Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Прямое однократное измерение



Прямые однократные технические измерения являются самым массовым видом измерений и проводятся, в случаях, когда в процессе измерения происходят необратимые изменения объекта измерения, отсутствует возможность повторных измерений или имеет место экономическая целесообразность. При однократных измерениях для получения результата используют одно значение отсчета показаний прибора (одно наблюдение). Такие измерения возможны лишь при определенных условиях:

- объем априорной информации об объекте измерений таков, что модель объекта и определение измеряемой величине не вызывают сомнений;

- изучен метод измерения, его погрешности заранее либо устранены, либо оценены;

- средства измерений исправны, а их метрологические характеристики соответствуют установленным нормам.

При измерении с точечным оцениванием погрешности проблема заключается в выявлении и оценке систематических и случайных погрешностей. Систематическую погрешность прибора оценивают по паспорту прибора, а методическую – анализом метода измерения. Дополнительную систематическую погрешность прибора оценивают и учитывают при наличии сведений о ней в паспорте. После исключения из результата наблюдения всех известных систематических погрешностей, погрешность исправленного результата состоит из неисключенных остатков систематических погрешностей (НСП) и случайных составляющих погрешностей (СКО). Законы распределения случайных составляющих неизвестны.

В качестве границ составляющих НСП принимают пределы допустимых и дополнительных погрешностей средств измерений, применяемых при поверке в качестве образцовых. Если НСП оценены своими границами ±q, то доверительные границы суммарной НСП находят по формуле (7.3).

Составляющие случайных погрешностей могут быть заданы либо стандартными отклонениями Si ( x ), полученными предварительно по результатам многократных наблюдений, либо доверительными границами .

В первом случае доверительные границы ±e результирующей случайной погрешности определяют по формуле:

.

Здесь: Si ( x ) – оценка i-той составляющей, t - коэффициент, зависящий от доверительной вероятности РД и числа наблюдений m. В качестве t часто берут коэффициент Стьюдента tq, соответствующий оценке составляющей, вычисленной по наименьшему числу наблюдений.

Если же случайные составляющие погрешности заданы своими доверительными границами Dxi, то доверительные границы случайной погрешности результата вычисляют по формуле:

.

В случае необходимости суммирование НСП и СКО проводят по формуле (7.4). Результат однократного измерения записывают в форме .

В практике часто имеют место прямые однократные измерения с приближенным оцениванием погрешности, которое проводят на основе метрологических характеристик используемых средств измерений. Прямые однократные измерения с приближённым оцениванием погрешности правомочны, если доказана возможность пренебречь случайной составляющей погрешности измерения, т.е. когда стандартное отклонение S ( x ) меньше одной восьмой суммарной границы неисключенных систематических составляющих погрешности результата измерения.

В простейшем случае, когда измерение проводят в нормальных условиях, погрешность прямого однократного измерения равна пределу основной погрешности средства измерения Δ СИ. Результат измерения записывают в виде x ± Δ СИ. Доверительная вероятность, как правило, равна 0.95.

Косвенное измерение

При косвенных измерениях искомое значение величины A находят расчётом на основе прямых измерений других величин, связанных с измеряемой величиной известной зависимостью:

A = f ( a1, a2, … ai, … am ) (7.5)

Результатом косвенного измерения является оценка величины А, которую находят подстановкой в формулу (7.5) оценок аргументов ai. Поскольку каждый из аргументов ai измеряется с некоторой погрешностью, то задача оценивания погрешности результата сводится к суммированию погрешностей измерения аргументов. Вклад отдельных погрешностей измерения аргументов в погрешность результата зависит от вида функции (7.5).

С точки зрения оценки погрешностей косвенные измерения делят на линейные и нелинейные. При линейных косвенных измерениях уравнение измерений имеет вид:

где bi постоянный коэффициент при аргументе ai. Любые другие виды функциональной зависимости (7.5) относят к нелинейным косвенным измерениям.

Погрешности измерения аргументов могут быть заданы либо своими границами , либо доверительными границами с доверительными вероятностями .

Простейшая оценка погрешности результата получается суммированием предельных погрешностей, т.е. подстановкой границ Da1, Da2, … Dam в выражение:

DA = Da1 + Da2 + … + Dam (7.6)

Такая оценка завышена, так как предполагает, что погрешности аргументов одновременно максимальны и имеют один знак. Более корректно статистическое оценивание:

.

Если погрешности измерения аргументов заданы доверительными границами с одинаковыми доверительными вероятностями PД, то при нормальном распределении этих погрешностей доверительные границы результата находят по формуле:

(7.7)

Нелинейные косвенные измерения характерны тем, что результаты измерений аргументов подвергаются функциональным преобразованиям. Поэтому при нелинейных косвенных измерениях отказываются от интервальных оценок погрешности результата, ограничиваясь приближённой оценкой её границ. В основе приближённого оценивания погрешности нелинейных косвенных измерений лежит линеаризация функции (7.5) и дальнейшая обработка проводится как при линейных измерениях

Из выражения для полного дифференциала функции А, заменяя дифференциалы на погрешности, получаем:

(7.8)

Для случая равномерного распределения погрешностей аргументов при числе слагаемых m < 5 границы погрешностей определяют по формуле (7.6). Если погрешности аргументов заданы их доверительными границами, оценку погрешности результата измерения выполняют по (7.7). При этом роль коэффициентов b1, b2, , bm выполняют частные производные:

.

Для наиболее часто встречающихся функциональных зависимостей формула (7.8) даёт простые правила оценивания абсолютной DA или относительной dA погрешностей косвенного измерения:

1. Погрешности в суммах и разностях ( A = a1± a2 ); суммируются абсолютные погрешности: DA=Da1+Da2.

2. Погрешности в произведениях и частных ( A = a1·a2 или A = a1/ a2 ); суммируются относительные погрешности: , где .

3. Измеряемая величина умножается на точное число ( ); относительная погрешность .

4. Измеряемая величина возводится в степень ( A = an ); относительная погрешность .

5. Погрешность в произвольной функции одной переменной ( A=f(a) ); относительная погрешность .

 

Совместное измерение

Этот вид измерений характерен тем, что его целью является установление функциональной зависимости между двумя величинами. Для отыскания зависимости y = f ( x ) между переменными последовательно устанавливают и измеряют значения x, одновременно измеряя значения y. В результате измерений получают координаты исследуемой зависимости ( xi, yi ). Так как результаты измерения x и y содержат погрешности, полученные координаты не будут принадлежать истинной зависимости. Поэтому при выполнении совместных измерений, возникает задача аппроксимации зависимости y = f ( x ) по экспериментальным данным так, чтобы она наилучшим образом описывала истинную зависимость. Кроме того, необходимо ответить на следующие вопросы:

1. действительно ли аппроксимирующая функция наилучшим образом приближается к искомой зависимости;

2. какой мерой можно оценить приближение экспериментальной зависимости к истинной.

Подобные задачи решаются с применением метода наименьших квадратов. В этом методе оценки параметров зависимости определяют из условия, что сумма квадратов отклонений расчетных значений аппроксимирующей функции от экспериментальных значений должна быть минимальна. При этом предполагается, что результаты измерений ( xi, yi ), i = 1, 2, … m удовлетворяют следующим условиям:

- значения аргумента xi известны точно;

- систематические погрешности исключены, и результаты измерений yi содержат лишь случайные погрешности, которые независимы и имеют одинаковые дисперсии;

- погрешности измерения yi имеют нормальное распределение.

На практике часто встречается случай построения методом наименьших квадратов линейной зависимости y = A + Bx, где A и B – постоянные. График функции – прямая линия с углом наклоном j = arctg B, пересекающая ось ординат в точке с координатой A.

Каждая экспериментальная точка попадает в поле прямоугольника со сторонами 2Dx, 2Dy. В случае малых погрешностей экспериментальные точки будут иметь отклонения от идеальной прямой только в пределах погрешности измерения yi.

Задача определения наилучшей прямой, аппроксимирующей набор из m экспериментальных точек ( x1, y1 ), ( xm, ym ) сводится к отысканию значений постоянных А и В.

В теории метода наименьших квадратов показано, что наилучшие значения для постоянных А и В – это те, для которых имеет минимальное значение выражение:

(7.18)

 

Здесь - стандартное отклонение погрешности измерения y.

Продифференцировав (7.9) по А и по В и приравняв производные нулю, получим систему уравнений для определения искомых постоянных:

;

,

Здесь .

Представление о приближении аппроксимирующей функции к истинной зависимости получим, оценив погрешности в определении постоянных А и В. Погрешности Δ А и Δ В находят расчетом по правилам косвенных измерений, исходя из погрешностей измерения Δ y1, Δ ym.

Стандартные отклонения погрешностей S ( y ), S ( A ) и S ( B ) можно вычислить по формулам:

;

;

.

 

Метод наименьших квадратов используется для решения задач аппроксимации многих зависимостей, в том числе выражаемых:

- полиномами y = A + Bx + Cx2+ +…+ Hxm ;

- экспоненциальными функциями y = A exp ( Bx ),

где А, В, С, , Н – постоянные коэффициенты.


Поделиться:



Последнее изменение этой страницы: 2017-04-12; Просмотров: 406; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.026 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь