель стремится к 0. Но так как , т.е. есть бесконечно малая функция при x→ 1, то

Теорема 4. Пусть даны три функции f(x), u(x) и v(x), удовлетворяющие неравенствам u(x)≤ f(x)≤ v(x). Если функции u(x) и v(x) имеют один и тот же предел при x→ a (или x→ ∞ ), то и функция f(x) стремится к тому же пределу, т.е. если

, то .

Теорема 5. Если при x→ a (или x→ ∞ ) функция y=f(x) принимает неотрицательные значения y≥ 0 и при этом стремится к пределуb, то этот предел не может быть отрицательным: b≥ 0.

Доказательство. Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что b< 0, тогда |y – b|≥ |b| и, следовательно, модуль разности не стремится к нулю при x→ a. Но тогда y не стремится к пределу b при x→ a, что противоречит условию теоремы.

Теорема 6. Если две функции f(x) и g(x) при всех значениях аргумента x удовлетворяют неравенству f(x)≥ g(x) и имеют пределы , то имеет место неравенство b≥ c.

Доказательство. По условию теоремы f(x)-g(x) ≥ 0, следовательно, по теореме 5 , или .

6. Раскрытие неопределенностей (0/0), ∞ -∞

I. Неопределенность .

При разложении числителя на множители воспользовались правилом деления многочлена на многочлен «углом». Так как число x=1 является корнем многочлена x³ – 6x² + 11x– 6, то при делении получим

7. Предел последовательности . Понятие о натуральном логарифме.

ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ

Второй замечательный предел служит для раскрытия неопределенности 1^∞ и выглядит следующим образом

Примеры:

1. .

2. .

Логарифм по основанию e (e - трансцендентное число, приближенно равное 2, 718281828...) называется натуральным логарифмом. Натуральный логарифм числа x обозначается ln x. Натуральные логарифмы широко используются в математике, физике и инженерных расчетах.

Широко используются логарифмы по

основанию , называемые натуральными. Натуральные логарифмы обозначаются символом

Понятие предела функции.

Понятие непрерывности функции непосредственно связано с понятием предела функции.

Число A называется пределом функции f в точке a, предельной для множества E, если для любой окрестности V(A) точки A, существует такая проколотая окрестность точки a, что её образ при отображении f является подмножеством заданной окрестности V(A) точки A.

Предел функции f в точке a, предельной для множества E, обозначается так: или , если можно опустить упоминание множества E.

Поскольку каждой окрестности может быть сопоставлена своя правильная (симметричная) окрестность, то определение предела можно сформулировать на языке -δ в том виде, как это принято в математическом анализе:

Предел функции в точке f в точке a, предельной для множества E, непосредственно связан с пределом последовательности.

Будем рассматривать всевозможные последовательности точек множества E, имеющих своим пределом точку a, и соответствующие им последовательности значений функции в точках последовательности. Если предел функции функции f в точке a существует, то этот предел будет пределом каждой последовательности .

Верно и обратное: если все последовательности сходятся к одному и тому же значению, то функция имеет предел, равный данному значению.

ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ

Функция не определена при x=0, так как числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. График функции изображен на рисунке.

Однако, можно найти предел этой функции при х→ 0.

Приведем доказательство записанной формулы. Рассмотрим окружность радиуса 1 и предположим, что угол α, выраженный в радианах, заключен в пределах 0 < α < π /2. (Так как четная функция и ее значения не изменяются при изменении знака α, то достаточно рассмотреть случай, когда α > 0.) Из рисунка видно, что

S_{Δ OAC} < S_сект.OAC < S_{Δ OBC}.

Так как указанные площади соответственно равны

S_Δ_OAC=0, 5∙ OC∙ OA∙ sinα =0, 5sinα, S_сект._OAC=0, 5∙ OC²∙ α =0, 5α, S_Δ_OBC=0, 5∙ OC∙ BC=0, 5tgα.

Следовательно,

sin α < α < tg α.

Разделим все члены неравенства на sin α > 0: .

Но . Поэтому на основании теоремы 4 о пределах заключаем, что Выведенная формула и называется первым замечательным пределом.

Таким образом, первый замечательный предел служит для раскрытия неопределенности . Заметим, что полученную формулу не следует путать с пределами Примеры.

11.Предел и связанные с ним пределы.

ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ

Второй замечательный предел служит для раскрытия неопределенности 1^∞ и выглядит следующим образом

Обратим внимание на то, что в формуле для второго замечательного предела в показателе степени должно стоять выражение, обратное тому, которое прибавляется к единице в основании (так как в этом случае можно ввести замену переменных и свести искомый предел ко второму замечательному пределу)

Примеры.

1. Функция f(x)=(x-1)² является бесконечно малой при x→ 1, так как (см. рис.).

2. Функция f(x) = tgx – бесконечно малая при x→ 0.

3. f(x) = ln (1+x)– бесконечно малая при x→ 0.

4. f(x) = 1/x– бесконечно малая при x→ ∞.

Установим следующее важное соотношение:

Теорема. Если функция y=f(x) представима при x→ aв виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины α (x): f (x)=b+ α (x) то .

Обратно, если , то f (x)=b+α (x), где a(x) – бесконечно малая при x→ a.

Доказательство.

1. Докажем первую часть утверждения. Из равенства f(x)=b+α (x) следует |f(x) – b|=| α |. Но так как a(x) – бесконечно малая, то при произвольном ε найдется δ – окрестность точки a, при всех x из которой, значения a(x) удовлетворяют соотношению |α (x)|< ε. Тогда |f(x) – b|< ε. А это и значит, что .

2. Если , то при любом ε > 0 для всех х из некоторой δ – окрестность точки a будет |f(x) – b|< ε. Но если обозначимf(x) – b= α , то |α (x)|< ε, а это значит, что a – бесконечно малая.

Рассмотрим основные свойства бесконечно малых функций.

Теорема 1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.

Доказательство. Приведем доказательство для двух слагаемых. Пусть f(x)=α (x)+β (x), где и . Нам нужно доказать, что при произвольном как угодно малом ε > 0 найдется δ > 0, такое, что для x, удовлетворяющих неравенству |x – a|< δ , выполняется|f(x)|< ε.

Итак, зафиксируем произвольное число ε > 0. Так как по условию теоремы α (x) – бесконечно малая функция, то найдется такое δ ₁> 0, что при |x – a|< δ ₁ имеем |α (x)|< ε /2. Аналогично, так как β (x) – бесконечно малая, то найдется такое δ ₂> 0, что при |x – a|< δ ₂ имеем| β (x)|< ε /2.

Возьмем δ =min{ δ ₁, δ ₂}.Тогда в окрестности точки a радиуса δ будет выполняться каждое из неравенств |α (x)|< ε /2 и | β (x)|< ε /2. Следовательно, в этой окрестности будет

|f(x)|=| α (x)+β (x)| ≤ |α (x)| + | β (x)| < ε /2 + ε /2= ε,

т.е. |f(x)|< ε, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x→ a (или при x→ ∞ ) есть бесконечно малая функция.

Доказательство. Так как функция f(x) ограничена, то существует число М такое, что при всех значениях x из некоторой окрестности точки a|f(x)|≤ M. Кроме того, так как a(x) – бесконечно малая функция при x→ a, то для произвольного ε > 0 найдется окрестность точки a, в которой будет выполняться неравенство |α (x)|< ε /M. Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем | α f|< ε /M= ε. А это и значит, что af – бесконечно малая. Для случая x→ ∞ доказательство проводится аналогично.

Из доказанной теоремы вытекают:

Следствие 1. Если и , то

Следствие 2. Если и c=const, то .

Теорема 3. Отношение бесконечно малой функции α (x) на функцию f(x), предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.

Доказательство. Пусть . Тогда 1/f(x) есть ограниченная функция. Поэтому дробь есть произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную, т.е. функция бесконечно малая.

Примеры.

1. Ясно, что при x→ +∞ функция y=x²+1 является бесконечно большой. Но тогда согласно сформулированной выше теореме функция – бесконечно малая при x→ +∞ , т.е. .

2. .

Можно доказать и обратную теорему.

Теорема 2. Если функция f(x) - бесконечно малая при x→ a (или x→ ∞ ) и не обращается в нуль, то y=1/f(x) является бесконечно большой функцией.

Доказательство теоремы проведите самостоятельно.

Примеры.

1. .

3. , так как функции и - бесконечно малые при x→ +∞ , то , как сумма бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. Функция же является суммой постоянного числа и бесконечно малой функции. Следовательно, по теореме 1 для бесконечно малых функций получаем нужное равенство.

Таким образом, простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций можно записать с помощью следующих условных соотношений: A≠ 0

13.Бесконечно малые функции одного порядка, эквивалентные бесконечно малые.

Бесконечно малые функции и называются бесконечно малыми одного порядка малости, если , обозначают . И, наконец, если не существует, то бесконечно малые функции и несравнимы.

ПРИМЕР 2. Сравнение бесконечно малых функций

Эквивалентные бесконечно малые функции.

Если , то бесконечно малые функции и называютсяэквивалентными, обозначают ~ .

Локально эквивалентные функции:

при если

Некоторые эквивалентности (при ):

Односторонние пределы.

До сих пор мы рассматривали определение предела функции, когда x→ a произвольным образом, т.е. предел функции не зависел от того, как располагалось x по отношению к a, слева или справа от a. Однако, довольно часто можно встретить функции, которые не имеют предела при этом условии, но они имеют предел, если x→ a, оставаясь с одной стороны от а, слева или справа (см. рис.). Поэтому вводят понятия односторонних пределов.

Если f(x) стремится к пределу b при x стремящемся к некоторому числу a так, что xпринимает только значения, меньшие a, то пишут и называют bпределом функции f(x) в точке a слева.

Таким образом, число b называется пределом функции y=f(x) при x→ aслева, если каково бы ни было положительное число ε, найдется такое число δ (меньшее a), что для всех выполняется неравенство .

Аналогично, если x→ a и принимает значения большие a, то пишут и называют b пределом функции в точке а справа. Т.е. число b называется пределом функции y=f(x) при x→ a справа, если каково бы ни было положительное число ε, найдется такое число δ (большее а), что для всех выполняется неравенство .

Заметим, что если пределы слева и справа в точке a для функции f(x) не совпадают, то функция не имеет предела (двустороннего) в точке а.

Примеры.

1. Рассмотрим функцию y=f(x), определенную на отрезке [0, 1] следующим образом

Найдем пределы функции f(x) при x→ 3. Очевидно, , а

Другими словами, для любого сколь угодно малого числа эпсилон, существует такое число дельта, зависящее от эпсилон, что из того, что для любых иксов удовлетворяющих неравенству следует, что отличия значений функции в данных точках будет сколь угодно мало.

Критерий непрерывности функции в точке:

Функция будет непрерывна в точке A тогда и только тогда, когда она будет непрерывна в точке A и справа и слева, т.е чтобы в точке A существовали два односторонних предела, они были равны между собой и равнялись значению функции в точке A.

Определение 2: Функция непрерывна на множестве, если она непрерывна во всех точках этого множества.

Производная функции в точке

Пусть дана определена в окрестности . Рассмотрим

Если этот предел существует, то он называется производной функции f в точке .

Производная функции – предел отн6ошений приращения функции к приращению аргумента, при приращении аргумента .

Операция вычисления или нахождения производной в точке называется дифференцированием.

Правила дифференцирования.

Производной функции f(x) в точке х=х₀ называется отношение приращения функции в этой точке к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю.Нахождение производной называется дифференцированием. Вычисление производной функции производится по общему правилу дифференцирования: Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х. Основные правила дифференцирования 1) (производная суммы равна сумме производных) 2) (отсюда, в частности, следует, что производная произведения функции и константы равна произведению производной этой функции на константу)3) Производная частного: , если g  0 4) Производная сложной функции: 5) Если функция задана параметрически: , то

Примеры.

1. y = x^a – степенная функция с произвольным показателем.

Неявно заданная функция

Если функция задана уравнением у=ƒ (х), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция).

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x; y)=0, не разрешенного относительно у.

Всякую явно заданную функцию у=ƒ (х) можно записать как неявно заданную уравнением ƒ (х)-у=0, но не наоборот.

Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например, у+2х+cosy-1=0 или 2^у-х+у=0).

Если неявная функция задана уравнением F(x; у)=0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у'.

Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.

Пример:

Найти производную функции у, заданную уравнением х³+у³-3ху=0.

Решение: Функция у задана неявно. Дифференцируем по х равенство х³+у³-3ху=0. Из полученного соотношения

3х²+3у²· у'-3(1· у+х· у')=0

следует, что у²у'-ху'=у-х², т. е. у'=(у-х²)/(у²-х).

Производные высших порядков

Ясно, что производная

функции y =f (x) есть также функция от x:

y' =f ' (x)

Если функция f ' (x) дифференцируема, то её производная обозначается символом y'' =f '' (x) и называется второй производной функции f(x) или производной функции f(x) второго порядка. Пользуясь обозначением

можем написать

ПРИМЕР:

1. Найти вторую производную функции y = x⁴
Р е ш е н и е: Имеем y^' = (x⁴)^' = 4x³
далее: y^'' = (y^')^' = (4x³)^' = 12x²
2. Найти вторую производную функции y = 3cos(x)
Р е ш е н и е: Имеем y^' = (3cos(x))^' = -3sin(x)
далее: y^'' = (y^')^' = (-3sin(x))^' = -3cos(x) 3. Найти вторую производную функции y = tg (x)
Решение: Имеем
далее:

Очень удобно пользоваться также обозначением

указывающим, что функция y=f(x) была продифференцирована по x два раза.
Производная второй производной, т.е. функции y''=f''(x) , называется третьей производной функции y=f(x) или производной функции f(x) третьего порядка и обозначается символами

Вообще n-я производная или производная n-го порядка функции y=f(x) обозначается символами

Ф-ла Лейбница:

Предположим, что функции и дифференцируемы вместе со своими производными до n-го порядка включительно. Применяя правило дифференцирования произведения двух функций, получим

Сопоставим эти выражения со степенями бинома :

Бросается в глаза правило соответствия: чтобы получить формулу для производной 1-го, 2-го или 3-го порядков от произведения функций и , нужно заменить степени и в выражении для (где n = 1, 2, 3) производными соответствующих порядков. Кроме того, нулевые степени величин и следует заменить производными нулевого порядка, подразумевая под ними функции и :

Обобщая это правило на случай производной произвольного порядка n, получим формулу Лейбница,

где - биномиальные коэффициенты:

Теорема Ролля.

Эта теорема позволяет отыскать критические точки, а затем с помощью достаточных условий исследовать ф-ю на экстремумы.

Пусть 1) ф-я f(x) определена и непрерывна на некотором замкнутом промежутке [a; b]; 2) существует конечная производная, по крайней мере, в открытом промежутке (a; b); 3) на концах промежутка ф-я принимает равные значения f(a) = f(b). Тогда между точками a и b найдется такая точка с, что производная в этой точке будет = 0.

Док-во:

По теореме о свойстве ф-ий, непрерывных на отрезке, ф-я f(x) принимает на этом отрезке свое max и min значение.

f(x₁) = M – max, f(x₂) = m – min; x₁; x₂Î [a; b]

1) Пусть M = m, т.е. m £ f(x) £ M

Þ ф-я f(x) будет принимать на интервале от a до b постоянные значения, а Þ ее производная будет равна нулю. f’(x)=0

2) Пусть M> m

Т.к. по условиям теоремы f(a) = f(b) Þ свое наименьшее или наибольшее значение ф-я будет принимать не на концах отрезка, а Þ будет принимать M или m во внутренней точке этого отрезка. Тогда по теореме Ферма f’(c)=0.

Теорема Лагранжа.

Формула конечных приращений или теорема Лагра́ нжа о среднем значении утверждает, что если функция f непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема в интервале (a; b), то найдётся такая точка , что

Теорема Коши.

Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b) и g¢ (x) ¹ 0 на интервале (a, b), то существует по крайней мере одна точка e, a < e < b, такая, что

Т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению производных в точке e. Примеры решения задач курс лекций Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений Интегральное исчисление

Примеры выполнения курсовой работы Электротехника

Для доказательства этой теоремы на первый взгляд очень удобно воспользоваться теоремой Лагранжа. Записать формулу конечных разностей для каждой функции, а затем разделить их друг на друга. Однако, это представление ошибочно, т.к. точка e для каждой из функции в общем случае различна. Конечно, в некоторых частных случаях эта точка интервала может оказаться одинаковой для обеих функций, но это- очень редкое совпадение, а не правило, поэтому не может быть использовано для доказательства теоремы.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

которая на интервале [a, b]удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Легко видеть, что при х = а и х = b F(a) = F(b) = 0. Тогда по теореме Ролля существует такая точка e,

a < e < b, такая, что F¢ (e) = 0. Т.к.

, то

А т.к. , то

Правило Лопиталя.

Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей 0 / 0 и ∞ / ∞ , который основан на применении производных.

Если существует предел

, то

Применим к функциям f(x) и φ (x) теорему Коши для отрезка [x₀; x], лежащего в окрестности точки x₀, тогда

, где с лежит между x₀ и х.

При x→ x₀ величина с также стремится к х₀; перейдем в предыдущем равенстве к пределу:

Так как , то .

Поэтому

(предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если последний существует)

12 3 4 5 6 7 Следующая ⇒

Последнее изменение этой страницы: 2017-03-15; Просмотров: 3998; Нарушение авторского права страницы