Симметричные и антисимметричные частицы

Существует симметрия состояний частиц относительно их перестановки друг с другом. Поскольку вероятность состояния определяется квадратом функции состояний, который не меняется при перестановок частиц, то сами функции состояний при перестановках могут менять или не менять свой знак. Состояния, функции которых не меняют или меняют знаки при перестановке частиц являются симметричными и антисимметричными.

Симметрия относительно перестановок определяют статистику и распределение частиц по состояниям и энергетическим уровням.

Симметричные частицы не имеют ограничений по существованию их в одинаковом состоянии.

Антисимметричные частицы не могут находиться в одинаковом состоянии. Если состояние одно, то при перемене местами двух одинаковых частиц состояние не должно измениться. Однако для антисимметричных состояний функция меняет знак, поэтом такая функция должна быть равна нулю. Поэтому возникает правило, что на одном энергетическом уровне могут находится две частицы, с различным спиновым моментом количества движения.

Функция распределения электронов по уровням энергии

Функция распределения должна учитывать тот факт, что для антисимметричных частиц на каждом уровне присутствуют две частицы, состояния уровня полностью заполнены и функция распределения должна равняться единице.

Для симметричных частиц на одном уровне могут находиться все частицы.

Функция распределения этих двух статистик следующая.

Для антисимметричных частиц (электронов и дырок) функция распределения Ферми – Дирака имеет следующий вид:

(1.1) ,

где ε – энергия уровня, μ – уровень химического потенциала или уровень Ферми. При ε = μ функция распределения равна , при ε < μ функция распределения равна .

 

Для симметричных частиц (частицы с целым спином) функция распределения Бозе – Эйнштейна имеет следующий вид:

(1.2) .

При ε = μ функция распределения равна .

Статистика невырожденного электронного газа в полупроводниках

Общее число состояний в зоне проводимости равно , где и кратность вырождения атомного уровня составляющего зону и концентрация атомов и составляет 10²³ состояний в см³. Число свободных электронов примесного полупроводника находится в пределах 10¹⁵10²⁰ электронов в см³. Поэтому свободные электроны занимают область энергии, примыкающую к дну зоны проводимости.

Число электронов в зоне проводимости полупроводника, находящиеся в интервале энергии dε c плотность состояний g(ε ) равно

(1.3) .

Плотность состояний g(ε ) находится из условия нормировки

(1.4) .

Количество состояний в этом интервале энергии равно

(1.5) .

В этой формуле берется объем кольцевой сферы в пространстве квазиимпульса k и умножается на 2 вследствие спинового вырождения каждого уровня. Из этого условия можно найти формулу для плотности состояний электронов в зоне проводимости

(1.6) ,

где Е_с и m_n энергия дна зоны проводимости и массы электрона.

 

Формула для плотности состояний дырок в валентной зоне

(1.7) ,

где Е_v и m_p энергия вершины валентной зоны и массы дырки. Для анизотропных зон эффективные массы можно рассчитывать как геометрическое среднее из масс по трем направлениям:

(1.8) .

Концентрации электронов и дырок в зонах

Исходя из формулы (1.3) концентрация электронов в зоне проводимости будет

.

Подставляя в эту формулу величины функции распределения и плотности состовний и проводя интегрирование можно получить:

 

(1.9) ,

где и интеграл Ферми – Дирака. Эффективная плотность состояний зоны проводимости равна

(1.10) .

Для практических расчетов можно применять формулу:

(1.11) .

Здесь эффективная масса электрона вычисляется относительно массы свободного электрона.

Если в полупроводнике имеется несколько минимумов зоны проводимости, то эту формулу надо умножить на количество минимумов.

Концентрация дырок рассчитывается аналогично.

(1.12) ,

где . Эффективная плотность состояний валентной зоны равна

 

(1.13) .

Для практических расчетов можно применять формулу:

(1.14) .

Здесь эффективная масса дырки вычисляется относительно массы свободного электрона.

123456789Следующая ⇒

Поделиться: