Теоремы о пределах числовой последовательности

Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е.

Доказательство. Проведем доказательство для двух слагаемых, так как для любого числа слагаемых оно проводится так же. Пусть .Тогда f(x)=b+α (x) и g(x)=c+β (x), где α и β – бесконечно малые функции. Следовательно,

f(x) + g(x)=(b + c) + (α (x) + β (x)).

Так как b + cесть постоянная величина, а α (x) + β (x) – функция бесконечно малая, то

Пример. Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций: Доказательство. Пусть . Следовательно, f(x)=b+α (x) и g(x)=c+β (x) и fg = (b + α )(c + β ) = bc + (bβ +cα + α β ).

Произведение bc есть величина постоянная. Функция bβ + c α + α β на основании свойств бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая. Поэтому

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Следствие 2. Предел степени равен степени предела: Пример. Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е. Доказательство. Пусть . Следовательно, f(x)=b+α (x) и g(x)=c+β (x), где α, β – бесконечно малые. Рассмотрим частное

Дробь является бесконечно малой функцией, так как числитель есть бесконечно малая функция, а знаменатель имеет предел c²≠ 0.

Примеры.

1.

2.

3. Рассмотрим . При x→ 1 числитель дроби стремится к 1, а знаменатель стремится к 0. Но так как , т.е. есть бесконечно малая функция при x→ 1, то

Теорема 4. Пусть даны три функции f(x), u(x) и v(x), удовлетворяющие неравенствам u(x)≤ f(x)≤ v(x). Если функции u(x) и v(x) имеют один и тот же предел при x→ a (или x→ ∞ ), то и функция f(x) стремится к тому же пределу, т.е. если

, то .

Теорема 5. Если при x→ a (или x→ ∞ ) функция y=f(x) принимает неотрицательные значения y≥ 0 и при этом стремится к пределуb, то этот предел не может быть отрицательным: b≥ 0.

Доказательство. Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что b< 0, тогда |y – b|≥ |b| и, следовательно, модуль разности не стремится к нулю при x→ a. Но тогда y не стремится к пределу b при x→ a, что противоречит условию теоремы.

Теорема 6. Если две функции f(x) и g(x) при всех значениях аргумента x удовлетворяют неравенству f(x)≥ g(x) и имеют пределы , то имеет место неравенство b≥ c.

Доказательство. По условию теоремы f(x)-g(x) ≥ 0, следовательно, по теореме 5 , или .

 

6. Раскрытие неопределенностей (0/0), ∞ -∞

I. Неопределенность .

1.

При разложении числителя на множители воспользовались правилом деления многочлена на многочлен «углом». Так как число x=1 является корнем многочлена x³ – 6x² + 11x– 6, то при делении получим

2.

3.

4.

 

7. Предел последовательности . Понятие о натуральном логарифме.

ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ

Второй замечательный предел служит для раскрытия неопределенности 1^∞ и выглядит следующим образом

Примеры:

1. .

2. .

3.

4.

5.

6.

Логарифм по основанию e (e - трансцендентное число, приближенно равное 2, 718281828...) называется натуральным логарифмом. Натуральный логарифм числа x обозначается ln x. Натуральные логарифмы широко используются в математике, физике и инженерных расчетах.

Широко используются логарифмы по

основанию , называемые натуральными. Натуральные логарифмы обозначаются символом

Понятие предела функции.

Понятие непрерывности функции непосредственно связано с понятием предела функции.

Число A называется пределом функции f в точке a, предельной для множества E, если для любой окрестности V(A) точки A, существует такая проколотая окрестность точки a, что её образ при отображении f является подмножеством заданной окрестности V(A) точки A.

Предел функции f в точке a, предельной для множества E, обозначается так: или , если можно опустить упоминание множества E.

Поскольку каждой окрестности может быть сопоставлена своя правильная (симметричная) окрестность, то определение предела можно сформулировать на языке -δ в том виде, как это принято в математическом анализе:

Предел функции в точке f в точке a, предельной для множества E, непосредственно связан с пределом последовательности.

Будем рассматривать всевозможные последовательности точек множества E, имеющих своим пределом точку a, и соответствующие им последовательности значений функции в точках последовательности. Если предел функции функции f в точке a существует, то этот предел будет пределом каждой последовательности .

Верно и обратное: если все последовательности сходятся к одному и тому же значению, то функция имеет предел, равный данному значению.

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: