Случайные переменные (величины)

Случайной переменной (величиной) называется переменная, которая с определенной вероятностью может принимать те или иные значения из некоторого множества [5].

Случайные величины обозначаются большими буквами, а их возможные значения малыми.

Например, случайная величина x принимает значения х_1, х_{2, ….}х_n

Для полной характеристики случайной величины x должны быть указаны все ее значения х_1, х_{2, ….}х_n и их вероятности р_1, р_{2, ….}р_n

Универсальным способом задания случайной величины x является задание ее функции распределения.

Функцией распределения F(x) случайной величины х называется вероятность того, что величина х принимает значение меньше х, то есть

Свойства функции распределения:

1) при любых ;

2) ;

3) – неубывающая функция;

4) .

Различают дискретные и непрерывные случайные величины.

Дискретной называется случайная величина, которая принимает отдельные, изолированные друг от друга значения.

Число возможных значений дискретной случайной величины конечно или счетно. Например, сумма выпавших очков при бросании двух игральных костей, число телевизоров, проданных в магазине за один день

Перечень возможных значений случайных величин и соответствующих им вероятностей называется законом распределения дискретных случайных величин.

Дискретные случайные величины удобнее задавать не в виде функции распределения, а в виде ряда распределения.

При табличном задании ряда распределения первая строка таблицы содержит возможные значения х_1, х_{2, ….}х_n случайной величины, а вторая – соответствующие им вероятности р_1, р_{2, ….}р_n:

х	х1,	х2	….	хn
р	р1,	р2	….	рn

 

где p_i =Р(Х=х _i ), причем Σ p_i =1.

Графическое изображение ряда распределения называется полигоном распределения.

Пример 1.1 Возьмем две игральные кости. Пусть одна из них черная, другая – белая. Если их бросить, то возможно 36 исходов эксперимента, т.к. на каждой кости может выпасть любое число от 1 до 6. Взаимосвязь между исходами эксперимента и значениями случайной величины можно показать в таблице 1.1.

Пусть случайная величина Х равна сумме значений, выпавшими при бросании костей. Тогда она может принимать только одно из 11 числовых значений от 2 до 12.

Таблица 1.1

белая	черная

Определим вероятности каждого значения. Т.к. на костях имеется 36 (6*6) различных комбинаций, то каждый исход имеет вероятность равна . Только одна из возможных комбинаций, когда черная равна 1 и белая равна 1 дает сумму равную 2, тогда вероятность того, что х=2 будет . Чтобы получить сумму х=5 нам потребуется сочетание:

белая
черная

В этом случае имеется 4 возможных исхода. Вероятность получения х=5 равна . Чтобы получить сумму х=7 потребуется сочетание:

белая
черная

В этом случае имеется 6 возможных исходов, вероятность получения х=7 равна и т.д

Совокупность всех возможных значений случайной переменной описывается генеральной совокупностью, из которой выбираются эти значения.

В случае игральных костей генеральная совокупность –это набор чисел от 2 до 12, а закон распределения имеет вид

значения Х
вероятность р	1/36	2/36	3/36	4/36	5/36	6/36	5/36	4/36	3/36	2/36	1/36

Σ p_i = = 1

Закон распределения дискретной величины x может быть задан так же аналитически (в виде формулы).

Закон распределения дискретной величины x может быть представлен графически, для этого в прямоугольной системе координат строят строки М₁(х_1, р₁), М₂(х_2, р₂), …, М(х_n, р_n) и соединяют их отрезками прямых. Полученную прямую называют прямоугольником распределения.

Пример 1.2 Дискретная случайная величина x законом распределения

х
р	0, 2	0, 1	0, 4	0, 3

Построить многоугольник распределения.

Решение (рисунок 1.3).

Рисунок 1.3

Биномиальным законом называется закон распределения дискретной случайной величины x – числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р; здесь вероятность возможного значения х=k (числа появлений события) вычисляют по формуле Бернулли:

,

где n -натуральное число, k=0, 1, 2, …, n.

Принято обозначать

.

Непрерывной называется случайная величина, множество значений которой непрерывно заполняет некоторый числовой промежуток.

Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Непрерывная случайная величина задается функцией распределения F^'(x), но обычно вместо нее используется плотность распределение вероятностей ƒ (х) [5].

Плотностью распределения вероятностей ƒ (х) непрерывной случайной величины называется производная от функции распределения, т.е. ƒ (х)= F^'(x).

Из определения производной следует вероятностный смысл плотности распределения:

то есть, предел отношения вероятности попадания случайной величины Х в интервал к длине этого интервала при равен значению плотности распределения вероятностей ƒ (х).

Итак, из определения плотности распределение следует, что функция распределение F(x) является первообразной для плотности распределения ƒ (х).

Свойства плотности распределения:

1) ƒ (х)≥ 0 при любых х R.

Функция плотности вероятности ƒ (х) принимает неотрицательные значения, то есть график функции расположен выше оси ОХ.

2) - вероятность попадания случайной величины х в интервал [a, b]

Геометрически: Вероятность попадания случайной величины х в интервал [a, b] вычисляется как площадь кривой плотности вероятности ƒ (х) на отрезке [a, b](рисунок 1.4).

Рисунок 1.4

3) .

Особое значение имеет нормальное распределение вероятностей:

, (1.4)

где и - параметры.

Центральная предельная теорема утверждает, что если случайную величину можно представить как сумму большого числа не зависящих друг от друга слагаемых, каждые из которых вносит в сумму незначительный вклад, то эта сумма распределена приблизительно по нормальному закону (1.4).

1.5.3 Числовые характеристики распределения

В основе математической статистики лежат понятия генеральной и выборочной совокупностей.

Генеральная совокупность – это множество всех значений (исходов) случайной величины, которые она может принять в процессе наблюдения.

Например, данные о доходах всех жителей страны.

Выборочная совокупность (выборка) – это множество наблюдений, составляющих лишь часть генеральной совокупности.

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: