Дифференциалы высших порядков. D2y=d(dy) – диф-л 2-го порядка

Дифференциалы высших порядков ф-и y=f(v) последовательно определяются таким образом:

d²y=d(dy) – диф-л 2-го порядка

d³y=d(d²y)…

dⁿy=d(d ^n-1 y) - диф-л n-го порядка

Если ф-я y=f(v), где v – независимая переменная или линейная ф-я v=кх+в переменной х, то d²y=y’’(dv)², d³y=y’’’(dv)³, …, dⁿy=y⁽ⁿ⁾⁽dv)ⁿ.

Если же y=f(v), где v=g(x)≠ кх+в, то d²y=f’’(v)*(dv)²+ f’(v)d²v и т.д. (т.е. св-во инвариантности не выполняется)

Геометрический смысл производной, уравнение касательной и нормали

Геометрический смысл производной

Теорема Ролля.

Эта теорема позволяет отыскать критические точки, а затем с помощью достаточных условий исследовать ф-ю на экстремумы.

Пусть 1) ф-я f(x) определена и непрерывна на некотором замкнутом промежутке [a; b]; 2) существует конечная производная, по крайней мере, в открытом промежутке (a; b); 3) на концах промежутка ф-я принимает равные значения f(a) = f(b). Тогда между точками a и b найдется такая точка с, что производная в этой точке будет = 0.

Док-во:

По теореме о свойстве ф-ий, непрерывных на отрезке, ф-я f(x) принимает на этом отрезке свое max и min значение.

f(x₁) = M – max, f(x₂) = m – min; x₁; x₂ Î [a; b]

1) Пусть M = m, т.е. m £ f(x) £ M

Þ ф-я f(x) будет принимать на интервале от a до b постоянные значения, а Þ ее производная будет равна нулю. f’(x)=0

2) Пусть M> m

Т.к. по условиям теоремы f(a) = f(b) Þ свое наименьшее или наибольшее значение ф-я будет принимать не на концах отрезка, а Þ будет принимать M или m во внутренней точке этого отрезка. Тогда по теореме Ферма f’(c)=0.

Теорема Лагранжа.

Формула конечных приращений или теорема Лагра́ нжа о среднем значении утверждает, что если функция f непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема в интервале (a; b), то найдётся такая точка , что

.

Следствие1: Если производная функции равно нулю в каждой точке некоторого промежутка, то функция есть тождественная постоянная в этом промежутке.

Пусть для всех x из данного промежутка. Если x₀ и x –две точки этого промежутка, то по доказанной теореме Поскольку то

Следствие2: Если две функции имеют разные производные в некотором промежутке. То они отличаются в этом промежутке лишь постоянным слагаемым.

Если, то В силу следствия1:

Среднее значение функции — это некоторое число, заключённое между наименьшим и наибольшим её значениями. В дифференциальном и интегральном исчислении имеется ряд «теорем о среднем», устанавливающих существование таких точек, в которых функция или её производная получает то или иное среднее значение. Наиболее важной теоремой о среднем значении функции в дифференциальном исчислении является теорема Лагранжа (теорема о конечном приращении): если f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в интервале (a, b), то существует точка c, принадлежащая интервалу (a, b), такая, что f(b) − f(a) = (b − a)f'(c). В интегральном исчислении наиболее важной теоремой о среднем значении является следующая: если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], а сохраняет постоянный знак, то существует точка c из интервала (a, b) такая, что

В частности, если , то

Вследствие этого под средним значением функции f(x) на отрезке [a, b] обычно понимают величину

Аналогично определяется среднее значение функции нескольких переменных в некоторой области.

Теорема Коши.

Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b) и g¢ (x) ¹ 0 на интервале (a, b), то существует по крайней мере одна точка e, a < e < b, такая, что

.

Т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению производных в точке e. Примеры решения задач курс лекций Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений Интегральное исчисление

Примеры выполнения курсовой работы Электротехника

Для доказательства этой теоремы на первый взгляд очень удобно воспользоваться теоремой Лагранжа. Записать формулу конечных разностей для каждой функции, а затем разделить их друг на друга. Однако, это представление ошибочно, т.к. точка e для каждой из функции в общем случае различна. Конечно, в некоторых частных случаях эта точка интервала может оказаться одинаковой для обеих функций, но это- очень редкое совпадение, а не правило, поэтому не может быть использовано для доказательства теоремы.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

которая на интервале [a, b]удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Легко видеть, что при х = а и х = b F(a) = F(b) = 0. Тогда по теореме Ролля существует такая точка e,

a < e < b, такая, что F¢ (e) = 0. Т.к.

, то

 

А т.к. , то

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: