Структурные средние величины. Все структурные средние являются именованными величинами.

Наиболее часто применяемыми структурными средними величинами являются: мода, медиана, квартили, децили, перцентили.

Все структурные средние являются именованными величинами.

Мода ( ) – величина признака (варианту), которая наиболее часто встречается в исходной совокупности.

В дискретном вариационном ряду модой является варианта, имеющая наибольшую частоту (частость).

Пример 5. Используя распределение 25 работников по тарифному разряду (цифры условные) рассчитать моду.

 

Тарифный разряд,	Число работников, чел.,
Итого

Решение. В данном примере наибольшей частоте ( = 6) соответствует величина признака, равная 4. Значит, = 4 тарифному разряду, т. е. наиболее часто в исходной совокупности встречаются работники, имеющие четвертый тарифный разряд.

 

В интервальном вариационном ряду с равными интервалами моду рассчитывают по формуле

,

где – нижняя граница интервала, содержащего моду;

– величина модального интервала;

– частота (частость) модального интервала;

– частота (частость) интервала, предшествующего

модальному;

– частота (частость) интервала, следующего за модальным.

Пример 6. По приведенным условным данным о трудовом стаже 20 работников отдела вычислить моду (по формулам и графически).

 

Стаж работы работников, лет	Численность работников, чел.
до 5
5 –10
10–15
15–20
Итого

Решение. По наибольшей частоте ( = 10) определяем, что модальным является интервал по стажу работы 10–15 лет. Подставим значения в формулу и вычислим моду

= 12, 9 лет,

т. е. чаще встречаются работники, имеющие трудовой стаж примерно 13 лет.

В интервальном вариационном ряду моду можно вычислить графически по гистограмме (рис. 4).

Рис. 4. Гистограмма

 

В интервальном вариационном ряду с неравными интервалами моду рассчитывают по формуле

,

где z – плотности распределения = .

Пример 7. По приведенным условным данным вычислить моду

Размер заработной платы, руб. / мес.	Численность работников, чел.
до 5000
5 000–7 000
7 000–10 000
10 000–15 000
Итого

Решение. В данном вариационном ряду интервалы группировки неравные, все предварительные расчеты представим в таблице:

		=		=
до 5 000			2 000	0, 0065
5 000–7 000			2 000	0, 0200
7 000–10 000			3 000	0, 0090
10 000–15 000			5 000	0, 0040
Итого

Наибольшая плотность распределения = 0, 020.

Это означает, что модальным является интервал 5 000 – 7 000 руб.

 

= 6 102 (руб.),

т. е. большинство сотрудников получают заработную плату в размере 6 102 руб. в месяц.

В интервальном вариационном ряду с неравными интервалами моду также можно вычислить графически по гистограмме (по аналогии с ее определением в интервальном вариационном ряду с равными интервалами, только по оси ординат вместо частот (частостей) откладывают соответствующие плотности распределения).

Медиана ( ) – значение признака (варианта), которое имеет единица совокупности, делящая исходную совокупность на две равные по числу единиц части, т. е. в соотношении : .

Квартиль (Q) – значение признака, которое делит исходную совокупность на 4 равные по числу единиц части. Например, при вычислении первого квартиля ( ) исходная совокупность делится в соотношении : , третьего ( ) – в соотношении : .

Дециль (D) – значение признака, который делит исходную совокупность на 10 равных частей. Например, при вычислении первого дециля ( ) исходная совокупность делится в соотношении : , а при вычислении девятого дециля ( ) исходная совокупность делится в соотношении : .

В дискретном вариационном ряду значениями медианы, квартилей и децилей являются варианты, соответствующие единицам совокупности, которые делят исходную совокупность в нужном соотношении.

Пример 8. По исходным данным примера 5 рассчитать медиану, третий квартиль и девятый дециль.

Решение. Вычислим накопленные частоты и определим порядковые номера соответствующих единиц совокупности.

		S
Итого		–

= 12, 5 единица;

= 18, 75 единица;

22, 5 единица.

 

По накопленным частотам определяем, что 12, 5-й единице совокупности соответствует значение признака, равное 4, т. е. = 4 тарифному разряду. Значит, половина работников исходной совокупности (50% работников) имеют 4 тарифный разряд и ниже, вторая половина работников (50%) имеют 4 тарифный разряд и выше.

Аналогично определяем, что Q₃ = 5 тарифный разряд, т. е. 75% работников имеют 5 тарифный разряд и ниже, а 25% работников – 5 тарифный разряд и выше.

D₉ = 6 тарифный разряд, т. е. 90% работников имеют 6 тарифный разряд и ниже, а 10% работников – 6 тарифный разряд.

В интервальном вариационном ряду медиану вычисляют по формуле

,

где – нижняя граница интервала, содержащего медиану;

– величина медианного интервала;

– сумма всех частот (частостей);

– накопленная частота (частость) интервала, предшествующего медианному;

– частота (частость) медианного интервала.

Расчет квартиля и дециля производится аналогично медиане. Например,

;

.

В интервальном вариационном ряду медиану, квартиль, дециль можно вычислить графически по кумуляте.

Пример 9. По исходным данным примера 7 вычислить , и (по формулам и графически).

Решение. Рассчитаем накопленные частоты и определим порядковые номера единиц, делящих исходную совокупность в нужном нам соотношении:

		S
до 5 000
5 000–7 000
7 000–10 000
10 000–15 000
Итого

 

= 15 (15-я единица).

По накопленным частотам определяем, что 15-я единица совокупности содержится в интервале 5 000–7 000 руб. Этот интервал является медианным. Подставим значения в формулу

(руб.). Половина работников отдела имеют размер заработной платы менее 6 833 руб., половина – более 6 833 руб.

= 7, 5 (7, 5 единица).

По накопленным частотам определяем, что первый квартиль находится в интервале 5 000 – 7 000 руб. Вычислим первый квартиль

+ = = = 5 583 (руб.).

Значит, 25% работников имеют размер заработной платы менее 5 583 руб., а 75% – больше 5 583 руб.

= = 24 (единица). По накопленным частотам определяем, что восьмой дециль содержится в интервале 7 000 – 10 000 руб. Вычислим его по формуле

= = 10 000% работников имеют размер заработной платы меньше 10 000 рублей, 20% – более 10 000 рублей.

Построим кумуляту (рис. 5).

Рис. 5

 

Показатели вариации

К абсолютным показателям вариации относятся:

Размах вариации(R) – определяется по формуле

R = – .

Среднее квартильное отклонение( ) – рассчитывают по формуле

.

Среднее линейное отклонение( ) – рассчитывают по формулам

– для не сгруппированных данных;

– для сгруппированных данных.

Дисперсия( ) – вычисляется по формулам

– для не сгруппированных данных;

– для сгруппированных данных.

Среднее квадратическое отклонение( ) – вычисляется по формулам

– для не сгруппированных данных;

– для сгруппированных данных.

Показатель среднего квадратического отклонения используется при оценке меры риска при принятии финансово-экономических решений. Чем меньше величина σ, тем меньше возможный риск.

К относительным показателям вариации относятся:

– коэффициент квартильной вариации ( )

= .

– коэффициент осцилляции( )

= 100 (%).

– коэффициент вариации( )

.

Исходная совокупность считается однородной по изучаемому признаку, если коэффициент вариации не превышает 33%. Коэффициент вариации применяется при сравнении степени вариации в различных совокупностях.

Пример 10. По приведенным условным данным о размере и числе соответствующих штрафов вычислить показатели вариации.

 

Размер штрафа, руб.	Число штрафов, единиц
80–100
100–120
120–140
140–160
160–180
Итого

Решение. Исходные данные являются сгруппированными, поэтому для расчета необходимых показателей будем применять взвешенные формулы. Все предварительные расчеты представим в следующей таблице:

80–100						4 050
100–120						3 750
120–140
140–160			1 200			1 800
160–180						4 900
Итого			3 240			14 600

1. Размах вариации R = – = 180 – 80 = 100 руб.

2. Средний размер штрафа руб.

3. Среднее линейное отклонение = =

4. Дисперсия = = 608, 3.

5. Среднее квадратическое отклонение = = 24, 66 руб. Это значит, что в среднем размер каждого штрафа отличается от среднего размера штрафа ( = 135 руб.) на 24, 66 руб.

6. Коэффициент вариации: = = 18, 3 %.

Поскольку величина данного коэффициента меньше 33%, то можно сделать вывод об однородности исходной совокупности штрафов по их размеру.

Основные математические свойства дисперсии:

– дисперсия, рассчитанная по отношению к средней величине, является минимальной;

– дисперсия постоянной величины равна нулю;

– если все индивидуальные значения признака (варианты) увеличить (уменьшить) на какое-то постоянное число А, то дисперсия новой совокупности не изменится;

– если все индивидуальные значения признака (варианты) увеличить (уменьшить) в k раз (где k – постоянное число, отличное от нуля), то дисперсия новой совокупности увеличится (уменьшится) в k² раз;

– если вычислена дисперсия по отношению к числу В, отличному от средней величины, то дисперсию исходной совокупности можно рассчитать по соотношению:

;

– дисперсию исходной совокупности можно рассчитать как разность между средней квадратов признаков и квадратом средней величины:

.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: