Характеристика закономерностей рядов распределения

Изменение частот в вариационных рядах называют закономерностями распределения. Кривая распределения – графическое изображение в виде непрерывной линии изменения частот в вариационном ряду.

Уравнение нормальной кривой имеет следующий вид:

у (t) = ,

где у (t) – ордината кривой нормального распределения;

t – нормированное отклонение, равное t = ;

– число 3, 1415;

e – число 2, 7182.

Различают следующие виды кривых распределения:

– одновершинные (симметричные и асимметричные);

– многовершинные.

При симметричном распределении частоты любых двух вариантов, равностоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой, т. е. = = .

Для сравнительного изучения асимметрии распределений вычисляют относительный показатель асимметрии( ) по формулам

= или = .

При правосторонней асимметрии < < , > 0.

При левосторонней асимметрии > > , < 0.

Степень асимметрии можно определить как отношение момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению в кубе по формуле = .

Асимметрия выше 0, 5 (без учета знака) считается значительной, меньше 0, 25 – незначительной.

Для нормального распределения характерны следующие зависимости:

R = и = .

Под эксцессом распределения понимается высоковершинность или низковершинность распределения по сравнению с нормальным распределением.

При высоковершинности наблюдается скопление частот в середине ряда, а при низковершинности – разбросанность частот ряда.

Для характеристики степени эксцесса применяется коэффициент эксцесса (Е)

Е = ,

где – момент четвертого порядка

.

Если Е = 0 – нормальное распределение;

Е > 0 – выше нормального;

Е < 0 – ниже нормального.

Задания для самостоятельного решения

 

1. Имеются условные данные о размере полученной месячной пенсии (руб.) пятнадцати пенсионеров:

4600; 5650; 4300; 3800; 4150; 2500; 3700; 4050; 4300; 2750; 3200; 2600; 3250; 3800; 2925.

Определите средний размер месячной пенсии одного пенсионера.

2. По приведенным условным данным по одной из фирм вычислите среднюю месячную заработную плату одного сотрудника, моду и медиану.

Размер заработной платы, руб./ мес.	Численность сотрудников, чел.
10 800
12 100
14 500
15 000
18 500
Итого

 

3. По исходным данным задания 1 определите величину среднего размера месячной пенсии, если:

– размер пенсии каждого пенсионера увеличить на 300 руб.;

– размер пенсии каждого пенсионера увеличить в 1, 2 раза.

 

4. По трем универсамам имеются условные данные о продаже сыра:

№ универсама	Цена 1 кг сыра, руб.	Выручка от продажи, тыс. руб.
		337, 5
		210, 0
		192, 0

Определите среднюю цену 1 кг проданного сыра в целом по трем универсамам.

5. По данным о распределении безработных в РФ по возрасту в 2006 г. определите:

– средний возраст одного безработного в стране;

– моду, медиану, третий квартиль, первый дециль (по формулам и графически).

Возраст безработных, лет	Число безработных, в % к итогу
16–25	31, 1
25–40	33, 2
40–50	22, 2
50–55	8, 4
55–60	3, 8
60–72	1, 3
Итого	100, 0

6. По приведенным условным данным о продаже мужской обуви вычислите: моду, медиану, первый квартиль и первый дециль.

Размер обуви	Количество проданных пар, шт.
Итого

 

 

7. По приведенным условным данным рассчитайте за каждый год среднюю урожайность картофеля в целом по двум хозяйствам:

№ хозяйства	2005 г.	2006 г.
Урожайность картофеля, ц/га	Посевная площадь, га	Урожайность картофеля, ц/га	Валовой сбор, тыс. т
				36, 8
				37, 7

8.Ниже приводится группировка депутатов Государственной думы по возрасту на начало года:

Возраст депутатов, лет	Численность депутатов, чел.
2005 г.	2007 г.
18–30		–
30–40
40–50
50–60
60 и старше
Итого

Определите за каждый год:

а) средний возраст одного депутата Госдумы;

б) моду, медиану, первый квартиль и девятый дециль (по формулам и графически).

 

9. Имеются данные о финансовых показателях двух фирм за два периода:

№ фирмы	2004 г.	2006 г.
Прибыль в расчете на одну акцию, руб.	Количество акций, шт.	Прибыль в расчете на одну акцию, руб.	Сумма прибыли, тыс. руб.

Рассчитайте средний размер прибыли на одну акцию по двум фирмам за два года.

 

10. Ниже приводится распределение кредитных организаций страны по величине зарегистрированного уставного капитала на начало года:

 

 

Величина уставного капитала, млн. руб.	Число кредитных организаций, ед.
2005 г.	2007 г.
до 10
10–30

 

О к о н ч а н и е

30–60
60–150
150–300
300 и более
Итого

Вычислите за каждый год и сравните показатели:

– средний размер уставного капитала одной кредитной организации;

– моду, медиану, первый квартиль, первый дециль.

11. По исходным данным задания 1 рассчитайте абсолютные и относительные показатели вариации. Сделайте выводы.

 

12. По исходным данным задания 11 рассчитайте абсолютные и относительные показатели вариации. Сделайте выводы.

13.Ниже приводится распределение населения РФ по величине среднедушевых денежных доходов (руб./ месяц):

Величина среднедушевых денежных доходов, руб./ месяц	Численность населения, в % к итогу
2004 г.	2006 г.
до 1500	6, 2	1, 8
1 500–2 500	13, 2	5, 8
2 500–3 500	14, 4	8, 5
3 500–4 500	12, 8	9, 4
4 500–6 000	15, 0	13, 5
6 000–8 000	13, 4	14, 9
8 000–12 000	13, 7	19, 7
свыше 12 000	11, 3	26, 4
Итого	100, 0	100, 0

Рассчитайте за каждый год:

– средний размер среднедушевого денежного дохода одного человека (способом моментов);

– моду, медиану, третий квартиль и девятый дециль (по формулам и графически);

– дисперсию (всеми известными способами);

– среднее квадратическое отклонение;

– коэффициент вариации.

Дайте характеристику распределения населения по величине среднедушевых денежных доходов.

14. По исходным данным задания 8 рассчитайте за каждый год дисперсию методом средних и способом моментов. Дайте характеристику распределения депутатов Государственной думы по возрасту.

15.В первой партии обуви, поступившей в магазин, из 1500 пар 20 оказалась бракованными; во второй партии из 3 000 пар забракованы 30 пар обуви (цифры условные). Определите, в какой из двух партий вариация доли забракованной обуви больше.

 

16.Ниже приводится распределение депутатов Государственной думы по возрасту по состоянию на 01.01.2007 г.:

Возраст депутатов, лет	Число депутатов, чел. – всего	В том числе
«Единая Россия»	другие	«КП РФ»	«Родина»	«ЛДПР»
18–30	–	–	–	–	–	–
30–39			–	–
40–49
50–59
60–75
Всего

Вычислите: общую дисперсию; внутригрупповые дисперсии; межгрупповую дисперсию. Проверьте правило сложения дисперсий. Рассчитайте эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

17.Продолжительность телефонных разговоров характеризуется следующими данными: модальная продолжительность разговора – 15 мин., средняя – 10 мин., среднеквадратическое отклонение продолжительности разговора – 6 мин.

Определите коэффициент асимметрии распределения времени по продолжительности разговоров.

18.Ниже приводится распределение лиц, совершивших преступления в нашей стране, по возрасту:

Возраст на момент совершения преступления, лет	Численность лиц, тыс. чел.
2004 г.	2006 г.
14–18	152, 0	148, 1
18–25	348, 0	378, 0
25–30	202, 0	242, 0
30–50	425, 0	478, 0
50 и старше	96, 3	114, 0
Итого	1223, 3	1360, 1

Вычислите за каждый год:

– средний возраст лица, совершившего преступление;

– моду, медиану, третий квартиль, первый и девятый децили;

- абсолютные и относительные показатели вариации.

19.Из 450 абитуриентов института 60 имели при поступлении золотую или серебряную медали. Вычислите дисперсию альтернативного признака, если альтернативным признаком считать наличие медали у абитуриента.

20.Ниже приводятся данные об итогах сдачи письменного экзамена по статистике студентами 1 курса факультета менеджмента РЭА им. Г. В. Плеханов в январе 2007 г.:

Оценка	Число полученных оценок в группах
№ 1105	№ 1106	№ 1108
Всего

Рассчитайте: общую дисперсию исходной совокупности, межгрупповую и внутригрупповые дисперсии. Проверьте правило сложения дисперсий. Рассчитайте эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

21.Средняя величина признака в изучаемой совокупности равна 11, а средний квадрат индивидуальных значений этого признака – 139. Определите дисперсию, рассчитанную по отношению к числу 15.

22.Имеются данные о распределении кредитных организаций в отдельных федеральных округах РФ на начало 2006 г. по величине зарегистрированного уставного капитала (млн. руб.):

Группы кредитных организаций по величине уставного капитала, млн. руб.	Число кредитных организаций, в % к итогу
Северо- Западный	Южный	Сибирский
до 30	48, 8	64, 8	47, 9
30–150	33, 3	25, 8	35, 7
150–450	17, 9	9, 4	16, 4
Итого	100, 0	100, 0	100, 0

Сравните коэффициенты вариации величины уставного капитала в представленных федеральных округах.

 

23.По исходным данным заданий 18 дайте характеристику распределения лиц, совершивших преступление, по возрасту. Рассчитайте дисперсию альтернативного признака, если альтернативным признаком считать возраст лиц, совершивших преступление, до 25 лет.

24.Определите средний размер вклада в отделении Сбербанка России, если его дисперсия равна 722 500, а средний квадрат значений этого признака составляет 2 285 000.

25.С помощью коэффициента детерминации и величины корреляционного отношения определите тесноту связи между средним размером вкладов в банке и местом жительства населения области (цифры условные):

Группы населения	Число вкладов, тыс. ед.	Средний размер вклада, тыс. руб.	Коэффициент вариации вклада, %
Городское		8, 5
Сельское		2, 5

26.Определите дисперсию возраста работников предприятия, если известно, что средний возраст одного работника составляет 30 лет, а коэффициент вариации равен 15%.

 

Контрольные вопросы

1. Дайте определение средней величины. Что она характеризует?

2. Перечислите виды степенных и структурных средних величин. В каких единицах измерения они выражаются?

3. Объясните правила применения простой и взвешенной средней арифметической величины.

4. Перечислите математические свойства средней арифметической величины.

5. В каких случаях применяются другие виды средних величин?

6. В чем заключается правило мажорантности средних величин?

7. Дайте определение моды и объясните способы ее расчета в дискретном и интервальном вариационных рядах.

8. Дайте определения: медианы, квартиля и дециля. Объясните способы их расчета в дискретном и интервальном вариационных рядах.

9. Как в интервальном вариационном ряду моду, медиану, квартили и децили определяют графически?

10. Что характеризуют коэффициенты асимметрии и эксцесса?

11. Какие показатели вариации Вы знаете? Как они рассчитываются и что характеризуют?

12. Перечислите математические свойства дисперсии.

13. Какие существуют способы расчета дисперсии?

14. Какие виды дисперсии вы знаете? В чем заключается правило сложения дисперсий?

15. Как рассчитываются средняя величина и дисперсия альтернативного признака?

16.Что характеризует эмпирическое корреляционное отношение?

 

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: