Выпуклость, вогнутость графика функции, точки перегиба

График дифференцируемой функции у = f(x)называется выпуклым (вогнутым) в интервале (а, b), если он расположен ниже (выше) любой своей касательной на этом интервале.

Точка графика непрерывной функции, отделяющая ее выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

Теорема 5. (достаточный признак выпуклости и вогнутости). Пусть функция у = f(x) имеет вторую производную (x) во всех точках интервала (а_, b). Если во всех точках этого интервала < 0, то график в (а_, b) выпуклый; если же > 0 – вогнутый.

Доказательство. Допустим для определенности, что < 0 и докажем, что гра­фик выпуклый. Возьмем на графике функции произвольную точку М₀ с абсциссой х₀Î (а, b) и проведем через точку М₀ касательную. Для доказательства теоремы нужно показать, что для одной и той же абсциссы x ордината кривой меньше ординаты касательной. Это будет означать, что график функции нахо­дится ниже касательной. Уравнение касательной в точке М₀ имеет вид У – f (х₀) = f (х₀).(х-х₀). Здесь через У обозначена ордината касательной, соот­ветствующая абсциссе x.

39.Достаточные условия перегиба.

1. Если меняет знак при переходе через точку x₀, то x₀ - точка перегиба.

2.Если то при n четном x₀ - точка перегиба, при n нечетном x₀ не является точкой перегиба.

40.Асимптоты графика функции.

Определение. Если расстояние от точки M кривой y = f(x) от некоторой прямой y = kx + b стремиться к нулю, когда точка M, двигаясь по кривой, удаляется в бесконечность, то прямая y = kx + bназывается асимптотой кривой y = f(x).
Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными.
Пусть кривая y = f(x) имеет одну или несколько вертикальных асимптот (рис.1).
Для нахождения вертикальных асимптот кривой y = f(x) нужно отыскать такие значения x = a, при которых y обращается в бесконечность, т.е. при которых .
Уравнение вертикальной асимптоты будет

x = a (1)

В самом деле, из рис.1 непосредственно видно, что расстояние точки M(x; y) от прямой x = a равно d = | x - a |. Когда x ® a, то точка M(x; y) движется по кривой y = f(x), удаляясь в бесконечность, причем ее расстояние d = | x - a | от прямой x = a стремится к нулю и, согласно определению асимптоты, прямая x = a является асимптотой кривой y = f(x)

Теперь предположим, что кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту. Из произвольно выбранной на кривой точке M(x; y) опустим перпендикуляр MN на асимптоту AB и перпендикуляр MP на ось Ox (рис.2). Тогда имеем LM = PM - PL, т.е. LM = f(x) - y, где f(x) и y - ординаты точек M и L соответственно кривой и асимптоты, имеющих одинаковую абсциссу x.
Согласно определению асимптоты, при неограниченном увеличении абсциссы x (т.е. при удалении точки M по кривой в бесконечность) расстояние MNкривой от асимптоты неограниченно уменьшается, т.е . Вместе с перпендикуляром MN будет неограниченно уменьшаться и LM = f(x) - y:

(2)

В самом деле, из DLMN имеем

где a - угол наклона асимптоты. Так как cos a = const, то

Пусть y = kx + b -уравнение асимптоты: тогда

откуда

f(x) = kx + b + b (3)

где b - бесконечно малая при x ® +¥.
Таким образом, если уравнение кривой можно представить в виде (3), где k и b - некоторые постоянные, а b ®0 при x ® +¥, то кривая имеет асимптоту y = kx + b. Аналогичное условие можно написать для асимптоты, когдаx ® -¥

Однако не всегда легко представить уравнение кривой в виде (3). Поэтому для нахождения наклонной асимптоты сначала определяют угловой коэффициент k, а потом отрезок b, отсекаемый асимптотой на оси Oy. Выведем формулы для вычисления k и b.
Запишем условие (3) в виде

При x ® +¥ слагаемое стремится к нулю, а потому

(4)

Теперь из уравнения

f(x) = kx + b + b

находим b:

 

b = f(x) - kx - b

или, так как ,

(5)

Если пределы (4) и (5) существуют, то кривая имеет при x®+¥ асимптоту
y = kx + b,

где k и b находятся по формулам (4) и (5). Для x®-¥ формулы такие же, но пределы находятся при x®-¥.
При k = 0 получаем уравнение
y = b

горизонтальной асимптоты, причем

Правило Лопиталя.

Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей 0 / 0 и ∞ / ∞ , который основан на применении производных.

Правило Лопиталя, при 0 / 0.

Пусть функции f(x) и φ (x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x₀ и обращается в нуль в этой точке: .

Пусть φ ′ (x) ≠ 0 в окрестности точки x₀

Если существует предел

, то

Применим к функциям f(x) и φ (x) теорему Коши для отрезка [x₀; x], лежащего в окрестности точки x₀, тогда

, где с лежит между x₀ и х.

 

При x→ x₀ величина с также стремится к х₀; перейдем в предыдущем равенстве к пределу:

Так как , то .

Поэтому

(предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если последний существует)

Правило Лопиталя, при ∞ / ∞.

Пусть функции f(x) и φ (x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x₀ (кроме точки x₀), в этой окрестности

Если существует предел

, то

Неопределенности вида 0∙ ∞ ; ∞ -∞ ; 1^∞ ; ∞ ⁰; 0⁰ сводятся к двум основным.

Например, 0∙ ∞

Пусть f(x)→ 0, φ (x)→ ∞ при х→ х₀

42.Формула Тейлора для функции.

Если функция ƒ (х) определена в некоторой окрестности точки х₀ и имеет в ней производные до (n+1)-го порядка включительно, то для любого х из этой окрестности найдется точка сє(х₀; х) такая, что справедлива формула

Формула (26.3) называется формулой Тейлора для функции ƒ (х). Эту формулу можно записать в виде ƒ (х)=Р_n(х)+R_n(x), где

называется многочленом Тейлора, а

называется остаточным членом формулы Тейлора, записанным в форме Лагранжа. R_n(х) есть погрешность приближенного равенства ƒ (х)≈ Р_n(х). Таким образом, формула Тейлора дает возможность заменить функцию у=ƒ (х) многочленом у=Р_n(х) с соответствующей степенью точности, равной значению остаточного члена R_n(x).

При х₀=0 получаем частный случай формулы Тейлора — формулу Маклорена:

где с находится между 0 и х (с=θ x, 0< θ < 1).

При n=0 формула Тейлора (26.3) имеет вид ƒ (х)=ƒ (х₀)+ƒ '(с)(х-х₀) или ƒ (х)-ƒ (х₀)=ƒ '(с)(х-x₀), т. е. совпадает с формулой Лагранжа конечных приращений. Рассмотренная ранее формула для приближенных вычислений ƒ (х)≈ ƒ (х₀)+ƒ '(х₀)(х-х₀) (см. «дифференциал функции») является частным случаем более точной формулы

Комплексные числа.

⇐ Предыдущая1234567

Поделиться: