Вычисление пределов функции.

1. Подстановка: при х®х₀ и х₀Î области определения ф-ции f(x), предел ф-ции f(x)= его частному значению при х=х₀

limf(x)=f(x₀)

x®x₀

2. Сокращение: при х®¥ и х®х₀ f(x)/g(x)=0/0, то сокращают числитель и знаменатель на множитель, стремящийся к 0.

3. уничтожение иррациональности (* числитель и знаменатель на 1 число).

4.деление на наивысшую степень х: при х®¥ и х®х₀ f(x)/g(x)=0/0, то делим числитель и знаменатель на наивысшую степень.

5. Приведение к замечательным пределам:

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел:

Применение эквивалентных функции к нахождению пределов

Локально эквивалентные функции:

при если

Некоторые эквивалентности (при ):

10.Предел и связанные с ним пределы.

ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ

Функция не определена при x=0, так как числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. График функции изображен на рисунке.

Однако, можно найти предел этой функции при х→ 0.

Приведем доказательство записанной формулы. Рассмотрим окружность радиуса 1 и предположим, что угол α, выраженный в радианах, заключен в пределах 0 < α < π /2. (Так как четная функция и ее значения не изменяются при изменении знака α, то достаточно рассмотреть случай, когда α > 0.) Из рисунка видно, что

S_{Δ OAC} < S_сект.OAC < S_{Δ OBC}.

Так как указанные площади соответственно равны

S_{Δ OAC}=0, 5∙ OC∙ OA∙ sinα =0, 5sinα, S_сект.OAC=0, 5∙ OC²∙ α =0, 5α, S_{Δ OBC}=0, 5∙ OC∙ BC=0, 5tgα.

Следовательно,

sin α < α < tg α.

Разделим все члены неравенства на sin α > 0: .

Но . Поэтому на основании теоремы 4 о пределах заключаем, что Выведенная формула и называется первым замечательным пределом.

Таким образом, первый замечательный предел служит для раскрытия неопределенности . Заметим, что полученную формулу не следует путать с пределами Примеры.

1.

2.

3.

4.

5.

 

11.Предел и связанные с ним пределы.

ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ

Второй замечательный предел служит для раскрытия неопределенности 1^∞ и выглядит следующим образом

Обратим внимание на то, что в формуле для второго замечательного предела в показателе степени должно стоять выражение, обратное тому, которое прибавляется к единице в основании (так как в этом случае можно ввести замену переменных и свести искомый предел ко второму замечательному пределу)

 

Бесконечно большие и бесконечно малые функции.

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→ a или при x→ ∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

Примеры.

1. Функция f(x)=(x-1)² является бесконечно малой при x→ 1, так как (см. рис.).

2. Функция f(x) = tgx – бесконечно малая при x→ 0.

3. f(x) = ln (1+x)– бесконечно малая при x→ 0.

4. f(x) = 1/x– бесконечно малая при x→ ∞.

Установим следующее важное соотношение:

Теорема. Если функция y=f(x) представима при x→ aв виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины α (x): f (x)=b+ α (x) то .

Обратно, если , то f (x)=b+α (x), где a(x) – бесконечно малая при x→ a.

Доказательство.

1. Докажем первую часть утверждения. Из равенства f(x)=b+α (x) следует |f(x) – b|=| α |. Но так как a(x) – бесконечно малая, то при произвольном ε найдется δ – окрестность точки a, при всех x из которой, значения a(x) удовлетворяют соотношению |α (x)|< ε. Тогда |f(x) – b|< ε. А это и значит, что .

2. Если , то при любом ε > 0 для всех х из некоторой δ – окрестность точки a будет |f(x) – b|< ε. Но если обозначимf(x) – b= α , то |α (x)|< ε, а это значит, что a – бесконечно малая.

Рассмотрим основные свойства бесконечно малых функций.

Теорема 1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.

Доказательство. Приведем доказательство для двух слагаемых. Пусть f(x)=α (x)+β (x), где и . Нам нужно доказать, что при произвольном как угодно малом ε > 0 найдется δ > 0, такое, что для x, удовлетворяющих неравенству |x – a|< δ , выполняется|f(x)|< ε.

Итак, зафиксируем произвольное число ε > 0. Так как по условию теоремы α (x) – бесконечно малая функция, то найдется такое δ ₁> 0, что при |x – a|< δ ₁ имеем |α (x)|< ε /2. Аналогично, так как β (x) – бесконечно малая, то найдется такое δ ₂> 0, что при |x – a|< δ ₂ имеем| β (x)|< ε /2.

Возьмем δ =min{ δ ₁, δ ₂}.Тогда в окрестности точки a радиуса δ будет выполняться каждое из неравенств |α (x)|< ε /2 и | β (x)|< ε /2. Следовательно, в этой окрестности будет

|f(x)|=| α (x)+β (x)| ≤ |α (x)| + | β (x)| < ε /2 + ε /2= ε,

т.е. |f(x)|< ε, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x→ a (или при x→ ∞ ) есть бесконечно малая функция.

Доказательство. Так как функция f(x) ограничена, то существует число М такое, что при всех значениях x из некоторой окрестности точки a|f(x)|≤ M. Кроме того, так как a(x) – бесконечно малая функция при x→ a, то для произвольного ε > 0 найдется окрестность точки a, в которой будет выполняться неравенство |α (x)|< ε /M. Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем | α f|< ε /M= ε. А это и значит, что af – бесконечно малая. Для случая x→ ∞ доказательство проводится аналогично.

Из доказанной теоремы вытекают:

Следствие 1. Если и , то

Следствие 2. Если и c=const, то .

Теорема 3. Отношение бесконечно малой функции α (x) на функцию f(x), предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.

Доказательство. Пусть . Тогда 1/f(x) есть ограниченная функция. Поэтому дробь есть произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную, т.е. функция бесконечно малая.

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: