Понятие шкалы измерений. Основные типы шкал измерений

Стр 1 из 10Следующая ⇒

МСТИ - КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

модуля № 2 " Метрология"

СОДЕРЖАНИЕ

Лекция № 4. Единица измерения. Система единиц

4.1. Единица измерения. Понятие размерности

4.2. Принципы построения системы единиц

4.3. Международная система единиц (SI)

Лекция №5. Шкалы измерений

5.1. Понятие шкалы измерений. Основные типы шкал измерений

5.2. Неметрические шкалы измерений

5.3. Метрические шкалы измерений

5.4. Абсолютные шкалы измерений

5.5. Сравнительный анализ основных типов шкал измерений

5.6. Логарифмические и биофизические шкалы измерений

Лекция №6. Погрешности измерений. Неопределенность в измерении

6.1. Классификация погрешностей

6.2. Принципы описания и оценивания погрешностей

6.3. Систематическая составляющая погрешности

6.4. Случайная составляющая погрешности

6.5. Выбросы и методы их исключения

6.6. Неопределенность результата измерения

6.7. Неопределенность и погрешность

Лекция №7. Обработка результатов наблюдений. Формы представления результата измерения

7.1. Прямые измерения с многократными наблюдениями

7.2. Прямое однократное измерение

7.3. Косвенное измерение

7.4. Совместное измерение

7.5. Оценивание достоверности контроля и погрешности испытаний

7.6. Оценивание результата измерительного контроля

Лекция № 8. Средства измерений

8.1. Средства измерительной техники

8.2. Обобщенная структура СИ, ее элементы

8.3. Нормируемые метрологические характеристики СИ

8.4. Погрешности СИ

8.5. Выбор СИ по критериям точности и производительности

Лекция №5. Шкалы измерений

Понятие шкалы измерений. Основные типы шкал измерений

Многообразные проявления конкретного свойства объекта измерения образуют множество, элементы которого находятся в определенных логических отношениях между собой. Отображение элементов этого множества на систему условных знаков с аналогичными отношениями образуют шкалу измерений данного свойства . Примерами знаковых систем являются множества: обозначений (названий) объектов, классификационных символов или понятий, названий состояния объекта, баллов оценки состояний объекта, упорядоченных чисел. Термины “шкала измерений”, ”модель”, ”отображение” можно рассматривать как синонимы. Шкала измерений – одно из основополагающих понятий современной метрологии. Создание репрезентативной теории измерений (теории шкал) позволило дать строгое обоснование корректности измерительных операций и их применимости к ряду явлений, которые до этого с трудом поддавались количественному или даже формальному описанию. Теория шкал опирается на достаточно развитый математический аппарат.

Каждая шкала измерений имеет свою спецификацию – документально оформленное описание особенностей построения самой шкалы, способов и условий ее однозначного воспроизведения, а также алгоритма ее использования при измерениях.

В соответствии с логической структурой проявлений свойств принято различать пять основных типов шкал:

Шкала наименований (классификации).

Шкала порядков (рангов).

Шкала разностей (интервалов).

Шкала отношений.

Абсолютная шкала.

Метрические шкалы измерений

Шкала разностей описывает свойство, для которого имеют смысл не только отношения эквивалентности и порядка, но и отношения аддитивности – суммирования интервалов (разностей между различными количественными проявлениями свойства). Шкала разностей имеет условную (принятую по соглашению) единицу измерения и условный нуль, опирающийся на какую-либо реперную (опорную) точку.

С разностями отсчетов по шкале интервалов допустимо выполнять любые арифметические операции. К ним применима процедура для отыскания математического ожидания, стандартного отклонения, коэффициента асимметрии. Результат измерения можно характеризовать неопределенностью или погрешностью. Однако все эти процедуры и операции, повторим, возможны только с интервалами. Но не имеет смысла, например, суммировать даты каких-либо событий или координаты различных точек пространства.

Характерными примерами шкал разностей являются шкалы интервалов времени, шкалы длин (расстояний, т.е. пространственных интервалов), практические температурные шкалы – по Цельсию, Фаренгейту, Реомюру.

Шкала отношений описывает свойство, к множеству количественных проявлений которого применимы отношения эквивалентности и порядка. В шкале отношений существует естественное начало отсчета (нулевое значение) и условная (принятая по соглашению) единица измерения. В целом в шкалах отношений допустимы все арифметические и статистические операции.

К части шкал отношений применимы операции вычитания и деления. Такие шкалы называют шкалами отношений первого рода – пропорциональными. Примером может служить термодинамическая температурная шкала. Вполне допустимо рассчитывать разности и отношения термодинамических температур разных объектов, однако сумма их температур не имеет смысла. В шкалах отношений второго рода – аддитивных – возможна операция суммирования. Примером такой шкалы является шкала массы. Допустимо вычислять не только разности и отношения масс различных объектов, но их суммы (масса всех тел Солнечной системы, суммарный тоннаж морских и речных судов). Другие примеры шкал отношений – шкалы давления, энергии (пропорциональные), шкалы силы, мощности (аддитивные).

Шкалы разностей и отношений, называемые метрическими шкалами, широко применяются в науке и технике и составляют основу Международной системы единиц. Метрические шкалы допускают изменение определения своих единиц при условии, что размеры самих единиц не изменяются, а лишь уточняются. В течение 20-го столетия трижды менялось определение секунды, четыре раза – определение метра, три раза – канделы. При каждом таком изменении преследовалась вполне определенная цель – повышение точности реализации соответствующей шкалы. Например, с принятием каждого нового определения метра и секунды точность их эталонов повышалась на 1-2 порядка. И каждый раз принимались все возможные меры для согласования «старых» и «новых» единиц.

Абсолютные шкалы измерений

Абсолютная шкала обладает всеми признаками шкалы отношений, но ее единица имеет естественное однозначное определение. Абсолютная шкала используется для измерения относительной величины – безразмерного отношения одноименных величин, которые описываются шкалами отношений.

Единицы абсолютных шкал безразмерны (разы, проценты, доли, полные углы и т.п.), поэтому они сочетаются с любыми системами единиц. Единицы абсолютных шкал принято называть внесистемными или надсистемными . Спецификация абсолютной шкалы допускает изменения. Так, при измерении плоского угла используется целая группа единиц: радиан, угловой градус, град, полный оборот, румб и т.д. Абсолютные шкалы могут быть ограниченными по диапазону (чаще всего от 0 до 1) или неограниченными.

Примерами абсолютных шкал могут служить шкалы измерения коэффициентов усиления, ослабления, отражения, поглощения, амплитудной модуляции, полезного действия, а также шкалы добротности, плоского и телесного углов и многие другие.

Лекция №6. Погрешности измерений. Неопределенность в измерении

Классификация погрешностей

Получение качественной и количественной информации о свойствах объектов окружающего мира путем измерения составляет предмет метрологии. Основная задача любого измерения – получение результата требуемого качества, то есть необходимой достоверности и точности (другими словами, правильности и прецизионности).

По одной из самых распространенных моделей объекта измерения главным параметром свойства, обладающего количественной характеристикой, является истинное значение этого свойства, называемого величиной. Качество измерения считается тем выше, чем ближе результат измерения к истинному значению величины. Поскольку истинное значение принципиально неопределимо, оно применяется только в теоретических исследованиях, а на практике его заменяют действительным значением (в международной практике для этой цели используется термин «условное истинное значение»).

Мерой несовершенства измерения является погрешность его результата, которая количественно оценивается отклонением результата измерения величины от ее истинного (действительного) значения. Когда необходимо различить “относительную погрешность” и “погрешность”, последнюю называют “абсолютной погрешностью измерения”. Многообразие факторов, влияющих на погрешность результатов измерений (сокращенно – погрешности измерений), определило классификацию погрешностей по нескольким признакам.

По способу выражения различают абсолютную и относительную погрешности. Абсолютная погрешность Δ x определяется как алгебраическая разность между измеренным и истинным (действительным) значением величины:

Δ x = x_изм- x_ист≈ x_изм- x_д.

Относительная погрешность d – это отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению величины:

δ = Δ x / x_ист ≈ Δ x / x_д ≈ Δ x / x_изм.

Абсолютная погрешность имеет размерность измеряемой величины, относительная погрешность безразмерна. Погрешность (и абсолютная, и относительная) есть величина алгебраическая, т.е. имеющая знак. Знак погрешности принято указывать всегда (не только " минус", но и " плюс" ). Некоторые метрологи используют величину, обратную модулю относительной погрешности, в качестве меры точности измерения.

По характеру изменения результатов при повторных измерениях погрешности делят на систематические, случайные и выбросы (грубые погрешности).

Систематическая погрешность – составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины. Систематическую погрешность стремятся выявить и устранить введением поправки. Оставшаяся ее часть после введения поправки называется неисключенной систематической погрешностью (НСП). Близость к нулю систематической погрешности характеризует правильность измерения, а результат измерения, в котором систематическая погрешность минимизирована, - исправленным.

Случайная погрешность – составляющая погрешности измерения, изменяющаяся непредсказуемым образом в серии повторных измерений одной и той же величины, проведенных с одинаковой тщательностью в одних и тех же условиях. В проявлении таких погрешностей не наблюдается закономерности и они обнаруживаются при повторных измерениях в виде некоторого разброса получаемых результатов. Случайные погрешности неизбежны, неустранимы и всегда присутствуют в результате измерения. Описание случайных погрешностей возможно только на основе теории случайных процессов и математической статистики. Близость к нулю случайных погрешностей называют сходимостью результатов измерений.

Выброс (грубая погрешность, ошибка, промах) – это аномальная по величине случайная погрешность результата отдельного наблюдения, которая приводит к явному искажению результата измерения. Если промахи обнаруживают в процессе измерения, то такие результаты отбрасывают сразу. Чаще грубые ошибки выявляются в процессе обработки результатов наблюдений с помощью специальных критериев.

В зависимости от причины возникновения различают методические, инструментальные и субъективные погрешности. Методическая погрешность измерения обусловлена отличием принятой модели объекта измерения от модели, адекватно описывающей его свойство, которое определяется путем измерения; влиянием способов применения средств измерения; влиянием алгоритмов, по которым производятся вычисления результатов измерений.

Инструментальная погрешность обусловлена погрешностью применяемого средства измерений. Инструментальная погрешность – одна из наиболее существенных составляющих погрешности результата измерения. Иногда эту погрешность называют аппаратурной или приборной.

Субъективная (личная) погрешность измерения обусловлена погрешностью отсчета оператором показаний по шкалам средств измерений. Для уменьшения субъективной погрешности применяют различные методы, в частности, зеркальные шкалы аналоговых средств измерений. Эта погрешность практически отсутствует при использовании цифровых и автоматизированных средств измерений.

По условиям проведения измерений различают основную и дополнительную погрешность. Основной называют погрешность измерения в нормальных условиях, которые оговорены в нормативно-технических документах. Дополнительной называют погрешность измерения при выходе какой-либо из влияющих величин за установленные пределы.

В свою очередь инструментальные погрешности также классифицируют. По форме представления погрешности средств измерений разделяют на абсолютные, относительные и приведенные. Если абсолютная погрешность не зависит от измеряемой величины ( Δ _СИ= a ), она называется аддитивной. Максимально допустимое значение относительной погрешности ( δ _СИ= a / x ) определяет нижний предел диапазона измерений данного СИ. Примеры аддитивных погрешностей – от неточной установки на нуль стрелки прибора перед измерением, от термо-ЭДС в цепях постоянного тока.

В случае, когда абсолютная погрешность пропорциональна измеряемой величине ( Δ _СИ= b·x ), ее называют мультипликативной; относительная погрешность в этом случае остается неизменной во всем диапазоне измерений ( δ _СИ= b ). Причинами мультипликативных погрешностей могут быть: изменение коэффициента усиления усилителя, отклонение реального значения жесткости мембраны манометра или пружины прибора от номинального, изменение опорного напряжения в цифровом вольтметре. Абсолютная погрешность, имеющая сложный характер зависимости от измеряемой величины, называется нелинейной.

Приведенная погрешность – это относительная погрешность, в которой абсолютная погрешность средства измерений отнесена к условно принятому (нормирующему) значению x_н: γ = Δ / x_н. Для аналоговых СИ в качестве нормирующего чаще всего принимают наибольшее значение по шкале прибора.

В зависимости от характера изменения во времени измеряемых величин погрешности СИ делят на статические и динамические. Статическая погрешность – это погрешность средства измерения в случае, когда измеряемая величина остается практически неизменной во время процедуры измерения. Динамической называют погрешность, которая возникает дополнительно при измерении переменной величины и обусловлена несоответствием реакции СИ на скорость (частоту) изменения измеряемого сигнала.

Специфической разновидностью погрешности СИ, возникающей в цифровых приборах и дискретных преобразователях, является погрешность квантования. При плавном измерении входной величины цифровой прибор не может дать других показаний, кроме ряда дискретных значений. Поэтому при номинально линейной функции преобразования реальная характеристика цифрового прибора представляет собой ступенчатую кривую (“лесенку”). Текущая разность номинальной и реальной характеристик цифрового прибора и составляет погрешность квантования. Эту погрешность можно определить как инструментальную случайную аддитивную статическую погрешность.

Косвенное измерение

При косвенных измерениях искомое значение величины A находят расчётом на основе прямых измерений других величин, связанных с измеряемой величиной известной зависимостью:

A = f ( a₁, a₂, … a_i, … a_m ) (7.5)

Результатом косвенного измерения является оценка величины А, которую находят подстановкой в формулу (7.5) оценок аргументов a_i. Поскольку каждый из аргументов a_i измеряется с некоторой погрешностью, то задача оценивания погрешности результата сводится к суммированию погрешностей измерения аргументов. Вклад отдельных погрешностей измерения аргументов в погрешность результата зависит от вида функции (7.5).

С точки зрения оценки погрешностей косвенные измерения делят на линейные и нелинейные. При линейных косвенных измерениях уравнение измерений имеет вид:

где b_i – постоянный коэффициент при аргументе a_i. Любые другие виды функциональной зависимости (7.5) относят к нелинейным косвенным измерениям.

Погрешности измерения аргументов могут быть заданы либо своими границами , либо доверительными границами с доверительными вероятностями .

Простейшая оценка погрешности результата получается суммированием предельных погрешностей, т.е. подстановкой границ Da₁, Da₂, … Da_m в выражение:

DA = Da₁+ Da₂+ … + Da_m (7.6)

Такая оценка завышена, так как предполагает, что погрешности аргументов одновременно максимальны и имеют один знак. Более корректно статистическое оценивание:

Если погрешности измерения аргументов заданы доверительными границами с одинаковыми доверительными вероятностями P_Д, то при нормальном распределении этих погрешностей доверительные границы результата находят по формуле:

(7.7)

Нелинейные косвенные измерения характерны тем, что результаты измерений аргументов подвергаются функциональным преобразованиям. Поэтому при нелинейных косвенных измерениях отказываются от интервальных оценок погрешности результата, ограничиваясь приближённой оценкой её границ. В основе приближённого оценивания погрешности нелинейных косвенных измерений лежит линеаризация функции (7.5) и дальнейшая обработка проводится как при линейных измерениях

Из выражения для полного дифференциала функции А, заменяя дифференциалы на погрешности, получаем:

(7.8)

Для случая равномерного распределения погрешностей аргументов при числе слагаемых m < 5 границы погрешностей определяют по формуле (7.6). Если погрешности аргументов заданы их доверительными границами, оценку погрешности результата измерения выполняют по (7.7). При этом роль коэффициентов b₁, b₂, …, b_m выполняют частные производные:

Для наиболее часто встречающихся функциональных зависимостей формула (7.8) даёт простые правила оценивания абсолютной DA или относительной dA погрешностей косвенного измерения:

1. Погрешности в суммах и разностях ( A = a₁± a₂ ); суммируются абсолютные погрешности: DA=Da₁+Da₂.

2. Погрешности в произведениях и частных ( A = a₁·a₂ или A = a₁/ a₂ ); суммируются относительные погрешности: , где .

3. Измеряемая величина умножается на точное число ( ); относительная погрешность .

4. Измеряемая величина возводится в степень ( A = aⁿ ); относительная погрешность .

5. Погрешность в произвольной функции одной переменной ( A=f(a) ); относительная погрешность .

Совместное измерение

Этот вид измерений характерен тем, что его целью является установление функциональной зависимости между двумя величинами. Для отыскания зависимости y = f ( x ) между переменными последовательно устанавливают и измеряют значения x, одновременно измеряя значения y. В результате измерений получают координаты исследуемой зависимости ( x_i, y_i ). Так как результаты измерения x и y содержат погрешности, полученные координаты не будут принадлежать истинной зависимости. Поэтому при выполнении совместных измерений, возникает задача аппроксимации зависимости y = f ( x ) по экспериментальным данным так, чтобы она наилучшим образом описывала истинную зависимость. Кроме того, необходимо ответить на следующие вопросы:

1. действительно ли аппроксимирующая функция наилучшим образом приближается к искомой зависимости;

2. какой мерой можно оценить приближение экспериментальной зависимости к истинной.

Подобные задачи решаются с применением метода наименьших квадратов. В этом методе оценки параметров зависимости определяют из условия, что сумма квадратов отклонений расчетных значений аппроксимирующей функции от экспериментальных значений должна быть минимальна. При этом предполагается, что результаты измерений ( x_i, y_i ), i = 1, 2, … m удовлетворяют следующим условиям:

- значения аргумента x_i известны точно;

- систематические погрешности исключены, и результаты измерений y_i содержат лишь случайные погрешности, которые независимы и имеют одинаковые дисперсии;

- погрешности измерения y_i имеют нормальное распределение.

На практике часто встречается случай построения методом наименьших квадратов линейной зависимости y = A + Bx, где A и B – постоянные. График функции – прямая линия с углом наклоном j = arctg B, пересекающая ось ординат в точке с координатой A.

Каждая экспериментальная точка попадает в поле прямоугольника со сторонами 2Dx, 2Dy. В случае малых погрешностей экспериментальные точки будут иметь отклонения от идеальной прямой только в пределах погрешности измерения y_i.

Задача определения наилучшей прямой, аппроксимирующей набор из m экспериментальных точек ( x₁, y₁ ), … ( x_m, y_m ) сводится к отысканию значений постоянных А и В.

В теории метода наименьших квадратов показано, что наилучшие значения для постоянных А и В – это те, для которых имеет минимальное значение выражение:

(7.18)

Здесь - стандартное отклонение погрешности измерения y.

Продифференцировав (7.9) по А и по В и приравняв производные нулю, получим систему уравнений для определения искомых постоянных:

;

Здесь .

Представление о приближении аппроксимирующей функции к истинной зависимости получим, оценив погрешности в определении постоянных А и В. Погрешности Δ А и Δ В находят расчетом по правилам косвенных измерений, исходя из погрешностей измерения Δ y₁, … Δ y_m.

Стандартные отклонения погрешностей S ( y ), S ( A ) и S ( B ) можно вычислить по формулам:

;

Метод наименьших квадратов используется для решения задач аппроксимации многих зависимостей, в том числе выражаемых:

- полиномами y = A + Bx + Cx²++…+ Hx^m;

- экспоненциальными функциями y = A exp ( Bx ),

где А, В, С, …, Н – постоянные коэффициенты.

Погрешности СИ

Погрешности средств измерений, называемые также инструментальными погрешностями, классифицируют по нескольким признакам.

По форме представления погрешности средств измерений разделяют на абсолютные, относительные и приведенные. Если абсолютная погрешность не зависит от измеряемой величины ( Δ _СИ=a ), она называется аддитивной. Максимально допустимое значение относительной погрешности ( δ _СИ=a/x ) определяет нижний предел диапазона измерений данного СИ. Примеры аддитивных погрешностей – от неточной установки на нуль стрелки прибора перед измерением, от термо-ЭДС в цепях постоянного тока.

В случае, когда абсолютная погрешность пропорциональна измеряемой величине ( Δ _СИ=b·x ), ее называют мультипликативной; относительная погрешность в этом случае остается неизменной во всем диапазоне измерений ( δ _СИ=b ). Причинами мультипликативных погрешностей могут быть: изменение коэффициента усиления усилителя, изменение жесткости мембраны манометра или пружины прибора, изменение опорного напряжения в цифровом вольтметре. Абсолютная погрешность, имеющая сложный характер зависимости от измеряемой величины, называется нелинейной.

Приведенная погрешность – это относительная погрешность, в которой абсолютная погрешность средства измерений отнесена к условно принятому (нормирующему) значению x_н: γ = Δ / x_н. Для аналоговых СИ в качестве нормирующего чаще всего принимают наибольшее значение по шкале прибора.

В зависимости от характера изменения во времени измеряемых величин погрешности СИ делят на статические и динамические. Статическая погрешность – это погрешность средства измерения в случае, когда измеряемая величина остается неизменной во время измерения. Динамической называют погрешность, которая возникает дополнительно при измерении переменной величины и обусловлена несоответствием реакции СИ на скорость (частоту) изменения измеряемого сигнала.