Зонная структура твёрдых тел.

Состояния электронов в твёрдых телах описывается функцией состояния, поэтому трансляционная симметрия твёрдого тела должна отражаться на свойствах этой функции, на её повторяемости при смещении на период трансляции. Т.е. состояния электронов в двух точках смещённых друг от друга на вектор трансляции должны быть равными. Математические это учитывается если ввести множитель с периодическими свойствами. Эти функции носят название Блоховских функций:

(2.1) y=е^i(kr)u_nk(r),

где u_nk( r )-амплитуда функции для электрона с атомным квантовым числом n и координатами электрона r. Множитель е^i(kr) равен 1 для ( kr )=2pm. Поэтому для всех точек с r=2pm/k состояния электрона одинаковы. Если период трансляции а, то r=ma =2pm/k, откуда k=2p/a. Таким образом, функции (1) обладают свойствами трансляционной симметрии на период трансляции. Функция состояния электрона описывается решением уравнения Шредингера:

(2.2)

где Ñ ², V(r) – операторы кинетической и потенциальной энергий электрона в атомных единицах, Е- значения энергии электрона с функцией состояния y.

При подстановке функции (2.1 ) в уравнение (2.2) и дифференцировании получим:

( 2.3) ,

 

где Н₀ оператор энергии электрона при k=0, р-оператор количества движения электрона. От существования трансляционной симметрии в уравнении появляются два новых члена k ² и 2 k× p . Составляющая k ² не зависит от координат электронов, является скалярной величиной и приводит к смещению всех уровней энергии на одинаковую величину (для данного значения k).

Вторая составляющая полярно-векторного типа 2 k× p формально приводит к появлению нового типа взаимодействия и образованию зонной структуры. Поэтому задача делится на два этапа:

· Определение энергетической структуры при k=0,

· Составление матрицы тензора второго ранга k ²+2 k× p взаимодействия на базисе функций состояний электрона, где размерность пространства определяется числом базисных электронных функций,

· Определение главных значений тензора или энергетической структуры электронных состояний как зависимости энергии этих состояний от величины и направления вектор k. Поскольку вектор k имеет три проекции, то поверхность энергии является поверхностью в четырёхмерном пространстве.

2.4 Энергетическая структура в центре зоны при k=0

Рассмотрим составление матрицы взаимодействия для кристаллов со структурой алмаза. В точке k=0 симметрия этого состояния совпадает с симметрией точечной группы кристалла алмаза и является группой O_h. Внешние электроны, определяющие химическую связь в этом кристалле это электроны s и p- типа. Состояния s-типа описываются функцией, не зависящей от угловых координат электрона, и поэтому имеет симметрию скаляра. Состояния р-типа описываются функцией, линейно зависящей от угловых координат электрона, и поэтому имеет симметрию полярного вектора. В элементарную ячейку алмазной структуры входят 2 атома. Из двух электронов s - типа можно составить скаляр Г₁⁺(s⁺) и псевдоскаляр Г₂^-(s^-), из двух электронов р- типа можно составить полярный Г₁₅^-(p^-) и аксиальный вектор Г₂₅⁺(p⁺), кроме того d-состояния должны давать 5 состояний из которых два состояния Г₁₂^- имеют энергию близкую к энергии s и р электронов. Для состояний употребляются обозначения, принятые в зонной теории, + и - обозначают чётность состояния относительно инверсии системы координат. Кроме ns и np электронов в зоне проводимости будут состояния от атомных орбит (n+1)s и (n+1)p и nd. Энергии этих состояний для кремния и германия даны в Табл. 2.1.

Табл. 2.1. Энергии основных уровней в центре зоны для кремния и германия

 

Состояния	Атомные функции	Энергия Si (Ry)	Энергия Ge (Ry)
Г1+	(s+)	-0.95	-0.966
Г25+	(p+)
Г15-	(p-)	0.252	0.232
Г2-	(s-)	0.265	0.0728
Г1+	((n+1)s+)	0.52	0.571
Г12-	(d-)	0.71	0.77
Г25+	(d+)	0.94	1.25
Г2-	((n+1)s-)	0.99	1.35

 

2.5 Матрица (k² +2k× p) взаимодействия

Для составления матрицы взаимодействия необходимо определить правила отбора для каждого типа взаимодействия.

· Взаимодействие k² это постоянная величина, не зависящая от координат электронов, и поэтому это взаимодействие будет иметь только диагональные элементы, а не диагональные элементы между различными состояниями будут равны нулю. Среднее значение скаляра или постоянной величины на ортогональных функциях состояния электронов равняется самой постоянной величине между одинаковыми состояниями.

· Среднее значение полярно-векторной величины р в операторе k × p взаимодействия отличны от нуля только между состояниями различной чётности.

Известно, что интеграл от не чётной функции по всему пространству равен нулю. Поскольку полярно векторная величина не чётная функция относительно инверсии координат, то интеграл не равен нулю только в том случае, если функции состояний y_i, y_j имеют противоположные чётности(чтобы получить под интегралом чётную функцию). Поэтому k× p взаимодействие будет давать недиагональные элементы между состояниями различной чётности.

,

где Q_ij параметр взаимодействия, определяемый экспериментально.

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться: