Модель парной линейной регрессии

Важнейший задачей экономического анализа является установление взаимосвязей экономических переменных, что помогает при анализе их поведения [2, 15].

Коэффициент корреляции показывает, что две переменные связаны друг с другом, но он не дает представления о том, каким образом они связаны.

Рассмотрим случай двух переменных и и определим существует или нет линейная связь между ними.

Проведем случайную выборку.

При значениях наблюдаем значения соответственно. На плоскости отметим точки с координатами .

Предположим, что точки группируются вокруг некоторой прямой линии

точки не находятся точно на этой линии. Это неудивительно, т.к. помимо на поведение оказывают влияние и другие факторы.

На переменные накладывается ряд условий. Для описания природы связи используется термин «регрессия». «Регресс» (лаг) – отклонение, движение назад.

Зависимость между переменными и в генеральной совокупности можно представить как модель парной линейной регресии

где – результативная (или объясняемая, зависимая) переменная;

– факторная ( или объясняющая, независимая) переменная;

и – неизвестные параметры модели;

– случайный член (случайная ошибка регрессионной модели).

Величина состоит из двух составяющих:

1) случайный составляющий ;

2) случайного члена .

Основные предпосылки модели парной линейной регресии:

- связь между переменными и линейная;

- независимая переменная может быть использована для прогноза ;

- остатки нормально распределены;

- для всех данных математическое ожидание равно нулю;

- ошибки независимы;

Наличие случайного члена связано с воздействием на зависимую переменную у других неучтенных в данной модели факторов.

Например, нелинейность модели, наличие других переменных, неучтенных в модели; неправильный выбор объясняющей переменной, ошибки в измерениях.

Рассмотрим как комбинация этих двух составляющих определяет величину .

Пусть объясняющая (факторная) переменная имеет значения . Если бы соотношение были бы точным, то вычисленные по формуле значения были бы представлены точками , которые лежали бы на прямой.

Наличие случайного члена приводит к тому, что в действительности значение у получается другим.

Обозначим через , точки которые отражают реальные значение ( рисунок 4.1).

Рисунок 4.1

На диаграмме рассеяния случайный член для точек и и для точек и .

Фактические значения параметров и , отсюда и положение точек

, а также фактическое значение случайного члена неизвестны.

Рассчитать истинные значения и практически невозможно.

Можно получить только оценки этих параметров.

Задача регрессионного анализа состоит в получении оценок параметров и и в определении положения прямой по точкам . Очевидно, чем меньше значение , тем легче эта задача.

Пусть имеем четыре наблюдения .

На основе выборочного наблюдения оценим выборочное уравнение регресии (линии регрессии) , где - отрезок, отсекаемый прямой на оси , является оценкой , – угловой коэффициент прямой, т.е. показатель наклона линии линейной регрессии, является оценкой .

Пусть при вычислим , соответствующей точкой на линии регрессии будет .

Разность между фактическим и расчетным значениями называется остатком в первом наблюдении и определяется отрезком .

Аналогично определим остатки:

Очевидно, что линию регрессии нужно строить так, чтобы остатки были бы минимальными.

При этом линия, строго соответствующая одним наблюдениям не будет соответствовать другим и наоборот.

Необходимо выбрать такой критерий подбора коэффициентов и в уравнении линии регрессии , который будет одновременно учитывать величину всех остатков.

Один из способов решения данной проблемы состоит в минимизации суммы

Величина зависит от выбора и , так как они определяют положение линии регрессии.

Чем меньше , тем строже может соответствовать.

Если , то получено абсолютно точное соответствие, так как это значит, что все остатки равны нулю.

 

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: