Вынужденные колебания системы с двумя степенями свободы

Вынужденные колебания

Предположим, что к точкам линейной механической системы, описываемой уравнениями (85), приложены гармонически изменяющиеся во времени с частотой вынуждающие силы. Очевидно, что в таком случае дифференциальные уравнения движения будут иметь вид

;

(92)

а общее решение представлять сумму из решения (91) системы однородных уравнений (85) и частного решения , .

Будем искать частное решение в виде

, (93)

где - неопределенные коэффициенты, подлежащие определению; при этом предполагается, что резонанс в системе отсутствует, т.е. частота вынуждающего воздействия не совпадает ни с одной из частот главных колебаний ( ; ). Продифференцируем искомые выражения для частного решения по времени дважды, подставим их в (92). Для удовлетворения этих равенств при любых , должны быть равны коэффициенты при в правой и левой частях уравнений системы, т.е.

. (94)

Система линейных уравнений относительно и имеет решение

(95)

где .

Динамический гаситель колебаний.

В качестве примера 24 рассмотрим работу динамического гасителя колебаний. На рис.34.а схематично изображен механизм массой , установленный на упругих опорах суммарной жесткостью в вертикальном направлении .

Если частота возмущающей силы , создаваемой движущимися внутри механизма неуравновешенными частями, совпадает с частотой свободных колебаний механизма на опорах, будет иметь место резонанс. Что бы этого избежать, установим на механизме массу на пружине жесткостью . Новая механическая система, обладающая двумя степенями свободы, изображена на рис.34.б.

Выберем в качестве обобщенных координат и - абсолютные смещения по вертикали соответствующих масс от их положений статического равновесия. Мысленно отделим массы и , приложим к ним действующие силы; запишем для каждой из масс дифференциальное уравнение вертикального движения:

где - удлинение - ой пружины в положении статического равновесия.

Приведем уравнения системы к виду (92)

.

Будем искать частное решение в виде

.

Выполнив ряд действий, обсужденных выше, получим систему линейных уравнений (94) относительно и

.

Решение системы будет иметь вид:

.

Для того, что бы амплитуда вынужденных колебаний механизма была бы равна нулю, следует так подобрать массу и жесткость присоединяемого элемента, чтобы .

В таком случае присоединяемый элемент оказывается для механизма динамическим гасителем колебаний. Собственные частоты основного механизма и присоединяемого элемента называются их парциальными частотами.

Вид зависимостей и приведен на рисунке 35.

На рисунке и - собственные частоты механической системы, состоящей из основного ( и ) механизма и присоединяемого ( и ) элемента; - амплитуда вибрации присоединяемого элемента при частоте вынуждающего воздействия, совпадающей с парциальной частотой основного механизма (а так же равной ей парциальной частоте присоединенного элемента).

Очевидно, что при должно выполняться соотношение .

Анализ соотношения показывает, что при очень малой массе гасителя ( ) его жесткость так же должна быть очень малой; отмеченная особенность приводит к значительной амплитуде его колебаний , что опасно либо технически нереализуемо.

В реальной механической системе всегда имеют место силы сопротивления, что приводит к невозможности полного гашения колебаний основного механизма.

 

Вопросы и задачи для самоконтроля

1. Какова структура системы линейных дифференциальных уравнений, описывающих вынужденные колебания механической системы с несколькими степенями свободы?

2. Какова структура общего решения этой системы?

3. В каком виде ищется частное решение такой системы уравнений?

4. От каких характеристик зависят амплитуды вынужденных колебаний точек механической системы?

6. Что называют парциальными частотами и совпадают ли они с собственными частотами механической системы?

7. Какой эффект оказывает динамический гаситель колебаний и как подобрать его параметры?

8. Решите следующие задачи из [2]:

 

ПРИЛОЖЕНИЯ

 

Элементарная теория гироскопов

⇐ Предыдущая3456789101112

Поделиться: