Способы оценивания характеристик случайной величины и оценки

В отдельных случаях вместо рассмотрения случайной величины как единого целого удобного ее разбить на постоянную и чисто случайную составляющие, где постоянная всегда есть ее математическое ожидание [1, 3, 5].

Пусть х- случайная переменная, - ее математическое ожидание, тогда случайную величину х можно представить в виде , где u – чисто случайная составляющая.

Случайную составляющую u можно определить как разность . По свойствам математического ожидания имеем, что математическое ожидание u равно нулю, так как .

Теоретическая дисперсия х равна теоретической дисперсии u, т.е.

или по определению , . Таким образом, теоретическая дисперсия может быть эквивалентно определена как дисперсия х или u.

Если х- случайная переменная, определенная по формуле ,

где μ - заданное число, u- случайный член, у которого и , то математическое ожидание величины равно , дисперсия - .

До сих пор предполагалось, что имеется точная информация о рассматриваемой случайной переменной. В случае дискретной случайной переменной известны ее распределения вероятностей.

С помощью этой информации можно рассчитать теоретическое математическое ожидание, дисперсию и другие, интересующие нас характеристики.

На практике точное вероятностное распределение или плотность распределения вероятностей случайной переменной могут быть неизвестны. Это означает, что неизвестны также теоретическое математическое ожидание и дисперсия. Тем не менее, эти или другие теоретические характеристики генеральной совокупности могут быть нам необходимы. В этом случае применяют оценки теоретических характеристик.

Процедура оценивания всегда одинакова. Берется выборка из n наблюдений, и с помощью подходящей формулы рассчитывается оценка нужной характеристики.

Способ оценивания – это общее правило, или формула.

Значение оценки – это конкретное число, которое меняется от выборки к выборке.

Получаемая оценка является частным случаем случайной переменной.

По характеристикам выборочной совокупности дать оценку характеристик генеральной совокупности.

Характеристики генеральной совокупности называется параметрами, а выборочной совокупности - оценками.

Приведем формулы оценивания для двух важнейших характеристик генеральной совокупности:

Характеристики генеральной совокупности	Формулы оценивания
Среднее		Выборочное среднее
Дисперсия		Выборочная дисперсия

 

Для того, чтобы выборочная оценка давала хорошее приближение оцениваемого параметра, она должна удовлетворять следующим требованиям:

- несмещенности;

- эффективности;

- состоятельности.

Пусть – искомый параметр генеральной совокупности;

– оценка, полученная на основе выборки объема n.

Несмещенность оценок.

Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру, то есть

Если это не выполняется, то оценка называется смещенной.

Разность называется смещением.

Например, 1) выборочная средняя является несмещенной оценкой для оценкой математического ожидания, то есть генеральной средней .

Доказательство,

Однако, не единственно возможная несмещенная оценка . Число несмещенных оценок бесконечно.

Пусть имеем выборку из двух наблюдений. Построим обобщенную формулу оценки: _.

Математическое ожидание:

Если , то имеем и является несмещенной оценкой .

Обобщенная оценка является несмещенной оценкой если . Это справедливо для любого числа .

2) Выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной совокупности.

Если наблюдения в выборке независимы, то в качестве оценки генеральной дисперсии используется так называемая «исправленная» дисперсия.

для которой ,

следовательно, величина является несмещенной оценкой теоретической дисперсии.

Эффективность оценок.

Несмещенная оценка называется эффективной, если по сравнению с другими оценками она имеет минимальную дисперсию.

Предположим, что А и В две оценки параметра , рассчитанные на основе одной и той же информации (рисунок 2.1).

 

 

Рисунок 2.1

Следовательно, оценка А более эффективная, чем оценка В.

Рассмотрим дисперсию обобщенной оценки теоретического среднего и покажем, что в случае, когда оба наблюдения имеют равные веса она будет минимальна.

Пусть наблюдения х₁ и х₂ независимы. Обобщенную оценку запишем в виде:

_.

Теоретическая дисперсия обобщенной оценки -

Для несмещенности необходимо равенство , отсюда для несмещенных оценок , следовательно,

.

Поскольку λ нужно выбрать так, чтобы минимизировать дисперсию, то нужно минимизировать выражение .

Эта задача решается графически или ищем минимум функции .

В любом случае при , отсюда .

Итак, выборочное среднее имеет наименьшую дисперсию и является наиболее эффективной среди всех несмещенных оценок.

Сделанные выводы справедливы для выборок любого размера, если наблюдения независимы друг от друга.

Для оценки желательна несмещенность и состоятельность (наименьшая возможная дисперсия).

Состоятельность оценок.

Оценка называется состоятельной, если с ростом объема выборки она дает все более точные значения характеристики случайной величины, то есть при по вероятности оценка _, следовательно .

Например, при различном объеме выборки распределение вероятности можно показать следующим образом (рисунок 2.2).

 

 

 

Рисунок 2.2

Здесь состоятельная оценка смещенная на малой выборке.

Теорема Чебышева закона больших чисел утверждает, что , то есть выборочная средняя является состоятельной оценкой генеральной средней .

Пример 2.1 Рассчитайте дисперсию обобщенной оценки теоретического среднего для частного случая и выборки из двух наблюдений, с величинами от 0 до 1 при шаге 0, 1.

Нанесите полученные точки на график. Важно ли, чтобы весовые коэффициенты равнялись друг другу?

Решение:

, так как

.

λ 1	2(λ 1 )2 - 2λ 1 +1= pop.var(λ 1 *х1 + λ 2 *х2 )
0, 0	1, 0
0, 1	0, 02-0, 2+1=0, 82
0, 2	0, 08-0, 4+1=0, 68
0, 3	0, 18-0, 6+1=0, 58
0, 4	0, 32-0, 8+1=0, 52
0, 5	0, 50-1, 0+1=0, 50
0, 6	0, 72-1, 2+1=0, 52
0, 7	0, 98-1, 4+1=0, 58
0, 8	1, 28-1, 6+1=0, 68
0, 9	1, 62-1, 8+1=0, 82
1, 0	2, 0-2+1=1, 0

 

 

 

Контрольные вопросы:

1.Что такое чисто случайная составляющая u?

2.Что такое оценка?

3.Для чего нужен способ оценивания?

4.Какая оценка называется эффективной?

5.Какая оценка называется несмещенной?

6.Какая оценка называется состоятельная?

7. Что такое выборочное среднее.

 

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: