СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫМИ

И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИМИ ФУНКЦИЯМИ

Теорема 1. Если функция f(x) является бесконечно большой при x→ a, то функция 1/f(x) является бесконечно малой при x→ a.

Доказательство. Возьмем произвольное число ε > 0 и покажем, что при некотором δ > 0 (зависящим от ε ) при всех x, для которых |x – a|< δ , выполняется неравенство , а это и будет означать, что 1/f(x) – бесконечно малая функция. Действительно, так как f(x) – бесконечно большая функция при x→ a, то найдется δ > 0 такое, что как только |x – a|< δ , так |f(x)|> 1/ ε. Но тогда для тех же x .

Примеры.

1. Ясно, что при x→ +∞ функция y=x²+1 является бесконечно большой. Но тогда согласно сформулированной выше теореме функция – бесконечно малая при x→ +∞ , т.е. .

2. .

Можно доказать и обратную теорему.

Теорема 2. Если функция f(x) - бесконечно малая при x→ a (или x→ ∞ ) и не обращается в нуль, то y=1/f(x) является бесконечно большой функцией.

Доказательство теоремы проведите самостоятельно.

Примеры.

1. .

2.

3. , так как функции и - бесконечно малые при x→ +∞ , то , как сумма бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. Функция же является суммой постоянного числа и бесконечно малой функции. Следовательно, по теореме 1 для бесконечно малых функций получаем нужное равенство.

Таким образом, простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций можно записать с помощью следующих условных соотношений: A≠ 0

13.Бесконечно малые функции одного порядка, эквивалентные бесконечно малые.

Бесконечно малые функции и называются бесконечно малыми одного порядка малости, если , обозначают . И, наконец, если не существует, то бесконечно малые функции и несравнимы.

ПРИМЕР 2. Сравнение бесконечно малых функций

Эквивалентные бесконечно малые функции.

Если , то бесконечно малые функции и называютсяэквивалентными, обозначают ~ .

Локально эквивалентные функции:

при если

Некоторые эквивалентности (при ):

Применение эквивалентных функции к нахождению пределов

Односторонние пределы.

До сих пор мы рассматривали определение предела функции, когда x→ a произвольным образом, т.е. предел функции не зависел от того, как располагалось x по отношению к a, слева или справа от a. Однако, довольно часто можно встретить функции, которые не имеют предела при этом условии, но они имеют предел, если x→ a, оставаясь с одной стороны от а, слева или справа (см. рис.). Поэтому вводят понятия односторонних пределов.

Если f(x) стремится к пределу b при x стремящемся к некоторому числу a так, что xпринимает только значения, меньшие a, то пишут и называют bпределом функции f(x) в точке a слева.

Таким образом, число b называется пределом функции y=f(x) при x→ aслева, если каково бы ни было положительное число ε, найдется такое число δ (меньшее a), что для всех выполняется неравенство .

Аналогично, если x→ a и принимает значения большие a, то пишут и называют b пределом функции в точке а справа. Т.е. число b называется пределом функции y=f(x) при x→ a справа, если каково бы ни было положительное число ε, найдется такое число δ (большее а), что для всех выполняется неравенство .

Заметим, что если пределы слева и справа в точке a для функции f(x) не совпадают, то функция не имеет предела (двустороннего) в точке а.

Примеры.

1. Рассмотрим функцию y=f(x), определенную на отрезке [0, 1] следующим образом

Найдем пределы функции f(x) при x→ 3. Очевидно, , а

2.

3.

4.

Непрерывность функции в точке и на множестве.

Определение 1: Функция f(x) называется непрерывной функцией в точке A, если существует предел данной функции при аргументе стремящимся к A и он равен f(a), т.е. .

Критерий непрерывности:

Другими словами, для любого сколь угодно малого числа эпсилон, существует такое число дельта, зависящее от эпсилон, что из того, что для любых иксов удовлетворяющих неравенству следует, что отличия значений функции в данных точках будет сколь угодно мало.

Критерий непрерывности функции в точке:

Функция будет непрерывна в точке A тогда и только тогда, когда она будет непрерывна в точке A и справа и слева, т.е чтобы в точке A существовали два односторонних предела, они были равны между собой и равнялись значению функции в точке A.

Определение 2: Функция непрерывна на множестве, если она непрерывна во всех точках этого множества.

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: